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Elektronengas Fermienergie von metallischen Elementen->
 
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kelloggs



Anmeldungsdatum: 08.06.2014
Beiträge: 244

Beitrag kelloggs Verfasst am: 06. Dez 2015 15:26    Titel: Elektronengas Fermienergie von metallischen Elementen-> Antworten mit Zitat

und der Tunneleffekt.

Ich hatte schon mal einen Thread mit dem Tunneleffekt als Thema aber noch nicht unter dem Gesichtspunkt der Fermienergie von unterschiedlichen Metallen.

Die Fermienergie wird immer damit erklärt, dass freie Elektronen sich auf unterschiedlichen Energieniveaus befinden müssen. Die Energieniveaus sind vielfache des Planckschen Wirkungsquantums und man platziert die Elektronen solange in unterschiedlichen Energieniveaus (vom Planckschen Wirkungsquantum beginnend bis x-tes Planckschen Wirkungsquantum) bis alle Elektronen einen Platz bekommen haben.

Unter https://de.wikipedia.org/wiki/Fermienergie findet man eine Formel zur Berechnung der Fermienergie bei 0 Kelvin. Ich konnte damit unterschiedliche Elektronen-Fermienergien für unterschiedliche Metalle berechnen (unter der Annahme, das pro Atom ein freies Elektron zur Verfügung steht - ich weiß nicht ob das bei allen Metall-/Schwermetall-/Leichtmetallatomen zutrifft).


Um was es mir aber tatsächlich geht ist der Tunneleffekt. In den Texten, die ich aktuell gelesen habe, wird erklärt, dass nur dann ein Tunneleffekt zustande kommen kann wenn das "tunnelnde" Elektron auf der anderen Seite der Barriere ein freies Energieniveau gleicher Höhe vorfindet wie jenes, das es gerade verlassen hat - ich hoffe zumindest, dass ich das richtig interpretiert habe.

Wenn man also 2 Metalle mit inhärent unterschiedlichen Elektronen-Fermienergien in Reichweite des Tunneleffektes zueinander platziert, würde dann nicht kurzzeitig ein Tunnelstrom fließen bis die Fermienergien sich ausgleichen? Wenn das aber passiert würden die Metalle sich nicht elektrostatisch aufladen? Das Metall mit der höheren Fermienergie würde ja Elektronen verlieren wodurch es sich positiv auflädt und das Metall mit der niedrigenen Fermienergie würde sich negativ aufladen. Mit einer Leiterbrücke könnte man diesen Ladungsunterschied wieder ausgleichen wobei die Fermienergien wieder auf ihren alten Wert zurückfallen. Dann würde aber der Tunneleffekt wieder dafür sorgen, dass Elektronen von der höheren Fermienergie zur niedrigeren wandern usw. usf.

Tja, ich hoffe ich konnte einen Gedankengang aufzeigen der nicht total zufällig erscheint. Ich versuche nicht das Forum vollzumüllen aber wenn es doch diesen Eindruck macht dann wünsche ich, dass man meine Threads einfach löscht.
kelloggs



Anmeldungsdatum: 08.06.2014
Beiträge: 244

Beitrag kelloggs Verfasst am: 06. Dez 2015 22:23    Titel: Antworten mit Zitat

wie kann man das Bild im Anhang interpretieren? Es wird geschrieben, dass man das Fermi-Niveau mit einer äußeren Spannung verändert damit ein Tunnelstrom entsteht aber ein Stück Kupfer und eine Stück Blei haben ja bereits unterschiedliche Fermi-Niveaus oder nicht? Das Bild stammt aus diesem PDF -> http://physics.johannesdoerr.de/files/f-praktikum/VA3-Tunneleffekt_bei_Supraleitern/Versuch_A3.pdf


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kelloggs



Anmeldungsdatum: 08.06.2014
Beiträge: 244

Beitrag kelloggs Verfasst am: 08. Dez 2015 00:31    Titel: Antworten mit Zitat

schaut hier überhaupt noch wer rein?

