Bändermodell und Fermi-Energie

Xeal · Anmeldungsdatum: 29.05.2007 Beiträge: 243

Hallo !
Ich habe eine Frage zur Fermi Energie:
Der Metzler (Buch aus dem Physik LK) beschreibt die Fermi Energie wie folgt:
Bei der Temperatur T=0 K sind die Elektronenzustände in einem Festkörper vom Grundzustand aufwärts besetzt. Wegen der endlichen Zahl an Elektronen, gibt es jedoch ein einen besetzten Zustand mit höchster Energie, diese Energie bezeichnet man als Fermi Energie.

Das Bild im Anhang zeigt eine Darstellung von Bändern für Metall, Halbleiter und Isolator.

Bei T=0K sind doch alle Elektronen im Valenzband, sodass die Fermi Energie demnach durch die obere Kante des Valenzbandes gegeben sein müsste.

Bei Halbleiter und Isolator sieht es jedoch so aus, als ob die Fermi Energie (auf der Hälfte ??? ) zwischen Valenz und Leitungsband befindet.

Dort ist doch aber eigentlich die Verbotene Zone, in der sich keine Elektronen aufhalten..

Wer kanns erklären ?

Gruß
Holger

nekros7 · Anmeldungsdatum: 18.08.2006 Beiträge: 154

Ich weiss nicht, wie gut du dich mit Halbleitern auskennst, aber es gibt in Halbleiter Löcher und Elektronenleitung. Man kann ein Loch als positiv geladene Ladung ansehen. Im intrinsischen Halbleiter, der eigtl. ein Isolator ist, ist die Anzahl der Löcher gleich der Anzahl der Elektronen. Wenn man dann noch etwas rumrechnet, ergibt sich dass

in der Mitte liegt.

Xeal · Anmeldungsdatum: 29.05.2007 Beiträge: 243

Danke für die Antwort, allerdings finde ich sie noch nicht ganz befrieidgend.

Wie kann das sein, wenn die Fermi energie die Grenze angiebt, bis zu der sich elektronen aufhalten können, das bei Betrachtung dieser Grenze auch Zustände im Bereich der Verbotenen Zone liegen können ?

nekros7 · Anmeldungsdatum: 18.08.2006 Beiträge: 154

Die Fermi-Verteilung gibt nur an mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Zustand besetzt ist. Dabei ist das Fermi-Niveau die Energie des letzten Zustand. Dieser Zustand muss aber nicht unbedingt besetzt sein. Da im intrinsischen Halbleiter kein Zustand innerhalb der Energielücke existiert, gibt es dort keine besetzen Zustände. Das Fermi-Niveau kann dort aber trotzdem liegen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich bin mir da auch nicht ganz sicher, muss ich zugeben...
Allerdings habe ich gerade mal im Kittel nachgeschaut. Der zeichnet auch das "Fermi level" mitten in den "energy gap".
Ich denke aber, dass Xeals Überlegung trotzdem nicht wirklich falsch sind. Nur muss man genau hinschauen, was man unter der Fermi-Energie versteht. Wenn man nämlich sagt, wie es eigentlich auch allgemein recht üblich ist, dass bei 0K die Fermi-Energie gerade der Energie, des energiereichsten Elektrons entspricht, dann hat Xeal recht und dieses Niveau liegt tatsächlich an der oberen Kante des Valenzbandes. Das ist ja de facto eben die Energie des energiereichsten Elektrons bei 0K!

Wenn ich mir allerdings den Text genauer anschaue, stelle ich fest, dass in diesem Zusammenhang mit Fermi-Energie etwas anderes gemeint ist: Er holt nämlich die Formel für die Fermi-Verteilung eines freien Elektronen-Gases aus ein paar Kapiteln früher wieder raus. Bei freien Elektronen gibt es natürlich keine Energielücke. Deshalb bekommt man eben auch eine ganz normale Verteilung ganz ohne Bruch. Wahrscheinlich ist eine Rechnung auch gar nicht anders wirklich möglich, keine Ahnung.
Das Gute ist jetzt, dass wenn man die Verteilung für ein freies Elektronen-Gas nimmt und darin nur die Anzahl der Elektronen zählt, die über der Unterkante des Leitungsbandes liegen, dann entspricht diese gerade der Anzahl der Elektronen, die tatsächlich im Leiterband sind. Was mit den Elektronen unten dran passiert, ist dabei "egal". Eigentlich müsste die Wärmekapazität des Elektronengases selbst genau 0 sein, so lange noch kein einziges Elektron im Leitungsband ist. Es kommen ja erstmal bei Erwärmung keine neuen Zustände dazu, bis das erste Elektron angeregt werden kann. Bei einem Isolator sollten also die Elektronen auch kaum zur Wärmekapazität beitragen. Das aber nur nebenbei...

Also nochmal zusammen fassend: Man rechnet eine Fermi-Verteilung der Elektronen aus, wie sie bei einem freien Elektronen-Gas wäre. Die Fermienergie liegt dann gerade da, wo bei einem Halbleiter und auch bei einem Isolator die Energie-Lücke ist. Weil die Anzahl der Zustände bis zur Oberkante des Valenzbandes genau der Anzahl der Zustände eines freien Elektronengases bis zur Fermikante entspricht, hat bei 0K das energierechste Elektron dann die Energie der Oberkante und nicht die Fermienergie, die ein freies Elektronengas hätte. Man nimmt die Verteilung aber trotzdem so an, weil die Anzahl der Elektronen im Leitungsband genau der Anzahl entspricht, die man bekommt, wenn man die freie Fermi-Gas Verteilung einfach ab der Leitungsband-Minimums-Energie abschneitet und nur die Elektronen über dieser Grenze zählt. Die Fermienergie der Verteilung hat da also nur noch rechnerischen Wert, wenn man so will.

Aber keine Garantie, dass das jetzt so richtig ist. Allerdings ergibt es für mich so einen gewissen Sinn.

Gruß
Marco

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

So habe ich es auch verstanden: Die Fermi-Energie ist (wie auch immer) proportional zur Wahrscheinlichkeit, mit der ein Zustand besetzt ist. Ob alle Zustaende, die eine Wahrscheinlichkeit groesser null zugewiesen bekommen, auch existieren, ist dabei nicht beruecksichtigt.

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Falls ihr mit Festkörperphysik bisher wenig zu tun hattet, dann lest doch mal hier nach

http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw2_ge/kap_5/backbone/r5_1_2.html

Gruß von Bruce

hanswurscht · Gast

ich bin kein pro aber evt liegt hier der unterschied zwischen Fermienergie und Ferminiveau, sodass das Ferminiveau in der Bandlücke liegt nicht aber die Fermienergie. Niveau = 50% Wahrscheinlickeitsbesetzugn , Fermienergie = HOMO bei 0K.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062