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Nachricht |
Hausmeister Krause
Anmeldungsdatum: 14.10.2015
Beiträge: 7
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 Hausmeister Krause Verfasst am: 18. Okt 2015 16:14 Titel: Stabilster Massenmittelpunkt einer Dose |
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Meine Frage:
Guten Tag miteinander
Ich hätte da folgende Frag und zwar: Eine zylindrische DOse mit der Masse M und der Höhe H, die zunächst mit einer Flüssigkeit der Masse m vollständig aufgefüllt ist, wird langsam entleert. Die Ose steht auf einem Ihrer Böden.
Frage a) Wie verändert sich der Massenmittelpunkt der Dose als Funktion des Flüssigkeitstandes x?
Antwort a) h(x)=  \cdot (x\cdot m_{o}) }{2\cdot (x\cdot m_{o})+ M } )
wobei:
M = Masse Dose
H = Höhe Dose
x = Füllstand
 = Masse Flüssigkeit in Abhängigkeit des Füllstandes x
Frage b) Bis zu welcher Hähe muss die Dose gefüllt sein, damit sie so stabil wie möglich steht.
=> Da komme ich nun icht mehr weiter
Meine Ideen:
Meine Idee wäre es, dass es eine Extremwert-Aufgabe ist und ich die obige Funktion h(x) ableiten müsste. Wäre das korrekt? |
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rg2
Gast
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| rg2 Verfasst am: 18. Okt 2015 18:11 Titel: |
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bei h(x) stimmen die Einheiten nicht
die Masse der Flüssigkeit würde ich so schreiben m=m0*x/H |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5874
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 18. Okt 2015 18:25 Titel: |
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Überprüf Deine Formel h(x). Tip: Dimensionsgleichung: kommt da eine Längeneinheit raus?
Was meinst Du mit "...am stabilsten steht"? |
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rg2
Gast
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| rg2 Verfasst am: 18. Okt 2015 18:46 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Was meinst Du mit "...am stabilsten steht"? |
Der Schwerpunkt möglichst weit unten |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5874
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 18. Okt 2015 20:01 Titel: |
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| rg2 hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Was meinst Du mit "...am stabilsten steht"? |
Der Schwerpunkt möglichst weit unten |
Stell die Momentengleichungen bezogen auf den Boden der Dose auf und bestimme h(x). Dimensionsgleichung aufstellen!
1. Ableitung nach Quotientenregel und Minimum bestimmen. |
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Hausmeister Krause
Anmeldungsdatum: 14.10.2015
Beiträge: 7
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| Hausmeister Krause Verfasst am: 18. Okt 2015 21:56 Titel: |
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Ok.... ich bedanke mich schon einmal im Voraus herzlich für Eure informativen Kommentare.
Ich habe mich jetzt gerade mit den Kommentaren von rg2 und Mathefix beschäftigt, mir ist eingefallen, dass ich einen dummen Fehler gemacht habe und zwar stellte ich das ganze eigentlich folgendermassen auf:
Antwort a) h(x)=
wobei:
M = Masse Dose
H = Höhe Dose
x = Füllstand in %
= Masse Flüssigkeit in Abhängigkeit des Füllstandes x
Ich glaube nun sollte es stimmen mit den Einheiten? 
Ja Ihr habt recht, stabilster Massenmittelpunkt ist ein wenig sehr unglücklich ausgedrückt. Es sollte bedeuten, wir rg2 angedeutet hatt, so dass der Schwerpunkt am weitsten unten ist.
Also dann muss ich nun um den "ideal Schwerpunkt" zu bekommen das ganze Ableiten?  
Besten Dank im Voraus. |
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rg2
Gast
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| rg2 Verfasst am: 18. Okt 2015 22:12 Titel: |
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| Hausmeister Krause hat Folgendes geschrieben: |
x = Füllstand in %
= Masse Flüssigkeit in Abhängigkeit des Füllstandes x
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Sehr seltsam
ich würde das nehmen für die Masse der Flüssigkeit
m0 ist dann die Flüssigkeitsmasse wenn das Glas voll ist |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5874
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Okt 2015 10:44 Titel: |
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Schritt für Schritt:
Boden der Dose als Bezugsachse
 Moment der Dose
Moment der Masse 
\cdot \frac{x}{2} )
=m_0\cdot \frac{x}{H} )
=m_0\cdot \frac{x^{2} }{2\cdot H} )
Gesamtmoment 
)\cdot h(x))
Gleichgewicht
=\frac{H\cdot m_d+ \frac{m_0}{H}\cdot x^{2}}{2\cdot (m_d+ \frac{m_0}{H}\cdot x)} )
Extremwert durch Ableitung nach Quotientenregel bestimmen
an der Stelle
)
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Hausmeister Krause
Anmeldungsdatum: 14.10.2015
Beiträge: 7
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| Hausmeister Krause Verfasst am: 19. Okt 2015 16:58 Titel: |
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Hallo rg2 und Mathefix. Besten Dank für eure Antworten
Mathefix ich hätte da noch ein paar Fragen... (sorry)
Ich bin jetzt deine sehr gute Aufstellung noch einmal durchgegangen und verstehe sie beinahe komplett. Was ich nicht verstehe ich folgendes:
)\cdot h_{x} )
Wie kommt das zustande?