Ich hab ein Problem mit der Fermienergie: Wenn man die Fermienergie durch das Plancksches Wirkungsquantum dividiert dann hat man ja die Anzahl an Energieniveaus die vorhanden sind oder nicht? Die Fermienergie von Kupfer beträgt ungefähr 7eV laut diesem PDF -> http://physik.uni-graz.at/~pep/Lehre/AMFP/lecture09.pdf -> Seite 25

7eV dividiert durch h ergibt einen ungefähren Wert von 1,69259*10^15

Das ergibt aber keinen Sinn weil man dann eine endliche Zahl für die einsetzbaren Elektronen erhält (pro Energieniveau 2 Elektronen; Spin-Up und Spin-Down). Ich habs nachgerechnet. Ein cm³ Kupfer enthält mehr Elektronen als in die berechnete Anzahl an Energieniveaus hineinpasst. Sind die Energieniveaus nicht genau ein Plancksches Wirkungsquantum auseinander sondern dynamisch? Muss ich die 7eV durch die Anzahl an Elektronen in meinem Kupferblock (egal wie groß dieser ist) dividieren und erhalte dann die Energieniveaus?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 08. Dez 2015 06:57    Titel: Antworten mit Zitat

Die Energieniveaus hängen natürlich vom Potential und den Abmessungen der Probe ab. Damit sind sie nicht äquidistant.

Im einfachsten Fall einer Probe der Abmessung L liegt ein entsprechender Potentialtopf mit freien Elektronen vor. Du erhältst die entsprechenden Quantenzahlen n sowie die Energieniveaus E ~ n^2.

In realen Metallen ist das natürlich eine sehr schlechte Näherung. Die Energieniveaus entsprechen überlappenden Hybridorbitalen jeweils identischer Energie; die Aufspaltung führt zu quasi-kontinuierlichen Bandstrukturen sowie Bandlücken.
kelloggs



Anmeldungsdatum: 08.06.2014
Beiträge: 244

Beitrag kelloggs Verfasst am: 08. Dez 2015 17:38    Titel: Antworten mit Zitat

und diese Bandstrukturen können sich in immer kleinere Energieschritte aufspalten je mehr Teilchen/Elektronen der Probekörper besitzt (je größer der Probekörper ist)? Wie sehen die Energieschritte innerhalb einer Bandstruktur aus? Hat man innerhalb einer Bandstruktur äquidistant Energieschritte? Befindet sich die Fermienergie ebenfalls in einer Bandstruktur und wenn ja wo (Anfang, Ende, Mitte)? Kann man exakte Graphen für homogene Metallarten und Mengen erstellen die alle Bandstrukturen und Energieniveaus für alle vorhandenen Elektronen darstellt?

irgendwie scheinen die Werte im PDF, dass ich im vorherigen Beitrag verlinkt habe, überhaupt nicht zu stimmen. Ich bekomme für Kupfer eine höhere Fermienergie als für Blei und zwar aus dem einfachen Grund weil die Teilchendichte in Kupfer höher ist als in Blei. Die Bleiatome sind zwar schwerer aber in 1cm³ Blei befinden sich weniger Atome/Teilchen als in 1cm³ Kupfer.

In einem Metall befinden sich Elektronen auf Energieniveaus oberhalb der Fermienergie des anderen Metalls. Kann man das nicht irgendwie ausnutzen um Energie zu gewinnen? Wie sollten Elektronen vom Metall mit der niedrigeren Fermienergie auf das Metall mit der höheren Fermienergie zurückspringen können wenn dort alle Energieniveaus besetzt sind bzw. hängt das mit den Bandstrukturen zusammen ob die Elektronen überhaupt springen können? Befinden sich Bandstrukturen/Energieniveaus oberhalb der Fermienergie des Metalls mit der global niedrigeren Fermienergie und liegen diese Bandstrukturen auf der gleicher Höhe wie die Bandstrukturen/Energieniveaus des Metalls mit der global höheren Fermienergie.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 08. Dez 2015 18:05    Titel: Antworten mit Zitat

