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Tropfen
Anmeldungsdatum: 30.12.2015
Beiträge: 2
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 Tropfen Verfasst am: 30. Dez 2015 13:57 Titel: warum ist die Ortsbasis kontinuierlich? |
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Meine Frage:
Hallo Leute!
Ich habe mich etwas mit den Postulaten der Quantenmechanik auseinandergesetzt und mir die Frage gestellt, warum zur Lösung der Schrödingergleichung die Ortsbasis immer kontinuierlich angenommen wird.
Die Energiebasis könnte doch geradeso kontinuierlich sein nur kommt mit der Lösung der Schrödingergleichung oftmals eine diskrete Energiebasis heraus. Woher wissen wir also, dass die Ortsbasis immer kontinuierlich ist und in einem speziellen System nicht etwa(wie auch die Energiebasis) diskret?
Meine Ideen:
Ist dies vielleicht auch ein Postulat? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 30. Dez 2015 15:17 Titel: |
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Die Basis hat in diesem Fall etwas mit der Darstellung des Ortsoperators zu tun. Dieser ist definiert als
 = x\,u(x))
Wenn nun die Definitionsmenge der Funktion u einer kontinuierlichen Untermenge der reellen Zahlen entspricht, dann muss logischerweise x eine kontinuierliche Variable sein.
Sucht man nun "Eigenfunktionen" sowie "Eigenwerte" a zu diesem Ortsoperator, also
 = x\,u_a(x) \stackrel{!}{=} a\,u(x))
so sollte diese Gleichung wiederum für alle x erfüllbar sein. Und damit erhält man automatisch die "kontinuierliche Basis"
 = \delta(x-a))
Natürlich könnte man auch diskrete x-Werte annehmen, allerdings entspricht dies dann nicht mehr einem physikalischen Ort x als kontinuierliche, reelle Zahl.
Mathematisch ist das nicht schwer: zunächst sind Ort und Impuls jeweils beide auf den reellen Zahlen mittels Fouriertransformation verknüpft. Man erhält diskrete Impulse, indem man x auf ein Intervall [0,L] einschränkt. Umgekehrt erhält man diskrete Orte, indem man die zulässigen Impulse auf ein Intervall [0,P] einschränkt - was immer das physikalisch bedeuten mag.
Mit der Schrödingergleichung, dem Hamiltonoperator und dem Energiespektrum hat das wenig zu tun. Man kann bzgl. eines (verallgemeinerten) selbstadjungierter Operators (verallgemeinerte) Eigenfunktionen = Basen konstruieren. In diesem Fall ist düs eben der Ortsoperator. Daran ändert sich auch nichts, wenn man in Abhängigkeit von diesem x unterschiedliche Hamiltonoperatoren H konstruiert.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Jan 2016 16:18 Titel: Re: warum ist die Ortsbasis kontinuierlich? |
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| Tropfen hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo Leute!
Ich habe mich etwas mit den Postulaten der Quantenmechanik auseinandergesetzt und mir die Frage gestellt, warum zur Lösung der Schrödingergleichung die Ortsbasis immer kontinuierlich angenommen wird.
Die Energiebasis könnte doch geradeso kontinuierlich sein nur kommt mit der Lösung der Schrödingergleichung oftmals eine diskrete Energiebasis heraus. Woher wissen wir also, dass die Ortsbasis immer kontinuierlich ist und in einem speziellen System nicht etwa(wie auch die Energiebasis) diskret?
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Das ist zumindest eine Konsequenz aus der Heisenbergschen Vertauschungsrelation  und der damit zusammenhängenden Tatsache, daß der Impulsoperator Translationen im Raum erzeugt. Mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel ergibt sich nämlich aus der kanonischen Vertauschungsrelation
d.h. zu jedem (verallgemeinerten) Eigenvektor  gehört der Vektor  mit enstprechenden verschobenen (verallgemeinerten) Eigenwert  , da
|r\rangle = (r+a)e^{-iaP}|r\rangle.
<br />
)
Damit folgt, daß das Spektrum beider Operatoren unbeschränkt ist. (Das ist Teil der Gründe, warum es in der Quantenmechanik keinen Zeitoperator mit kanonischer Vertauschungsrelation  gibt. Diese erlaubt keinen stabilen Grundzustand des Hamiltonoperators, da dieser keinen kleinsten Eigenwert mehr haben kann.)
Daß es sich bei dem Spektrum von  tatsächlich um ein rein kontinuierliches Spektrum und bei den  um verallgemeinerte Eigenvektoren handelt, ergibt sich z.B. daraus, daß jedes Paar kanonische konjugierter Operatoren unitär äquivalent zum Multiplikations- bzw. Ableitungsoperator auf einem Funktionenraum ist.
Diese und verwandte Aussagen laufen alle unter dem Thema "Stone-von-Neumann-Theorem". Wenn du danach suchst, findest du bestimmt mehr. |
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Tropfen
Anmeldungsdatum: 30.12.2015
Beiträge: 2
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| Tropfen Verfasst am: 03. Jan 2016 16:56 Titel: |
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Danke für die ausführlichen Antworten!
Ungefähr ist mir die Sache jetzt klar. Das "Stone-von-Neumann-Theorem" klingt interessant! Werde mich da mal etwas einlesen! |
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