Hamilton-Operator des Hubbard-Modells

Klausimaus · Anmeldungsdatum: 19.11.2015 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich habe gelesen, dass der Hamilton-Operator des Hubbard-Modells

invariant unter Rotation der Richtung des Spins ist, also mit dem Operator

kommutiert. Hier bei ist

der Vektor der Pauli-Matrizen und

sind fermionische Vernichtungs-bzw. Erzeugungsoperatoren für ein Elektron mit Spin s am Platz i.

Meine Ideen:
Ich habe folgende Kommutatoren für Produkte der Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren hergeleitet:

Mit dem ersten Teil des Hamilton-Operators mit dem Vorfaktor

geht alles gut und es kommt null heraus. Nur mit dem zweiten Teil habe ich meine Probleme. Ich lande am Ende bei dem Term:

Hier verschwindet der Term nur für

. Eigentlich bin ich sicher, dass ich mich nicht verrechnet habe, sehe aber nicht, warum der Term verschwinden sollte.

Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe?

liebe Grüße
Klaus

Feynman-Fan1729 · Anmeldungsdatum: 19.01.2011 Beiträge: 94 Wohnort: Chemnitz

Also ich habe auch viel rumgerechnet und komme auf deinem Weg zum selben Ergebnis. Ich konnte die Invarianz aber auf einem anderen (umständlicheren ) Wege zeigen. Ich werde mal versuchen dich durch diesen durchzuleiten:

Versuch als erstes mal den zweiten Teil des Hamiltonians so zu schreiben:

Dann versuch den zweiten Term mit den Operatoren

zu schreiben. Dann reden wir weiter.

liebe Grüße
Feynman-Fan

Klausimausi · Gast

Ja, das geht mit den AntiKommutatoren. Ich habe:

Feynman-Fan1729 · Anmeldungsdatum: 19.01.2011 Beiträge: 94 Wohnort: Chemnitz

Das ging aber schnell. Gut kannst du jetzt den Kommutator vom ersten Teil berechnen?

Feynman-Fan1729 · Anmeldungsdatum: 19.01.2011 Beiträge: 94 Wohnort: Chemnitz

Ich erhalte:

Klausimausi · Gast

Gut, für den anderen Teil erhalte ich das selbe mit negativem Vorzeichen. Der gesamte Kommutator verschwindet also. Warum geht das aber nicht mit meiner Methode? Kann jemand das Verschwinden mit meiner Methode zeigen? Nur aus Neugierde...

Feynman-Fan1729 · Anmeldungsdatum: 19.01.2011 Beiträge: 94 Wohnort: Chemnitz

Keine Ahnung aber so geht das ja auch...
Ich nehme an wir haben uns auf dem langen Weg mal verrechnet. Vielleicht hat jemand anderes mehr Glück und teilt uns mit, dass es funktioniert...

Klausimausi · Gast

Danke dir Feynman-Fan. So bin ich mit der Lösung zufrieden. Ein weiteres Mal werde ich allerdings die Rechnung mit den Operatoren der zweiten Quantisierung nicht machen. Wenn jemand die Rechnung dennoch fehlerfrei geschafft hat, wäre ich sehr daran interessiert, dies zu erfahren...

Danke nochmals
Klaus

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Am einfachsten berechnet man

mit

und den von Dir berechneten Kommutatorrelationen für [n,c^+] und [n,c]. Das ist im wesentlichen eine Zeile dann, da sich die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme getrennt wegheben.

klausimausi · Gast

Vielen Dank für die Antwort. Die von Dir angegebene Formel habe ich ebenfalls vorher schon verwendet. Das Problem ist, dass die von Dir weggelassenen Indices wichtig sind. Ich erhalte

und damit heben sich der erste und der zweite Term nicht in jedem Fall weg, Analoges gilt für den dritten und vierten Term. Wo liegt also mein Denkfehler?

Liebe Grüße
Klaus

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Sorry, ich hätte bisschen präziser sein sollen smile

Da steht sowas wie:

Nun sind aber die meisten Terme der Summe Null. Es gibt nur einen der beitragen kann (

) und da heben sich beide gerade weg.

Wieso das so ist darfst Du Die jetzt selber überlegen Augenzwinkern

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

PS: Mir fällt gerade auf, dass die Terme die Null sein sollen, vllt noch einen Teil haben, der sich aufheben muss zwischen beiden Termin. Es kann sein dass diese Teile dann noch die beiden anderen braucht ...ah... hatte das gestern eigentlich nachgerechnet und da machte es Sinn Augenzwinkern

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

So, ich hab mich jetzt nochmal hingesetzt und alles etwas vorsichtiger aufgeschrieben. Es gibt in der Tat einen Term der hier übrig bleibt für

, aber der hebt sich mit einem Term aus den letzten beiden Kommutatortermen (die "..." oben) weg.

Sehr viel unschöner als ich das vermutet hätte...

klausimausi · Gast

Die letzten beiden Terme können die ersten beiden Terme in dem von dir angesprochenen Fall nicht aufheben, da die ersten beiden Terme dann drei Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für einen up-Spinzustand enthalten, die letzten beiden Terme enthalten dann aber drei Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für einen down-Spinzustand. Oder sehe ich das falsch?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

klausimausi · Gast

Also, ich sehe nicht, wie ich tauschen muss: Wenn ich die Operatoren, die im selben Spinraum wirken und zueinander adjungiert sind, tausche, weil ja nur dann ein Zusatzterm beim Kommutieren entsteht, heben sich zwar die Operatoren weg, die nur noch aus einem Vernichter und einem Erzeuger bestehen. Die Terme, die aber eine unterschiedliche Anzahl an Vernichtern und Erzeugern in den Spinräumen haben, bleiben erhalten. Diese Terme kann ich ja nicht einfach wegtauschen. Vielleicht stehe ich auch auf dem Schlauch, aber die Bedingung

legt ja alle Spins fest, auf die die Operatoren wirken. Hast du die Bedingung denn auch ganz ausgeschrieben?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

klausimausi · Gast

Weil die Quadrate von Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren null sind?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

klausimausi · Gast

DANKE !