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
und diese Bandstrukturen können sich in immer kleinere Energieschritte aufspalten je mehr Teilchen/Elektronen der Probekörper besitzt (je größer der Probekörper ist)?

ja

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
Wie sehen die Energieschritte innerhalb einer Bandstruktur aus?

quasi-kontinuierlich

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
Hat man innerhalb einer Bandstruktur äquidistant Energieschritte?

nein, warum auch? äquidistant wären sie ganz speziell im harmonischen Oszillator, sonst nicht.

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
Befindet sich die Fermienergie ebenfalls in einer Bandstruktur und wenn ja wo (Anfang, Ende, Mitte)?

meinst du Fermi-Energie oder Fermi-Niveau?

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
Kann man exakte Graphen für homogene Metallarten und Mengen erstellen die alle Bandstrukturen und Energieniveaus für alle vorhandenen Elektronen darstellt?

man kann die Bandstrukturen im k-Raum heute sehr präzise berechnen sowie vermessen; dabei berechnet man jedoch immer die miminale sowie die maximale Energie des Bandes E(k) als Funktion von k, nicht jede einzelne Energie dazwischen (das wäre eher ein Ansatz für Makromoleküle mit vielen, jedoch noch diskreten Energieniveaus)

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
irgendwie scheinen die Werte im PDF, dass ich im vorherigen Beitrag verlinkt habe, überhaupt nicht zu stimmen. Ich bekomme für Kupfer eine höhere Fermienergie als für Blei und zwar aus dem einfachen Grund weil die Teilchendichte in Kupfer höher ist als in Blei. Die Bleiatome sind zwar schwerer aber in 1cm³ Blei befinden sich weniger Atome/Teilchen als in 1cm³ Kupfer.

ich bin kein Spezialist in der Festkörperphysik, aber ich denke, deine Näherungsmethode ist eben nicht geeignet

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
In einem Metall befinden sich Elektronen auf Energieniveaus oberhalb der Fermienergie des anderen Metalls.

ich kenne das nicht für ein Bimetall, aber im Falle von Halbleitern findest du eine Vielzahl von Abhandlungen zu pn-Übergängen u.ä.; in diesem Fall wird die Bandstruktur verbogen

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
kelloggs



Anmeldungsdatum: 08.06.2014
Beiträge: 244

Beitrag kelloggs Verfasst am: 08. Dez 2015 20:35    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
quasi-kontinuierlich


Wie soll man das verstehen? Man hat eine endliche Anzahl von Energieniveaus innerhalb einer Bandstruktur dessen Abstände aber kleiner sein können als das Plancksche Wirkungsquantum. Können diese nicht untereinander äquidistant sein?

TomS hat Folgendes geschrieben:
kelloggs hat Folgendes geschrieben:
Befindet sich die Fermienergie ebenfalls in einer Bandstruktur und wenn ja wo (Anfang, Ende, Mitte)?

meinst du Fermi-Energie oder Fermi-Niveau?


mit Fermi-Energie meine ich in diesem Fall das letzte Fermi-Niveau wo sich das letzte freie Elektron befindet. Stellt dieses Niveau das Ende, den Anfang oder irgendeinen Wert innerhalb einer Bandstruktur dar (oder ist es an keine Bandstruktur gebunden)?

Ich kann kurz versuchen, dass in einem Bild darzustellen - siehe Anhang

Kann man sich Bandstrukturen so vorstellen? Innerhalb dieser Bandstrukturen können sich beliebig viele Energieniveaus einstellen je nachdem wieviele Elektronen im Probekörper vorhanden sind. Wieviele Bandstrukturen gibt es in Metallen? Könnte es theoretisch ein Metall geben, dass nur eine Bandstruktur besitzt die mit der Fermi-Energie endet?

