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Hamilton-Operator des Hubbard-Modells
 
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Klausimaus



Anmeldungsdatum: 19.11.2015
Beiträge: 1

Beitrag Klausimaus Verfasst am: 19. Nov 2015 14:46    Titel: Hamilton-Operator des Hubbard-Modells Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ich habe gelesen, dass der Hamilton-Operator des Hubbard-Modells



invariant unter Rotation der Richtung des Spins ist, also mit dem Operator



kommutiert. Hier bei ist der Vektor der Pauli-Matrizen und sind fermionische Vernichtungs-bzw. Erzeugungsoperatoren für ein Elektron mit Spin s am Platz i.

Meine Ideen:
Ich habe folgende Kommutatoren für Produkte der Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren hergeleitet:



Mit dem ersten Teil des Hamilton-Operators mit dem Vorfaktor geht alles gut und es kommt null heraus. Nur mit dem zweiten Teil habe ich meine Probleme. Ich lande am Ende bei dem Term:



Hier verschwindet der Term nur für . Eigentlich bin ich sicher, dass ich mich nicht verrechnet habe, sehe aber nicht, warum der Term verschwinden sollte.

Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe?

liebe Grüße
Klaus
Feynman-Fan1729



Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz

Beitrag Feynman-Fan1729 Verfasst am: 20. Nov 2015 10:06    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich habe auch viel rumgerechnet und komme auf deinem Weg zum selben Ergebnis. Ich konnte die Invarianz aber auf einem anderen (umständlicheren ) Wege zeigen. Ich werde mal versuchen dich durch diesen durchzuleiten:

Versuch als erstes mal den zweiten Teil des Hamiltonians so zu schreiben:



Dann versuch den zweiten Term mit den Operatoren zu schreiben. Dann reden wir weiter.

liebe Grüße
Feynman-Fan
Klausimausi
Gast





Beitrag Klausimausi Verfasst am: 20. Nov 2015 10:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das geht mit den AntiKommutatoren. Ich habe:

Feynman-Fan1729



Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz

Beitrag Feynman-Fan1729 Verfasst am: 20. Nov 2015 10:19    Titel: Antworten mit Zitat

Das ging aber schnell. Gut kannst du jetzt den Kommutator vom ersten Teil berechnen?
Feynman-Fan1729



Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz

Beitrag Feynman-Fan1729 Verfasst am: 20. Nov 2015 10:28    Titel: Antworten mit Zitat

Ich erhalte:

Klausimausi
Gast





Beitrag Klausimausi Verfasst am: 20. Nov 2015 10:34    Titel: Antworten mit Zitat

Gut, für den anderen Teil erhalte ich das selbe mit negativem Vorzeichen. Der gesamte Kommutator verschwindet also. Warum geht das aber nicht mit meiner Methode? Kann jemand das Verschwinden mit meiner Methode zeigen? Nur aus Neugierde...
Feynman-Fan1729



Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz

Beitrag Feynman-Fan1729 Verfasst am: 20. Nov 2015 10:36    Titel: Antworten mit Zitat

Keine Ahnung aber so geht das ja auch...
Ich nehme an wir haben uns auf dem langen Weg mal verrechnet. Vielleicht hat jemand anderes mehr Glück und teilt uns mit, dass es funktioniert...
Klausimausi
Gast





Beitrag Klausimausi Verfasst am: 20. Nov 2015 11:19    Titel: Antworten mit Zitat

Danke dir Feynman-Fan. So bin ich mit der Lösung zufrieden. Ein weiteres Mal werde ich allerdings die Rechnung mit den Operatoren der zweiten Quantisierung nicht machen. Wenn jemand die Rechnung dennoch fehlerfrei geschafft hat, wäre ich sehr daran interessiert, dies zu erfahren...

Danke nochmals
Klaus
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Nov 2015 16:24    Titel: Antworten mit Zitat

Am einfachsten berechnet man mit

und den von Dir berechneten Kommutatorrelationen für [n,c^+] und [n,c]. Das ist im wesentlichen eine Zeile dann, da sich die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme getrennt wegheben.
klausimausi
Gast





Beitrag klausimausi Verfasst am: 21. Nov 2015 13:08    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für die Antwort. Die von Dir angegebene Formel habe ich ebenfalls vorher schon verwendet. Das Problem ist, dass die von Dir weggelassenen Indices wichtig sind. Ich erhalte



und damit heben sich der erste und der zweite Term nicht in jedem Fall weg, Analoges gilt für den dritten und vierten Term. Wo liegt also mein Denkfehler?

