Kugelkoordinaten

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

Für quantenmechanische Berechnungen sphärischer Systeme werden ja oft Kugelkoordinaten bevorzugt. In Kugelkoordinaten gilt (was ich soweit auch nachvollziehen konnte):

Was ich aber nicht ganz verstehe ist, weshalb das Volumenelement gegeben ist durch:

Wie kommt man zu diesem Ausdruck?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Wie kommt man darauf?

1. Mathematisch: Weißt Du, was eine Jacobi-Determinante ist? Kennst Du den Transformationssatz?

2. Intuitiv: Stell Dir einen infinitesimalen Quader vor mit Kanten entlang der Koordinatenlinien. Dann ist eine Seitenlänge

, eine andere ist

und die dritte ist

. Das Produkt gibt Dir das Volumenelement.

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Nur zur Vollständigkeit:

Der Transformationssatz wird in Analysis 3 bewiesen. Behandelt wird er vermutlich auch in Höhere Mathematik für Physiker, bei uns wurde er auch im ersten Semester in Theoretischer Physik behandelt, aber nicht unter dem Namen "Transformationssatz". In etwa besagt er: Wenn du eine Transformation

durchführst (etwa von Kugelkoordinaten nach kartesischen Koordinaten), dann ist

.

Die Determinante kannst du intuitiv als Volumen eines infinitesimalen Parallelogramms deuten. Der strenge Beweis des Transformationssatzes ist aber etwas aufwendiger und sehr technisch.