Was ich mir jetzt vorstelle ist eine Gegenüberstellung zweier unterschiedlicher Metalle mit all ihren Bandstrukturen und Energie-Niveaus um möglicherweise Tunnelbedingungen zu entdecken.



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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 08. Dez 2015 22:13    Titel: Antworten mit Zitat

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
quasi-kontinuierlich


Wie soll man das verstehen? Man hat eine endliche Anzahl von Energieniveaus innerhalb einer Bandstruktur dessen Abstände aber kleiner sein können als das Plancksche Wirkungsquantum. Können diese nicht untereinander äquidistant sein?

Ja, man hat eine endliche Anzahl, und diese könnten äquidistant sein. Sind sie aber nicht, da dies ein spezielles Potential voraussetzen würde. Ist aber egal, da die Anzahl so groß ist, dass man die Energien innerhalb des Bandes als kontinuierlich annehmen darf.

kelloggs hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
kelloggs hat Folgendes geschrieben:
Befindet sich die Fermienergie ebenfalls in einer Bandstruktur und wenn ja wo (Anfang, Ende, Mitte)?

meinst du Fermi-Energie oder Fermi-Niveau?


mit Fermi-Energie meine ich in diesem Fall das letzte Fermi-Niveau wo sich das letzte freie Elektron befindet. Stellt dieses Niveau das Ende, den Anfang oder irgendeinen Wert innerhalb einer Bandstruktur dar (oder ist es an keine Bandstruktur gebunden)?

Zur Begriffsdefinition:

Die Fermi-Energie ist der höchste besetzte Zustand bei T = 0.

Das Fermi-Niveau ist die Energie mit einer Besetzungswahrscheinlichkeit f(E,T) = 1/2; bei dieser Energie muss kein Energie-Niveau existieren.

Erstere hängt nicht von der Temperatur, letzteres schon. Letzteres ist unabhängig davon, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Energie-Niveau existiert oder nicht. Bei Isolatoren ist die Zustandsdichte innerhalb der Bandlücke exakt Null, obwohl das Fermi-Niveau dort liegen darf.

In einem Metall liegt das oberste besetzte Niveau und damit die Fermi-Energie innerhalb des Leitungsbandes, d.h. die notwendige Anregungsenergie für ein Elektron in ein unbesetztes Niveau ist (näherungsweise) Null.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

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kelloggs



Anmeldungsdatum: 08.06.2014
Beiträge: 244

Beitrag kelloggs Verfasst am: 11. Dez 2015 11:11    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo TomS,

die Verwechslungsgefahr von Fermi-Niveau und Fermi-Energie scheint nicht noch nicht ganz gelöst zu sein.

In dem englischen Wiki, dass du geschickt hast, gibt es ein eigenes Kapitel über das Fermi-Niveau (in englisch Fermi-Level siehe hier: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fermi_level ).

Schon im ersten Satz wird eine Abkürzung verwendet, die man auch bei der Fermi-Energie findet ->

Zitat:
The Fermi level is the total chemical potential for electrons (or electrochemical potential for electrons) and is usually denoted by µ or EF.


EF wird auch für die Fermi-Energie verwendet.

Diese Wahrscheinlichkeitsformel, die du angesprochen hast



was setze ich hier für und ein?

ist das Fermi-Niveau aber was für einen Wert hat es?

Eine weitere Definition, die ich im englischen Fermi-Niveau Artikel gefunden habe, lautet folgendermaßen:

Zitat:
An electronic circuit in thermodynamic equilibrium will have a constant Fermi level throughout its connected parts.


thermodynamic equilibrium heißt, dass alle Komponenten die gleiche Temperatur haben und keine Spannungsunterschiede vorliegen. Was für einen Wert hat dieser Fermi-Level? Wie berechnet man einen Fermi-Level?
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