Liebe Grüße
Klaus
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2015 13:47    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich hätte bisschen präziser sein sollen smile

Da steht sowas wie:

Nun sind aber die meisten Terme der Summe Null. Es gibt nur einen der beitragen kann () und da heben sich beide gerade weg.

Wieso das so ist darfst Du Die jetzt selber überlegen Augenzwinkern


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 21. Nov 2015 14:09, insgesamt einmal bearbeitet
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2015 14:09    Titel: Antworten mit Zitat

PS: Mir fällt gerade auf, dass die Terme die Null sein sollen, vllt noch einen Teil haben, der sich aufheben muss zwischen beiden Termin. Es kann sein dass diese Teile dann noch die beiden anderen braucht ...ah... hatte das gestern eigentlich nachgerechnet und da machte es Sinn Augenzwinkern
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2015 17:48    Titel: Antworten mit Zitat

So, ich hab mich jetzt nochmal hingesetzt und alles etwas vorsichtiger aufgeschrieben. Es gibt in der Tat einen Term der hier übrig bleibt für , aber der hebt sich mit einem Term aus den letzten beiden Kommutatortermen (die "..." oben) weg.

Sehr viel unschöner als ich das vermutet hätte...
klausimausi
Gast





Beitrag klausimausi Verfasst am: 21. Nov 2015 19:34    Titel: Antworten mit Zitat

Die letzten beiden Terme können die ersten beiden Terme in dem von dir angesprochenen Fall nicht aufheben, da die ersten beiden Terme dann drei Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für einen up-Spinzustand enthalten, die letzten beiden Terme enthalten dann aber drei Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für einen down-Spinzustand. Oder sehe ich das falsch?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2015 20:10    Titel: Antworten mit Zitat

klausimausi hat Folgendes geschrieben:
Die letzten beiden Terme können die ersten beiden Terme in dem von dir angesprochenen Fall nicht aufheben, da die ersten beiden Terme dann drei Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für einen up-Spinzustand enthalten, die letzten beiden Terme enthalten dann aber drei Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für einen down-Spinzustand. Oder sehe ich das falsch?

Das dachte ich auch erst, aber um die Terme zu vereinfachen musst Du Operatoren durchtauschen und die nicht-triviale Antikommutatorrelation sorgt dann dafür, dass einige Operatoren verschwinden.

Ich weiss nicht, ob es eleganter geht, aber mit dem expliziten Ausschreiben der Summe funktioniert es ohne irgendwelche Fallstricke.
klausimausi
Gast





Beitrag klausimausi Verfasst am: 21. Nov 2015 21:23    Titel: Antworten mit Zitat

Also, ich sehe nicht, wie ich tauschen muss: Wenn ich die Operatoren, die im selben Spinraum wirken und zueinander adjungiert sind, tausche, weil ja nur dann ein Zusatzterm beim Kommutieren entsteht, heben sich zwar die Operatoren weg, die nur noch aus einem Vernichter und einem Erzeuger bestehen. Die Terme, die aber eine unterschiedliche Anzahl an Vernichtern und Erzeugern in den Spinräumen haben, bleiben erhalten. Diese Terme kann ich ja nicht einfach wegtauschen. Vielleicht stehe ich auch auf dem Schlauch, aber die Bedingung legt ja alle Spins fest, auf die die Operatoren wirken. Hast du die Bedingung denn auch ganz ausgeschrieben?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2015 21:25    Titel: Antworten mit Zitat

klausimausi hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich die Operatoren, die im selben Spinraum wirken und zueinander adjungiert sind, tausche, weil ja nur dann ein Zusatzterm beim Kommutieren entsteht, heben sich zwar die Operatoren weg, die nur noch aus einem Vernichter und einem Erzeuger bestehen. Die Terme, die aber eine unterschiedliche Anzahl an Vernichtern und Erzeugern in den Spinräumen haben, bleiben erhalten.

Die einen Terme heben sich weg, die andere sind 0.
klausimausi
Gast





Beitrag klausimausi Verfasst am: 21. Nov 2015 21:43    Titel: Antworten mit Zitat

Weil die Quadrate von Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren null sind?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2015 21:43    Titel: Antworten mit Zitat

klausimausi hat Folgendes geschrieben:
Weil die Quadrate von Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren null sind?

Thumbs up!
klausimausi
Gast





Beitrag klausimausi Verfasst am: 21. Nov 2015 22:21    Titel: Antworten mit Zitat

DANKE !
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