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Prüfungsvorbereiter
Gast
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 Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 11:50 Titel: Punktförmige Stromverteilung |
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Gegeben sei:
= \vec a \delta\left(\vec r\right) \cos \left(\omega t\right))
wobei a ein konstanter Vektor, omega konstant und >=0.
a) Bestimmen sie das retardierte Vektorpotential und das zugehörige Magnetfeld. Was ergibt sich für das Fernfeld des Magnetfeldes?
b) Berechnen Sie aus dem Fernfeldanteil von B, das Elektrische Feld E für große r. Zeigen Sie, dass das Ergebnis
erfüllt.
Meine Lösung:
a)
 = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac {\vec j\left(\vec r ', t- \frac {\left|\vec r - \vec r' \right|}{c}\right)}{\left|\vec r - \vec r' \right|} dV')
= \frac{\mu_0}{4\pi}\vec a \cos\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right) \frac {1}{r}}})
Müsste so stimmen!?
Nun muss ich ja das B-Feld berechnen. Das lässt sich über die Rotation des Vektorpotential bestimmen. Also:
und hier hab ich auch schon meine erste Frage. Klar ich kann das jetzt komponentenweise ausrechnen und bin nach 10 Minuten sicher fertig. Allerdings geht das sicherlich schneller. Zumal bei der komponentenweise Berechnung immer reichlich Potential für Fehler ist. Mich würde interessieren, wie man auf schnellstem Wege zur Lösung kommt, ohne alles einzeln zu rechnen. Gerade in Klausuren spielt Zeit ja eine nicht unbedeutende Rolle. Oder ist es hier ausschließlich durch explizite Rechnung möglich auf eine Lösung zu kommen?
Wäre nett, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte. |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 13:40 Titel: |
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Meine Idee sehe wie folgt aus.
Ich würde mir die Rotation erstmal für eine Komponente anscheuen.
Es gilt:
\right) \frac {1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right))
\right) + \frac{1}{r^3}\cos\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right)\right)\right))
da die Ableitungen einer gewissen Analogie folgen, folgt direkt:
\right) + \frac{1}{r^3}\cos\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right)\right)\right))
Womit letztendlich für die x-Komponente des B-Feldes folen würde:
 \cdot ...)
Daraus lassen sich auch die anderen Komponenten ableiten und es muss gelten:
 = \vec a \times \vec r \left(\frac {\mu_0}{4\pi}\left(\frac {1}{cr^2} \sin\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right) + \frac{1}{r^3}\cos\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right)\right)\right))
Somit hätte ich genau einmal eine Ableitung gemacht und den Rest daraus geschlossen. Ist das der schnellste Weg?
Wie mache ich jetzt weiter. Das Fernfeld muss ich ja jetzt finden. Dazu lässt man r groß werden und schaut was passiert. Damit ergäbe sich ja, dass der cos-term wegfälltz, wegen der 1/ r^3-Abhängigkeit und der sin-Term dominiert dann. Richtig?
b)
Wie bekomme ich dann aber das E-Feld raus?
Muss ich hier jetzt die Rotation von B bilden um erstmal die zeitliche Änderung von E zu bekommen und das dann nach t integrieren? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2015 14:15 Titel: |
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Dein Vektorpotential hat die Form
)
Gesucht ist
Am kompaktesten berechnest du das in Indexnotation
 = \epsilon_{ikl} a_l f^\prime(r) \partial_k r)
Einsetzen liefert
 \partial_k r = \epsilon_{ikl} a_l f^\prime(r) \hat{r}_k = \epsilon_{ikl}\hat{r}_k a_l f^\prime(r) \to \hat{r} \times \vec{a} \, f^\prime(r))
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Feb 2015 14:30, insgesamt einmal bearbeitet |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 14:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Dein Vektorpotential hat die Form
Gesucht ist
Am kompaktesten berechnest du das in Indexnotation
 = \epsilon_{ikl} a_l f^\prime(r) \delta_k r) |
Wie kommst du auf das "delta" ganz rechts? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2015 14:30 Titel: |
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Ich war noch nicht fertig ;-)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 15:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich war noch nicht fertig ;-) |
Alles klar, dann habe ich also einen Vorzeichenfehler in meiner Rechnung gehabt, weswegen das Kreuzprodukt, bei mir genau anders erum dasteht. Aber gut zu wissen, dass probiere ich jetzt erstmal selbst nochmal zum nachvollziehen.
