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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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 Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 14:55 Titel: Kernzerfall von Tritium |
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Meine Frage:
Hallo,
ich komme bei folgendem Problem nicht weiter:
Der Atomkern des Elements Tritium besteht aus zwei Neutronen und einem Proton, ist daher positiv geladen mit Ladungszahl Z = +1. Das Tritium Atom t besitzt somit ein Elektron. Tritium ist aber kein stabiles Element, da der Atomkern gemäß t -> 3 He+ + e- +  zerfällt.
Der Atomkern des Helium Isotops 3He besteht aus zwei Protonen und einem Neutron, ist daher positiv geladen mit Ladungszahl Z = +2.
Bezogen auf die Zeitskala des Elektrons in der 1s-Schale des Tritiums vollzieht sich der Übergang Z = +1 -> Z = +2 im Atomkern beim Zerfall des Tritiums instantan. Nach dem Zerfall befindet sich das Elektron also plötzlich in einem Coulomb Potential mit der Kernladung Z = +2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) das Elektron des Tritiums nach dem Zerfall in der 1s-Schale des
3He+ -Ions vorzufinden?
b) das betreffende Elektron nach dem Zerfall in der 2s-Schale des
3He+ -Ions vorzufinden?
c) das betreffende Elektron nach dem Zerfall in der 2p-Schale des
3He+ -Ions vorzufinden?
Meine Ideen:
Ich vermute, ich soll irgendwelche Übergangswahrscheinlichkeiten berechnen, allerdings weiß ich nicht so recht, wie man diese ermittelt.
Ich hatte die Notation  kennengelernt, wobei i für "initial" und f für "final" steht.
Kann ich diese Aufgabenstellung vielleicht irgendwie mit dem Virialsatz lösen, da dieser im vorigen Problem behandelt wurde. (???)
Über hilfe würde ich mich freuen!
Viele Grüße
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 15:06 Titel: |
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Du musst Ueberlappintegrale von Wellenfunktionen ausrechnen (sprich: |M_fi|^2  )... hilft das schon weiter? |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 15:09 Titel: |
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Hallo,
zunächst vielen Dank für deine Antwort!! 
Wie sieht solch ein Überlappintegral aus??
Welche Wellenfunktionen muss ich dann verwenden???
Viele Grüße
Widderchen |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 15:18 Titel: |
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Achso,
ich muss die Kugelflächenfunktionen (Eigenfunktionen des Wasserstoffproblems) verwenden, da ja nur ein Elektron nach dem Zerfall vorliegt! Durch Einsetzen der verschiedenen Parameter für n=1 , l=0 in a) sollte ich die entsprechende Wellenfunktion erhalten.
Benötige ich eigentlich auch den Parameter m für die Kugelflächenfunktion??
Viele Grüße
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 15:39 Titel: |
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Oh natürlich,
ich habe den Radialteil vollkommen vernachlässigt! 
In Teil a) muss ich also das Integral
 \right| ^2 \, \dd r \dd \theta \dd \phi ) berechnen??
Naja, höchstwahrscheinlich werde ich nur über r integrieren müssen, da ich die ersten Kugelflächenfunktionen gesehen habe!!
In Teil b) und c) müsste ich dann analog verfahren, oder???
Vielen Dank für deine Hilfe! 
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 15:40 Titel: |
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In Deinem Volumenintegral fehlen ein paar Faktoren vom Volumenelement... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18073
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| TomS Verfasst am: 20. Mai 2015 15:41 Titel: |
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Du sollst nicht die Normierung berechnen, sondern das Übergangsmatrixelement zwischen zwei Zuständen, vermittelt durch den entsprechenden Operator.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 19:40 Titel: |
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Ok,
jetzt bin ich verwirrt! 
Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann berechnet man ein Übergangsmatrixelement wie folgt:
Und wie soll ich den Operator in diesem Integral berücksichtigen? Welchen Operator soll ich denn überhaupt betrachten???
Welche Faktoren fehlen im Volumenintegral?
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 20:04 Titel: |
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Also gut,
dann muss ich also für Teilaufgabe a) das Integral
 \, \dd \phi \dd \theta \dd r ) berechnen?? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 20:58 Titel: |
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Wenn Dir klar ist dass die beiden psi_100 nicht gleich sind hier .. dann schon ... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18073
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| TomS Verfasst am: 20. Mai 2015 21:04 Titel: |
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Du must einen Übergang zwischen zwei verschiedenen Zuständen bzgl. verschiedener Atomkerne berechnen, also
}\right| \left.i^{(H^3)}\right> = \left<{n^\prime l^\prime m^\prime}^{(He^3)}\right| \left.nlm^{(H^3)}\right>= \int_{\mathbb{R}^3}d^3r\,\bar{\psi}_{n^\prime l^\prime m^\prime}^{(He^3)}\,{\psi}_{nlm}^{(H^3)} = 4\pi \int_\mathbb{R}dr\,r^2\,\bar{\psi}_{100}^{(He^3)}\,{\psi}_{100}^{(H^3)} )
wobei das letzte Gleichheitszeichen für den speziellen Fall gilt, dass der Übergang vom Zustand 100 des H³ in den Zustand 100 des He³ stattfindet.
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 21:12 Titel: |
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Unterscheiden sich die beiden Psi_100 nur durch die Kernladungszahl Z ???
Denn offenbar besitzen beide Funktionen keine Imaginärteile! Die Wellenfunktion lautet:
^{3/2} \cdot e^{- \frac{Zr}{a}} )
Der einzige Parameter, den ich hier variieren könnte, wäre also Z. Und ich soll doch den Übergang Z = 1 -> Z = 2 betrachten.
a ist der Bohrsche Atomradius.
Viele Grüße
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 21:31 Titel: |
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| Widderchen hat Folgendes geschrieben: | Unterscheiden sich die beiden Psi_100 nur durch die Kernladungszahl Z ???
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Genau. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18073
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| TomS Verfasst am: 20. Mai 2015 21:34 Titel: |
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Das Elektron ist doch in beiden Fällen immer im 1s-Zustand, oder?
Ja, natürlich must du immer dasjenige Z einsetzen, das für das jeweilige Potential gilt. Also
} \to \psi_{n^\prime l^\prime m^\prime}^{(Z=2)} )
bzw.
} \to \psi_{100}^{(Z=2)} )
d.h.
}\,{\psi}_{100}^{(H^3)} = 4\pi \int_\mathbb{R}dr\,r^2\,\bar{\psi}_{100}^{(Z=2)}\,{\psi}_{100}^{(Z=1)} )
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 20. Mai 2015 21:41 Titel: |
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Ok, danke!
Ich erhalte eine Überlappwahrscheinlichkeit von etwa 83,81 % .
Viele Grüße
Widderchen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 20. Mai 2015 22:07 Titel: |
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| Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
Ich erhalte eine Überlappwahrscheinlichkeit von etwa 83,81 % .
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 ist korrekt. |
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