Entweicht die Luft aus dem Becher?

MCF862949 · Anmeldungsdatum: 16.03.2015 Beiträge: 1

Hallo ihr Lieben,
ich muss für mein Studium folgene Aufgabe lösen:

Ein Kind sitzt in der Badewanne und spielt mit einem Plastikbecher. Das Plastik ist nicht-benetzend. In der Mitte des Becherbodens ist ein winziges Loch von 200 µm Durchmesser. Das Kind taucht den Becher so ein, dass Luft im Becher gefangen ist (Becherhöhe 10 cm). Es platziert den Becher am Wannenboden, sodass der Becherboden sich in 30 cm Tiefe befindet. Ganz langsam steigen Luftblasen auf. Das Wasser hat eine angenehme Badetemperatur von 37°C (Oberflächenspannung von Wasser bei 37°C ist 70,05 mN/m). Entweicht die ganze Luft, oder bleibt eine Restluftblase im Becher?

Hinweise: Das Kugelvolumen ist VKugel=4 3πr3 , die Kreisfläche ist AKreis=π⋅r2 . Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Wasservolumens. Die Dichte von roh Wasser ist 1000 kg/m³. Kraft nach Newton ist F=mg. Im Moment der größten Kraft: Wie groß ist der Anteil des verdrängten Wassers und damit die Auftriebskraft effektiv? Der Druck ist definiert als p=F/A (Druck ist Kraft pro Fläche)!

Mein bisheriger Ansatz ist:
Ich habe mit der Formel:

den hydrostatischen Druck ausgerechnit. Dieser beträgt 1962 pa.
Dann habe ich den Laplace-Druck ausgerechnet mit

. Dieser beträgt 1401 pa. Nun ist meine Frage, wie komme ich auf die verbleibende Höhe.
Aus der Vorlesung habe ich folgende Formel:

diese ergibt eine höhe von 14,28 cm, aber in dem Becher sind doch lediglich 10 cm Luft.

Oder muss ich das über die Auftriebskraft berechnen?
Kann mir evtl jemand helfen?
Vielen Dank, dass ihr den langen Text gelesen habt