Wenn wir gerade dabei sind und du ja offensichtlich sehr geübt auf dem Gebiet der Indexnotation bist, habe ich mal noch eine kurze Frage. Und zwar, der Nablaoperator in Indexnotation und die Produktregel. Es geht dabei eher um eine Formalität. Nehmen wir schnell als Beispiel folgenden Beweis:
 = \vec v\left(\nabla \vec w\right)-\vec w\left(\nabla \vec v\right)+\left(\vec w\nabla \right)\vec v - \left(\vec v\nabla\right) \vec w)
Funktioniert in Komponenten ja so:
 \right]_i = \epsilon_{ijk}\partial_j\epsilon_{klm}v_lw_m =\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\partial_jv_lw_m=\left(\delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}\right)\partial_jv_lw_m =\partial_jw_jv_i-\delta_jv_jw_i)
Ist es jetzt ok hinzuschreiben dass daraus mit der Produktregel folgt:
 = \vec v\left(\nabla \vec w\right)+\left(\vec w\nabla \right)\vec v -\vec w\left(\nabla \vec v\right)+\left(\vec w\nabla \right)\vec v - \left(\vec v\nabla\right) \vec w)
Oder muss ich in Komponenten den Nablaoperator durchtauschen und dass damit zeigen,, bevor ich in die Vektorschreibweise wechsele?? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2015 15:13 Titel: |
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(Du hast in deiner letzten Zeile einen Term zu viel ;-)
Ich weiß was du meinst; wenn du das direkt siehst, kannst du das natürlich so hinschreiben.
Kommt aber immer auf die Aufgabenstellung an. Wenn einfach ein Ergebnis gefragt ist, dann passt das natürlich. Wenn es heißt: "zeigen sie, dass gilt ..." würde ich eher einen Schritt mehr hinschreiben
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 15:34 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | (Du hast in deiner letzten Zeile einen Term zu viel ;-) |
oh ja, das ist ein fehler beim editieren.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich weiß was du meinst; wenn du das direkt siehst, kannst du das natürlich so hinschreiben. |
Ok, super, also angenommen ich weiß die Identität nicht aus dem Kopf, aber möchte sie verwenden, dann ist das so i.O.?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Kommt aber immer auf die Aufgabenstellung an. Wenn einfach ein Ergebnis gefragt ist, dann passt das natürlich. Wenn es heißt: "zeigen sie, dass gilt ..." würde ich eher einen Schritt mehr hinschreiben |
Also muss ich dann sowas hier machen?:
[latex]...=\partial_jw_jv_i - \partial_jv_jw_i = v_i \partial_jw_j + w_j\partial_j v_i - w_i \partial_jv_j - v_j\partial_j w_i[/latex
und dann umschreiben ohne Index.
Und zur Verwendung des ganzen...löst du solche aufgaben immer nach diesem schema? Scheint mir ehrlich gesagt eine extreme Vereinfachung! Wie gern wird sowas in Klausuren statt dem klassischen Rechenweg gesehen?
Danke für deine Hilfe! |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 15:35 Titel: |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 16:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Es folgt also:
= \vec e_r \times \vec a \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\sin\left(\omega t - \omega\frac r c\right)\frac\omega{cr} - \cos\left(\omega t - \omega\frac r c\right)\frac 1{r^2}\right)\right))
Für das Fernfeld also für Große r verschwindet ja offensichtlich der hintere Term schneller und es ergibt sich:
= \vec e_r \times \vec a \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\sin\left(\omega t - \omega\frac r c\right)\frac\omega{cr} \right)\right))
Gut soweit.
Wie bestimme ich jetzt daraus das entsprechende E-feld? Aus dem Ampereschen Durchflutungssatz und späterer Integration nach t? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2015 16:18 Titel: |
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Das E-Feld folgt direkt aus
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 16:49 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das E-Feld folgt direkt aus
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Ach stimmt ja, E gab es ja auch als Potentialdarstellung. Aber brauch ich da nicht noch das Skalarpotential, das hab ich ja nicht gegeben. Oder ist das 0, weil keine Ladungsverteilung sondern nur eine Stromverteilung vorliegt? |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 17:44 Titel: |
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| Prüfungsvorbereiter hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Das E-Feld folgt direkt aus
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Ach stimmt ja, E gab es ja auch als Potentialdarstellung. Aber brauch ich da nicht noch das Skalarpotential, das hab ich ja nicht gegeben. Oder ist das 0, weil keine Ladungsverteilung sondern nur eine Stromverteilung vorliegt? |
Ich sehe gerade in der Aufgabenstellung steht explizit: berechnen Sie aus den Fernfeldanteil von B das elektrische Feld E.
