Numerisches lösen einer stationären Schrödingergleichung

Dwark · Anmeldungsdatum: 13.04.2015 Beiträge: 9

Hallo liebe Community,

ich soll eine radiale, stationäre Schrödingergleichung mit gegebenem Potential (Wood-Saxon) numerisch lösen. Das Problem: Ich muss vorher irgendwie die Energieniveaus bestimmen.

Schrödingergleichung:

Potential:

Mit gegebenen Werten für

Als Tipp habe ich bekommen:
Führen Sie zunächst geeignete dimensionslose Variablen ein. Machen Sie sich dann klar, welche Eigenwerte der Matrix Sie berechnen wollen. Es gibt dann verschiedene Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Eine besteht darin, das charakteristische Polynom

mit Hilfe der Rekursionsformel

zu berechnen, wobei

bis

die Einträge auf der Diagonalen der Matrix und

bis

die Einträge auf den beiden Nebendiagonalen sind.

Ansonsten habe ich noch die Schrödingergleichung und das Wood-Saxon Potential mit konkreten Werten gegeben.
Außerdem zwei Bedingungen an

(die radiale Wellenfunktion):
-> Sie verschwindet im Ursprung
->

für

Hat jmd. eine Idee bzw. einen Ansatz, wie ich die Energieniveaus numerisch berechnen kann um dann die Differentialgleichung zu lösen?

Vielen Dank schonmal im Voraus und lieben Gruß!
Dwark

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Eine Methode ist, den Differentialoperator zu diskretisieren und das algebraische Eigenwertproblem zu lösen, d.h. die Eigenwerte der Matrix zu bestimmen.

Du startest mit

Dann diskretisiert du die Ableitung nach r sowie u(r) und überführst die DGL in eine algebraische Gleichung. Diskretisierungen findest du in diversen Büchern über numerische Mathematik; konkrete Umsetzungen z.B. in den Numerical Recipes. Wichtig ist, die für das konkrete Problem jeweils passende Methode zu wählen (z.B. Performance, Konvergenz).

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Hier gibt es ein paar mehr Tipps:
http://physics.bu.edu/py502/lectures4/schrod.pdf

Dwark · Anmeldungsdatum: 13.04.2015 Beiträge: 9

Hallo ihr beiden,

danke für eure Antworten und Tipps. Ich werde heute Abend und morgen "richtig" anfangen und versuchen das umzusetzen.
Es werden bestimmt noch einige Verstehensfragen (physikalischer Natur) aufkommen Big Laugh

Vielen Dank soweit! Thumbs up!

Gruß Dwark