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Kernzerfall von Tritium
 
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Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 14:55    Titel: Kernzerfall von Tritium Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich komme bei folgendem Problem nicht weiter:

Der Atomkern des Elements Tritium besteht aus zwei Neutronen und einem Proton, ist daher positiv geladen mit Ladungszahl Z = +1. Das Tritium Atom t besitzt somit ein Elektron. Tritium ist aber kein stabiles Element, da der Atomkern gemäß t -> 3 He+ + e- + zerfällt.

Der Atomkern des Helium Isotops 3He besteht aus zwei Protonen und einem Neutron, ist daher positiv geladen mit Ladungszahl Z = +2.
Bezogen auf die Zeitskala des Elektrons in der 1s-Schale des Tritiums vollzieht sich der Übergang Z = +1 -> Z = +2 im Atomkern beim Zerfall des Tritiums instantan. Nach dem Zerfall befindet sich das Elektron also plötzlich in einem Coulomb Potential mit der Kernladung Z = +2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,

a) das Elektron des Tritiums nach dem Zerfall in der 1s-Schale des
3He+ -Ions vorzufinden?

b) das betreffende Elektron nach dem Zerfall in der 2s-Schale des
3He+ -Ions vorzufinden?

c) das betreffende Elektron nach dem Zerfall in der 2p-Schale des
3He+ -Ions vorzufinden?


Meine Ideen:
Ich vermute, ich soll irgendwelche Übergangswahrscheinlichkeiten berechnen, allerdings weiß ich nicht so recht, wie man diese ermittelt.
Ich hatte die Notation kennengelernt, wobei i für "initial" und f für "final" steht.

Kann ich diese Aufgabenstellung vielleicht irgendwie mit dem Virialsatz lösen, da dieser im vorigen Problem behandelt wurde. (???)

Über hilfe würde ich mich freuen!

Viele Grüße
Widderchen
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8258

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 15:06    Titel: Antworten mit Zitat

Du musst Ueberlappintegrale von Wellenfunktionen ausrechnen (sprich: |M_fi|^2 Augenzwinkern )... hilft das schon weiter?
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 15:09    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

zunächst vielen Dank für deine Antwort!! Tanzen

Wie sieht solch ein Überlappintegral aus??

Welche Wellenfunktionen muss ich dann verwenden???

Viele Grüße

Widderchen
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 15:18    Titel: Antworten mit Zitat

Achso,

ich muss die Kugelflächenfunktionen (Eigenfunktionen des Wasserstoffproblems) verwenden, da ja nur ein Elektron nach dem Zerfall vorliegt! Durch Einsetzen der verschiedenen Parameter für n=1 , l=0 in a) sollte ich die entsprechende Wellenfunktion erhalten.
Benötige ich eigentlich auch den Parameter m für die Kugelflächenfunktion??

Viele Grüße
Widderchen
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8258

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 15:22    Titel: Antworten mit Zitat

Siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Zustand_(Quantenmechanik)#Wahrscheinlichkeitsamplitude
hier:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function#Inner_product_2
und hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserstoffatom#Mathematische_Details

... aber eigentlich solltet ihr all das in der Vorlesung gemacht haben... oder versuchst Du gerade Dir das selber beizubringen?
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 15:39    Titel: Antworten mit Zitat

Oh natürlich,

ich habe den Radialteil vollkommen vernachlässigt! Hammer

In Teil a) muss ich also das Integral

berechnen??
Naja, höchstwahrscheinlich werde ich nur über r integrieren müssen, da ich die ersten Kugelflächenfunktionen gesehen habe!!

In Teil b) und c) müsste ich dann analog verfahren, oder???

Vielen Dank für deine Hilfe! Thumbs up!

Widderchen
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8258

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 15:40    Titel: Antworten mit Zitat

In Deinem Volumenintegral fehlen ein paar Faktoren vom Volumenelement...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14631

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Mai 2015 15:41    Titel: Antworten mit Zitat

Du sollst nicht die Normierung berechnen, sondern das Übergangsmatrixelement zwischen zwei Zuständen, vermittelt durch den entsprechenden Operator.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 19:40    Titel: Antworten mit Zitat

Ok,

jetzt bin ich verwirrt! grübelnd
Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann berechnet man ein Übergangsmatrixelement wie folgt:



Und wie soll ich den Operator in diesem Integral berücksichtigen? Welchen Operator soll ich denn überhaupt betrachten???

Welche Faktoren fehlen im Volumenintegral?

Widderchen
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8258

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 19:47    Titel: Antworten mit Zitat

Widderchen hat Folgendes geschrieben:

Und wie soll ich den Operator in diesem Integral berücksichtigen? Welchen Operator soll ich denn überhaupt betrachten???

Den kannst Du Dir schenken, da die Aufgabe Dir schon sagt, welche Näherung Du betrachten sollst, und da reicht es die entsprechenden Wellenfunktionen einzusetzen.
Zitat:

Welche Faktoren fehlen im Volumenintegral?


(das stimmt schon von den Einheiten her nicht...)
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Differentiale.2C_Volumenelement.2C_Fl.C3.A4chenelement.2C_Linienelement
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 20:04    Titel: Antworten mit Zitat

Also gut,

dann muss ich also für Teilaufgabe a) das Integral

berechnen??
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8258

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 20:58    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn Dir klar ist dass die beiden psi_100 nicht gleich sind hier .. dann schon ...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14631

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Mai 2015 21:04    Titel: Antworten mit Zitat

Du must einen Übergang zwischen zwei verschiedenen Zuständen bzgl. verschiedener Atomkerne berechnen, also



wobei das letzte Gleichheitszeichen für den speziellen Fall gilt, dass der Übergang vom Zustand 100 des H³ in den Zustand 100 des He³ stattfindet.

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Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 21:12    Titel: Antworten mit Zitat

Unterscheiden sich die beiden Psi_100 nur durch die Kernladungszahl Z ???

Denn offenbar besitzen beide Funktionen keine Imaginärteile! Die Wellenfunktion lautet:



Der einzige Parameter, den ich hier variieren könnte, wäre also Z. Und ich soll doch den Übergang Z = 1 -> Z = 2 betrachten.
a ist der Bohrsche Atomradius.

Viele Grüße
Widderchen
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8258

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 21:31    Titel: Antworten mit Zitat

Widderchen hat Folgendes geschrieben:
Unterscheiden sich die beiden Psi_100 nur durch die Kernladungszahl Z ???

Genau.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14631

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Mai 2015 21:34    Titel: Antworten mit Zitat

Das Elektron ist doch in beiden Fällen immer im 1s-Zustand, oder?

Ja, natürlich must du immer dasjenige Z einsetzen, das für das jeweilige Potential gilt. Also



bzw.



d.h.


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Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 21:41    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, danke!

Ich erhalte eine Überlappwahrscheinlichkeit von etwa 83,81 % .


Viele Grüße
Widderchen
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8258

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 22:07    Titel: Antworten mit Zitat

Widderchen hat Folgendes geschrieben:

Ich erhalte eine Überlappwahrscheinlichkeit von etwa 83,81 % .

Thumbs up! ist korrekt.
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