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multi
Gast
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 multi Verfasst am: 09. Sep 2015 18:33 Titel: 4 lineare Punktladungen / Multipolentwicklung |
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Meine Frage:
Guten Abend (:
ich bin gerade dabei die Elektrodynamik zu wiederholen und ich habe die (offenichtlich superleichte) Multipolentwicklungsaufgabe immer noch nicht verstanden >.<
"Bestimmen Sie in einer linearen Anordnung von 4 Punktladungen q1 und q2 so, dass das Potential in alle Richtungen für r >> a schneller abfällt als 1/r^2"
Das sieht dann so aus, dass q1 ganz links ist und im Abstand a 2q und dann wieder Abstand a, dann kommt der Nullpunkt, nach einem Abstand a q2 und dann wieder nach einem Abstand a -5q
Meine Ideen:
Ich habe die Unterlagen gerade nicht hier, aber ich kann mich erinnern, dass wir das Potential der Multipolentwicklung (o.ä. ?) aufgeschrieben haben und man anhand der einzelnen Terme erkennen konnte, dass das sowieso ab dem Dipol schneller als 1/r^2 abfällt.
Dann haben wir uns an die Berechnung gemacht und zwei Gleichungen aufgestellt und umgeformt, sodass man a rausbekommen hat. Mir erschließt sich nur nicht woher die kommen bzw wie die aufgestellt wurden.
Vielen Dank schon einmal (: |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 10. Sep 2015 10:15 Titel: Re: 4 lineare Punktladungen / Multipolentwicklung |
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| multi hat Folgendes geschrieben: | | ich kann mich erinnern, dass wir das Potential der Multipolentwicklung (o.ä. ?) aufgeschrieben haben und man anhand der einzelnen Terme erkennen konnte, dass das sowieso ab dem Dipol schneller als 1/r^2 abfällt. |
Nein, das gilt für die Feldstärke bzw. die Kraft auf eine Probeladung, nicht für das Potential. Beim Potential ist der Absolutwert des Exponenten um eins kleiner. Damit das Potential schneller als  abfällt, muss daher das Monopolmoment  (= Summe aller Ladungen) und das Dipolmoment  (= Summe aller Dipolmomente der Ladungen) Null werden. Deine beiden Gleichungen zur Bestimmung der unbekannten Ladungen sind also:
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multi
Gast
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| multi Verfasst am: 10. Sep 2015 12:09 Titel: |
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Irgendwie verstehe ich trotzdem noch nicht genau den Zusammenhang ... Also warum das sein muss. Vielleicht stehe auch einfach nur auf dem Schlauch  Auf jeden Fall kann ich die Rechnung hier auf dem Zettel besser nachvollziehen.
(Und jap ich hab hier doch 1/r^3 stehen) |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 10. Sep 2015 12:28 Titel: |
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Na die Feldstärke ist doch der Gradient des Potentials. Geht das Potential mit  , so geht die zugehörige Feldstärke mit . Geht das Potential mit , wie beim Dipol, so geht die Feldstärke mit  .
Schau halt noch mal, ob die auf deinem Zettel nicht für die Feldstärke gelten sollen. Falls da wirklich Potential steht, schau mal ob da nicht  steht, was ja auch entspricht. Ist beides nicht der Fall, hast du etwas falsch aufgeschrieben. |
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multi
Gast
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| multi Verfasst am: 11. Sep 2015 15:13 Titel: |
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Vielen Dank, ich glaube ich habs jetzt verstanden (:
Noch eine Frage zum Quadrupoltensor. Ich wollte gerade ein Beispiel dazu rechnen, nur ist mir jetzt etwas unklar für das Einsetzen.
^k (x_1)^k -((r_k))^2 )
Jetzt habe ich als Beispiel die Ladungen
 mit r = 2a,2a,0 und  mit r = 0,2a,0
wenn ich das einsetzen möchte, dann ist der Teil für q_1  ) nur wie ist das für  ? da ist k dann zwei und in der Klammer steht^2(x_1)^2) wofür steht die eins und wofür die zwei? Muss ich jetzt dort die x oder y Komponente einsetzen?
Ich habe das jetzt so verstanden, dass das k mir sagt, dass ich r von q_2 nehmen muss, da k = 2 ist und die 1 steht dann für die erste Komponente, also x. Ist das richtig so? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 11. Sep 2015 17:19 Titel: |
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| multi hat Folgendes geschrieben: | |
Wie kommst du auf diese Formel mit dem Index k im Exponenten? Schau dir noch mal die Formel für den Quadrupolmomenttensor bei n Punktladungen in der Wiki an!
