Strahlungsleistung einer Punktquelle in Plexiglasstab

blub_lala · Anmeldungsdatum: 11.01.2016 Beiträge: 4

Meine Frage:
Ich versuche gerade eine alte Prüfung zu lösen und komme bei Teilaufgabe b einfach nicht weiter. Leider gibt es dazu keine Lösungen.
(a)Betrachten Sie eine punktförmige, monochromatische Lichtquelle, die sich in der Mitte eines Plexiglasstabes mit Brechungsindex n1=1.5 befindet. Der Stab sei L=50mm lang und der Durchmesser sein d=1mm. Der Stab befindet sich in Luft mit n2=1. Berechnen Sie den Winkel ab dem Totalreflektion auftritt. Wie oft wird ein unter dem Totalreflektionswinkel emittierter Strahl an der
Grenzaches reflektiert, bevor er das Ende des Stabes erreicht?
(b) Sie wollen eine mittlere Strahlungsleistung von 1 W an jedem Ende des Stabes erreichen. Welche Lichtleistung muss die Punktquelle emittieren? (Hinweise: Machen Sie begründete Näherungen und
ignorieren Sie die Polarisation.)

Meine Ideen:
Für Teilaufgabe (a) benutze ich Snellius. Der kritische Einfallswinkel ist:(von der Flächennormalen aus gemessen)

Die x-Achse lege ich mit der Zylinderachse zusammen.
Nun wird

von der x-Achse her gemessen. Der Winkel zur Flächennormalen ist dann

Die Strecke in x-Richtung, die bis zur ersten Reflexion zurückgelegt wird ist:

Mit

erhalte ich , dass der Strahl 22-mal reflektiert wird.

Nun kommen wir zu Aufgabe (b). Dort weiss ich nicht wirklich weiter.
Was für eine Formel für die Leistung einer Punktquelle gibt es überhaupt? Mir ist dazu nur Schwarzkörperstrahlung in den Sinn gekommen, aber das scheint es nicht wirklich zu sein.
Ausserdem habe ich mir überlegt, dass alle Strahlen, die unter einem Winkel, der grösser ist als

ausgesendet werden, nach mehrmaliger Reflexion vollständig ein Ende erreichen. Was ist aber mit kleineren Winkeln? Kann ich etwas darüberaussagen, wieviel reflektiert und wieviel transmittiert wird?
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen und Danke schon im Voraus.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Das hört sich happig an.
Ich denke, genau bei den kleineren Winkel ist die Herausforderung.
Die Fresnelgleichungen geben dir die Reflektion/Transmission an.
Daneben musst du ähnlich wie bei (a) bestimmen, wie häufig es zur Reflektion kommt, damit du die Verluste bestimmst.
Da die Intensität mit R^{N} geht (r: Reflektivität und N: Anzahl der Reflektionen), wirst du gewiss Licht das häufig reflektiert wird vernachlässigen können.

blub_lala · Anmeldungsdatum: 11.01.2016 Beiträge: 4

Da bin ich ganz deiner Meinung grübelnd

Gibt es eine Möglichkeit die Reflektivität zu bestimen? Hängt diese irgendwie mit den beiden Brechungsindizes zusammen?
Von wo aus gemessen meinst du jetzt die kleinen Winkel? Ich hab da wohl auch ein bisschen ein Durcheinander gemacht.

Wenn ich das richtig sehe, werden von der Zylinderachse (parallel zur Grenzfläche) aus gemessene kleine Winkel total reflektiert. Je kleiner sie sind, desto weniger oft werden sie reflektiert, bis sie ans Ende gelangen.

Sehr kleine Winkel

(mit den eingesetzten Werten gibt das 0.02) kommen ungehindert bis ans Ende. Aber bei diesem kleinen Winkel wird das ja wohl kaum alles sein.

Nun habe ich iregndwie ein Durcheinander. Werden grosse Winke ( also kleiner Einfallswinkel zur Flächennormalen der Grenzfläche) von der Zylinderachse aus gemessen vollständig transmittiert ? Wenn wir einfach von Brechung ausgehen ja eigentlich schon oder? Denn wenn man mit der Polarisation rechnet (über die man hier ja gar nichts weiss), wird ja an einer Grenzfläche ein Teil transmittiert und der Rest reflektiert.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Also, ich würde wie folgt anfangen:
Licht, das die Bedingung der Totalreflektion erfüllt wird bleibt vollständig erhalten (gilt nicht nur für den Grenzwinkel). Dann musst du über den entsprechenden Winkelbereich integrieren.
Licht, das Senkrecht emittiert wird, erreicht das Ende des Leiters nicht.
Jetzt schaust du dir die Fresnelgleichungen an. Die geben dir die Reflektivität r (r<1) in Abhängigkeit des Auftreffwinkels und des Brechungsindexunterschiedes. Die Transmittierte Intensität ist dann r^{2*N} (N ist die Anzahl der Reflektionen).
Damit ist klar: nur Licht mit wenigen Reflektionen kommt überhaupt mit ausreichender Intensität an den Enden an. Ich würde jetzt eine mittleres r abschätzen, N in Abhängigkeit des Winkels ausdrücken und über die verbleibenden Winkel integrieren.

blub_lala · Anmeldungsdatum: 11.01.2016 Beiträge: 4

Das hat mir alles schon etwas klarer gemacht, Danke.
Versteh ich das richtig, dass ich dann die gegebene Intensität, die an den Enden ankommen soll mit dem Integral gleichsetzen muss, und dann nach der Intensität der Quelle auflösen?
So im Stil von

. Mit

der gesuchten Intensität und I der gegebenen Lichtintensität am Ende des Stabes?

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Ja. Schaut ganz gut aus. Weiter so!

blub_lala · Anmeldungsdatum: 11.01.2016 Beiträge: 4

Danke für deine Hilfe.