Parkhaus (kreisförmige Bewegung)

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

Aufgabe: Sie befinden sich in einem Parkhaus. Die Auffahrt des Parkhauses ist spiralförmig mit einem Radius r=20 m und kann auf folgende Weise als Funktion des Winkels

und der Steigung B=5,7 m/rad beschrieben werden:

a) Sie fahren die Auffahrt 6 Windungen nach oben. Wie lang ist der Weg, den Sie zurückgelegt haben?
b) Sie fahren ein Auto mit einer Masse von m=1,3 t. Welche Arbeit wird auf dem Weg durch die Parkhausauffahrt verrichtet?
c) Nun lassen Sie ihr roll- und luftreibungsfreies Auto die 6 Windungen wieder hinunterrollen – welche Geschwindigkeit hat das Auto wenn Sie das Parkhaus verlassen?

Ich habe Schwierigkeiten bei der Aufgabe. Meine Überlegungen soweit für a):

6 Windungen würden ja 6 volle Umdrehungen bedeuten, heißt

= 6 * 360° = 2160° = 37,6991118... rad

37,70 rad. Damit könnte ich ja den Radius berechnen:

Aber wie mache ich jetzt weiter? Gefragt ist nach dem Weg. Wäre das ein eindimensionaler Fall würde ich einfach den Kreisumfang berechnen, aber im dreidimensionalen komme ich hier nicht weiter.. grübelnd

e: Mir fällt gerade ein, dass

gilt, dann könnte ich doch ansetzen

Darf ich das so machen?

Für b) könnte ich dann ansetzen

Kann ich bei c) den Ortsvektor einfach ableiten? grübelnd

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Mir kommen die gegebenen Zahlenwerte doch sehr unrealistisch vor. Wenn die Spirale 5,7m/rad ansteigt und 20m Radius hat, dann gewinnt er ja auf 20m Strecke 5,7m an Höhe. Das wäre eine Steigung von fast 30%. Das ist eine wirklich sehr große Steigung!
Dann soll das ganze Parkhaus über 200m höhe haben??? Das ist ja schon ein ziemlich großes Hochhaus dann. Ich bezweifle, dass es so hohe Parkhäuser überhaupt gibt.

Sprich: Kannst Du nochmal überprüfen, ob die Angaben wirklich genau so sind? Ist die Steigung vielleicht doch geringer? Realistische wäre sicherlich, wenn es 5,7m pro Windung sind, also die Spirale eine Ganghöhe von 5,7m hätte. Das ist zwar immer noch viel, aber wenn man pro Windung zwei Stockwerke machen würde, dann käme es vielleicht schon hin.

Für die Strecke: Auf der einen Seite kannst Du Dir das in diesem Fall recht einfach machen: Du hast eine konstante Steigung und kennst die Gesamtstrecke der Projektion auf die Ebene, also die 6 Kreise mit 20m Radius. Also kannst Du so tun, als ob diese Kreisumfänge einfach geradeaus zurück gelegt worden wären und kannst dann rechnen, wie bei einer schiefen Ebene mit Pythagoras:

(ich habe keine Ahnung, wie Du auf diese mehr als 8km kommst, übrigens...)

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Bei den beiden anderen Teilaufgaben: Wenn es um die Energie geht, spielt doch hier dann nur noch die Höhe eine Rolle. Du hast potentielle Energie, wenn das Auto oben ist, und die wird in kinetische umgewandelt, wenn man es runter rollen lässt. Du weißt doch, dass der Weg, auf welchem das passiert, dabei völlig unwichtig ist (wenn man, wie hier, von Reibung und Luftwiderstand absieht, natürlich nur).
Also, wie ist die potentielle Energie in 215m Höhe? Wie ist die Geschwindigkeit, wenn das Auto diese Energie als kinetische Energie hat?

Gruß
Marco

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Was ich auch noch schreiben wollte: Du kannst bei der a) natürlich auch ein Wegintegral lösen. Das funktioniert dann natürlich auch bei beliebigen Wegen, z. B. auch, wenn sich die Steigung ändert auf dem Weg. Oder z. B. auch, wenn Du die Arbeit auf einem Weg ausrechnen möchtest und dabei die Kraft je nach Punkt auf dem Weg unterschiedlich sein kann (dann würde man die Funktion F(s) noch in das Integral mit rein nehmen).

Für den zurück gelegten Weg hättest Du dann:

Die Frage ist dann, was ist ds hier. Da wir

gegeben haben, können wir

berechnen, so wie Du das schon probiert hattest:

Damit kannst Du jetzt eine Substitution im Integral machen:

Übrigens noch zu dem Ortsvektor, den Du angegeben hast nach 6 Windungen: Da muss logischerweise genau 0 stehen für y, wenn es genau 6 Windungen sein sollen!

Gruß
Marco

PS: Das mit der Energie sollte so stimmen, denke ich.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

Stimmt hast recht, die Geschwindigkeit ist auch viel zu groß. Hätte mir am Zahlenwert auffallen müssen, richitg wäre:

Zu deinem anderen Ansatz: Wie kommst du auf

als obere Integralgrenze?

Und zu b): Was stimmt denn nun? Der Ansatz in meinem ursprünglichen Beitrag oder der Ansatz in meinem Edit? Also Hubarbeit oder Beschleunigungsarbeit?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Deinen Edit verstehe ich nicht so ganz.
Du hast Lageenergie, wenn Du oben bist und kinetische Energie, wenn Du unten bist. Wo ist da die Unklarheit?
Bei der b) ist nach der Lageenergie in 215m Höhe von einer Masse von 1,3t gefragt (ich meine, Du hattest das ganz am Anfang gerechnet), also einfach mgh und die Werte einsetzen.
In der c) ist nach der Geschwindigkeit gefragt, die das Auto hätte bei gleicher kinetischer Energie (weil Energieerhaltung -> die kinetische Energie unten muss gleich der potentiellen Energie oben sein).
Das ist doch das selbe, wie bei tausenden anderer Energieerhaltungsaufgaben auch schon, die Du mit Sicherheit auch schon gerechnet hattest.

Ich komme auf die 12 pi, weil es 6 Umdrehungen sind zu je 2 pi. 6 mal 2 ist 12, richtig?

Gruß
Marco

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

Ach, vergiss meinen Edit. Danke habs jetzt verstanden!