Mit  meinst du sicher  oder?
@Edit
Die Indizes des Quadrupolmomenttensors bezeichnen nicht die Ladungen, sondern die Raumrichtungen! |
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multi
Gast
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| multi Verfasst am: 13. Sep 2015 11:40 Titel: |
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q_1: +q_0 mit r_1 = a,a,0
q_2: -q_0 mit r_2 = -a,a,0
q_3: +q_0 mit r_3 = -a,-a,0
q_4: -q_0 mit r_4 = a,-a,0
wenn ich diese Aufgabe jetzt mal als Beispiel nehme für Q_11
Q_11 = q_0(3*a*a - 4a^2) - q_0(3*(-a)*a-a^2)+ q_0(3*(-a)*(-a)-4a^2) - q_0(3*a*(-a)-4a^2)
Q_12=Q_13=Q_21=Q_23=Q_31=Q_32=0 wegen dem Kronecker Delta oder? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 13. Sep 2015 14:28 Titel: |
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| multi hat Folgendes geschrieben: | | Q_11 = q_0(3*a*a - 4a^2) - q_0(3*(-a)*a-a^2)+ q_0(3*(-a)*(-a)-4a^2) - q_0(3*a*(-a)-4a^2) |
Nein!
Ich beziehe mich jetzt mal auf die Formel aus der Wiki
^2 \delta_{kl}))
Da bekomme ich z. B.
Die restlichen  sollten 0 werden.
| Zitat: | | Q_12=Q_13=Q_21=Q_23=Q_31=Q_32=0 wegen dem Kronecker Delta oder? |
Nein! Das Kroneckerdelta wird doch nur mit ^2) multipliziert. |
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multi
Gast
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| multi Verfasst am: 13. Sep 2015 14:50 Titel: |
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Ohh das mit dem Kronecker Delta habe ich auch gerade gesehen, fand es schon komisch, dass dann immer alles null wird. Manchmal sollte man auch lesen ... >.<
Mein Problem ist, dass ich nicht wirklich weiß was r_11 und r_21 ist. Also wo genau der Unterschied da liegt? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 13. Sep 2015 16:59 Titel: |
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| multi hat Folgendes geschrieben: | | Mein Problem ist, dass ich nicht wirklich weiß was r_11 und r_21 ist. Also wo genau der Unterschied da liegt? |
Bei  bzw.  bezieht sich der Index i auf die Nummerierung der Ladungen. Die Indizes k und l beziehen sich auf die 3 kartesischen Koordinaten der jeweiligen Ladung. Es ist also  die x-Koordinate der Ladung 1,  die x-Koordinate der Ladung 2.
Bei den Diagonalelementen des Tensors ist  . Dann bekommt man
Diese Terme werden dann zu Quadraten und das Vorzeichen der Koordinate spielt keine Rolle. ist eh immer positiv. Unterschiedliche Vorzeichen in der Summe kommen dann nur von den unterschiedlichen Vorzeichen der Ladungen. |
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multi
Gast
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| multi Verfasst am: 13. Sep 2015 19:07 Titel: |
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Super! Vielen Dank, es hat jetzt geklappt. Ich habe jetzt folgendes raus:
Jetzt noch als letzte Frage: Was genau habe ich da überhaupt ausgerechnet? Was bringt mir diese Matrix bzw was sagt sie mir? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 13. Sep 2015 19:47 Titel: |
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In der Physik kommen oft Fragestellungen vor, bei denen man das Feld einer lokalisierten, aber nicht punktförmigen und nicht kugelsymmetrischen Ladungsverteilung in einiger Entfernung von der Ladungsverteilung braucht. Man kann zwar dafür leicht exakte Ausdrücke hinschreiben, bei mehreren punktförmigen Ladungen einfach die Summe der Felder der einzelnen Ladungen, bei einer Ladungsverteilung als Integral über die Ladungsdichte, aber das nützt einem oft wenig. Das Integral lässt sich meist nicht in geschlossener Form angeben und die Summe der Einzelfelder lässt Abhängigkeiten von der Entfernung und Winkellage nicht erkennbar werden. Die Multipolentwicklung löst dieses Problem, in dem das Feld in eine konvergente Reihe entwickelt wird. Deren einzelne Summanden zeigen transparent die Abhängigkeiten von Entfernung und Winkellage. Die Multipolentwicklung ist für viele Fragestellung ein unverzichtbares Werkzeug. |
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