Also muss ichs ja aus den Maxwellgleichungen berechnen. Ist es dann nun richtig, die Rotation von B zu finden und so die zeitliche Ableitung des E-feldes zu erhalten, oder ist ein anderer Weg der richtige? |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 19:53 Titel: |
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Was mich stutzig macht:
Wenn ich ansetze
erhalte ich
= \vec a \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\sin\left(\omega t - \omega\frac r c\right)\frac\omega{r}\right)\right))
Soweit so gut, allerdings gilt dann nicht die zu zeigende Relation, weil
 \times \vec e_r \neq \vec a)
Wo liegt der Fehler? hab jetzt schonmal die Indexformel von TomS überprüft, aber die stimmt definitiv auch.
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 23:33 Titel: |
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hat denn niemand eine idee? ich bräuchte wirklich hilf, zumal ja scheinbar irgendwas an der bisherigen hilfe nicht passt, was mir sehr komisch vorkommt.
danke |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 19. Feb 2015 23:48 Titel: |
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Die Herleitung der retardierten Potentiale erfolgt üblicherweise in der Lorenz-Eichung. In dieser verschwindet das skalare Potential aber nicht notwendigerweise, wenn die Ladungsdichte Null ist. |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 19. Feb 2015 23:51 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Die Herleitung der retardierten Potentiale erfolgt üblicherweise in der Lorenz-Eichung. In dieser verschwindet das skalare Potential aber nicht notwendigerweise, wenn die Ladungsdichte Null ist. |
Das heißt ich muss erstmal mein Skalarpotential bestimmen?
Wie würde ich aber vorgehen, wenn ich nun wirklich, wie eigtl. in der Aufgabe verlangt aus dem B-Feld heraus mein E-Feld berechnen möchte? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 19. Feb 2015 23:56 Titel: |
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Aus den Maxwell-Gleichungen folgt etwas wie:
(modulo allerlei Faktoren)
PS:
| Prüfungsvorbereiter hat Folgendes geschrieben: |
Das heißt ich muss erstmal mein Skalarpotential bestimmen?
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Ja, müsstet Du. |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 20. Feb 2015 00:14 Titel: |
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Also doch die Rotation von B, hatte ich mir ja gedacht und dann muss ich nach t integrieren. Ok, aber erstmal nach der Variante mit Lorenzeichung.
Lorenzeichung sagt ja:
Die Divergenz berechne ich wie folgt:
)
)
= f(r) \partial_l a_l + a_l f'(r)\partial_l r)
 \partial_l a_l + a_l \hat r_l f'(r))
)
\frac\omega{cr} - \cos\left(\omega t - \omega\frac r c\right)\frac 1{r^2}\right)\right) =- \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} )
\frac {c^2}{r^2} - \sin\left(\omega t - \omega\frac r c\right)\frac{\omega c}{r}\right)\right))
Ist das bis hier in Ordnung? wie lös ich jetzt am schnellsten das ntegral? Substitution oder hast du nen Trick parat? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 20. Feb 2015 00:15 Titel: |
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Sinus oder Kosinus integrieren ist ein Problem? |
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Prüfungsvorbereiter
Gast
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| Prüfungsvorbereiter Verfasst am: 20. Feb 2015 00:22 Titel: |
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Haha, hab irgendwie nicht gesehen, dass es ja nur um t geht und die vorfaktoren völlig simpel werden. Sorry, Tomaten auf den Augen.
 = a\left(\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\sin\left(\omega t - \omega\frac r c\right)\frac {c^2}{\omega r^2} + \cos\left(\omega t - \omega\frac r c\right)\frac{ c}{r}\right)\right) + \phi_0\left(\vec r, t\right))
Soweit in Ordnung?
Jetzt einsetzen und E bestimmen, richtig? |
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