=\frac{H\cdot m_{d} + \frac{m_{0} }{H} \cdot x^{2} }{2\cdot (m_{d} + \frac{m_{0} }{H} \cdot x } )
-  das wird ja von dem Moment der Dose kommen (ist das /2 das 2 unterhalb des Bruchstriches?) - Doch wo ist hier das /2?
-  das entstand ja aus  )
- 
woher kommt dieser Ausdruck unter dem Bruchstrich?
Un zum schluss... ich musste noch nie einen solche Ableitung machen. Könnten wir das ev zu 2. durchgehen?
Ich bedanke mich herlzlich für deine Geduld und Hilfe und weiss es sehr zu schätzen. Und durch deine gute Erklärung ist mir die Vorgehensweise einer solchen Aufgabe sehr viel klarer geworden.
Vielen Vielen Dank Mathefix!!
Freundliche Grüsse |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5874
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Okt 2015 18:16 Titel: |
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Wie kommt der Ausdruck unter dem Bruchstrich zustande?
Der Faktor 2 ist durch Ausklammern von 1/2 im Zähler entstanden.
Zum Verständnis: Du mußt Dir eine Balkenwaage vorstellen. Auf dem linken Balkenstück die Massen M1 und M2 mit den Abständen L1 und L2 zum Drehpunkt. Frage: An welcher Entfernung L3 zum Drehpunkt muß eine Masse M3, die die Summe
der beiden linken Massen ist, auf dem rechten Balkenstück plaziert werden, damit Gleichgewicht herrscht.
Summe der rechten Momente = Summe der linken Momente
M1*L1+M2*L2 = M3*L3
M3 =M1+M2
M1*L1+M2*L2 =(M1+M2)*L3
L3 = (M1*L1+M2*L2)/(M1+M2)
)\cdot h(x))
entspricht dem Moment auf dem rechten Balkenstück.
Der Faktor  enstand indem
bei der Gesamtmasse )
= m_0\cdot \frac{x}{H} gesetzt wurde)
Da
\cdot h(x)= M_d+ M_m)
ist
=\frac{M_d+ M_m}{m_d+ \frac{m_0}{H}\cdot x })
Nun zu der 1. Ableitung
h(x) ist ein Quotient bei dem mann den Zähler u und den Nenner v setzt.
=\frac{u}{v}=\frac{H\cdot m_m+ \frac{m_0}{H} \cdot x^{2} }{2\cdot (m_d+ \frac{m_0}{H}\cdot x )} )
1. Ableitung nach Quotientenregel
}{dx} =\frac{v\cdot \frac{du}{dx}- u\cdot \frac{dv}{dx} }{v^{2} } )
 )
in Quotientenregel einsetzen.
Extremwert
Quotient = 0, wenn Zähler = 0
Zähler 0 setzen
Quadratische Gleichung mit Mitternachtsformel nach x auflösen.
das wär´s! |
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Hausmeister Krause
Anmeldungsdatum: 14.10.2015
Beiträge: 7
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| Hausmeister Krause Verfasst am: 19. Okt 2015 20:17 Titel: |
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Vielen Dank Mathefix. Ich werde es heute Abend noch durchgehen.
Ich weiss Deine Mühe zu schätzen.
Wünsche Dir noch einen schönen Abend.
Grüsse  |
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borromeus
Anmeldungsdatum: 29.12.2014
Beiträge: 509
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| borromeus Verfasst am: 19. Okt 2015 22:42 Titel: |
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Welche schreiben von gewonnenen Bierkisten, der Krause winkt damit, lediglich der Mathefix kriegt nie eines.
Ich bin für eine Petition für sein Bier! |
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