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TheOne1
Anmeldungsdatum: 06.11.2015
Beiträge: 2
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 TheOne1 Verfasst am: 06. Nov 2015 19:41 Titel: Euler-Lagrange-Gleichungen und Noether-Theorem |
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Hallo,
die Euler-Lagrangegleichungen lassen sich ja über infinitesimale Transformationen aus dem Variationsprinzip mit  herleiten.
Nun stellst sich mir aber die Frage, inwiefern dies mit dem Noether-Theorem zusammenpasst? Hier habe ich als Voraussetzung Transformationen, welche die Wirkung invariant lassen (dies sollt doch gleichbedeutend mit sein, oder?), dann gäbe es aber nach dem Theorem eine Erhaltungsgröße?
Irgendwie sehe ich nicht ganz wo der Unterschied zwischen den beiden Dingen ist und warum es keine Erhaltungsgröße gibt bzw. dies nicht zu einer Symmetrie führt.
Vielen Dank für eure Hilfe
TheOne |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 06. Nov 2015 20:00 Titel: Re: Euler-Lagrange-Gleichungen und Noether-Theorem |
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Die Aussage des Noether-Theorems ist folgende:
1. Eine (globale) Symmetrietransformation (mit Parameter  ) ist eine Transformation der Felder unter der  gilt, selbst wenn die Felder nicht die Bewegungsgleichungen erfüllen. Das ist im wesentlichen die Definition einer Symmetrietransformation.
2. Für die gleiche Transformation aber mit x-abhängigem Parameter ) gilt dann notwendigerweise  \partial_\mu\epsilon(x)) für irgendeine Funktion  ) .
3. Wenn die Felder jetzt zusätzlich die Bewegungsgleichungen erfüllen, dann gilt  \partial_\mu\epsilon(x)= 0) . D.h. der Strom ist erhalten und die korrespondierende Ladung auch.
Ich hoffe das hilft ein wenig. |
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TheOne1
Anmeldungsdatum: 06.11.2015
Beiträge: 2
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| TheOne1 Verfasst am: 06. Nov 2015 21:11 Titel: |
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Vielen Dank für deine Antwort.
Ich fürchte mir ist nicht ganz klar wo der Unterschied zwischen der Forderung bzgl. der Wirkung im Noether-Theorem und die Verwendung der Wirkung bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung.
Es kann im beiden Falle ja nicht das selbe sein? Zum einen Verwendet man im Beweis des Noether-Theorems die Euler-Lagrange-Gleichungen und auf der anderen Seite, müsste die Invarianz, welche zu den E-L-Gl. führt, auch sofort eine Symmetrie und somit eine Erhaltungsgröße implizieren.
Also würde ich vermuten, dass beide Bedingungen an die Wirkung wesentlich verschieden sind? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 06. Nov 2015 22:35 Titel: |
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| TheOne1 hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für deine Antwort.
Ich fürchte mir ist nicht ganz klar wo der Unterschied zwischen der Forderung bzgl. der Wirkung im Noether-Theorem und die Verwendung der Wirkung bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung.
Es kann im beiden Falle ja nicht das selbe sein? Zum einen Verwendet man im Beweis des Noether-Theorems die Euler-Lagrange-Gleichungen und auf der anderen Seite, müsste die Invarianz, welche zu den E-L-Gl. führt, auch sofort eine Symmetrie und somit eine Erhaltungsgröße implizieren.
Also würde ich vermuten, dass beide Bedingungen an die Wirkung wesentlich verschieden sind? |
Das folgende ist eher Heuristik. Eigentlich müßte man genauer definieren, was die "Variationen"  etc. bedeuten, als ich das tue, aber die Grundidee ist ungefähr die folgende. Wenn man die Variation der Wirkung bezüglich Ort und Zeit ausrechnet, setzt sie sich aus zwei Teilen zusammen: 1) der Funktionalableitung und 2) Randtermen. Nämlich im einzelnen ungefähr so
 + \int\dd t\frac{\dd}{\dd t}(p\delta x - H\delta t))
(mit p=kanonischer Impuls, und H = Jacobi-Funktion)
Wenn  für alle Variationen, die am Rand verschwinden (dann ist der zweite Term gleich null), dann muß
sein (Fundamentalsatz der Variationsrechnung). Das liefert die Bewegungsgleichung.
Wenn andererseits für bestimmte diese Variation ein totales Zeitdifferential ergibt, d.h.
dann folgt aus der Erfüllung der Bewegungsgleichungen, d.h. aus die Bezeihung
 = 0,)
also ein Erhaltungssatz und die Variationen bilden die Generatoren einer Symmetrietransformation. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2015 09:23 Titel: |
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| TheOne1 hat Folgendes geschrieben: | | ... auf der anderen Seite, müsste die Invarianz, welche zu den E-L-Gl. ... |
Es führt keine Invarianz zu den Euler-Lagrange-Gleichungen. |
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