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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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 Duinne Verfasst am: 28. Dez 2014 16:37 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Hallo Leute,
ich habe ein Problem bei der Lösung einer Aufgabe zum Thema Statik, Biegung. Wie oben schon erwähnt geht es um eine Einspannung mit Streckenlast und Einzellasten.
Im Anhang ist die Aufgabenstellung und eine Skizze zu sehen. Als erstes wird hier die Biegelinie gefordert.
Meine Kenntnisse:
Ich befinde mich in einem Fernstudium und stehe noch am Anfang des Themas Biegelinie. Anhand eines anderen Beispiels (Streckenlast auf einem Fest- und einem Loslager) habe ich mir folgende Herangehensweise angeschaut: Die Gleichung
=-M(x)=q(x)\frac{x^2}{2}+c_{1}x+c_{2} )
wird noch zweimal integriert. Anschließend werden 4 Randbedingungen festgelegt, die in die Gleichung oben und in deren Integrationen eingesetzt werden.
Mein Problem ist nun Folgendes: In der Aufgabe gibt es ja nun noch zwei Einzellasten. Wie bringe ich diese nun in die Gleichung, die dann zu integrieren ist, mit ein?
Ich denke, dass die Gleichung
nicht allgemein gültig für alle Lastfälle anwendbar ist. Möglicherweise muss man diese Gleichung auch immer wieder neu formulieren.
Deshalb stellt sich vielleicht eher die Frage, wie man an solch eine Aufgabe herangeht?
Meine Idee:
Ich habe mir noch überlegt, da
=-M(x) )
die Schnittgrößen zu berechnen, M(x) einzusetzen und anschließend zu integrieren, da ich bei den Schnittgrößen die beiden Einzellasten ja mit einbringe. Ist das eine Möglichkeit?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir hierbei jemand helfen könnte.
Vielen Dank im Voraus!
Grüße
Duinne[/latex]
| Beschreibung: |
| Hier ist die Aufgabe plus Skizze. |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 28. Dez 2014 19:17 Titel: |
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![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E.I.w"(x)=-M(x))
Dies ist die Grundgleichung zur Bestimmung der Durchbiegung w(x).
Zunächst das Koordinatensystem:
x horizontal nach rechts mit x=0 bei der Einspannstelle.
Kräfte (F1,F2,q) negativ nach unten. Momente positiv, wenn sie den Balken nach oben hohl biegen.
Du musst den Momentenverlauf M(x) bestimmen. Den kannst du nicht von einem anderen Beispiel übernehmen.
1. Auflagerreaktionen bestimmen. (Ax, Ay, MA)
2. Querkraftverlauf Q(x) bestimmen (ist hier nicht unbedingt nötig)
3. Momentenverlauf M(x) bestimmen.
4. Momentenverlauf in Grundgleichung einsetzen und zweimal integrieren. (Integrationskonstanten aus den Randbedingungen bestimmen) ergibt die gesuchte Biegelinie w(x).
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 29. Dez 2014 15:27 Titel: Kragarm mit Streckenlasz und Einzellastet |
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Hallo jumi,
vielen Dank für deine schnelle und hilfreiche Antwort!
Soweit ich mich jetzt noch einmal belesen habe, erhalte ich am Ende mehrere Funktionionen für die Biegelinie, die ich bei der Ermittlung des Momentenverlaufs das "Bauteil" in mehrere Bereiche einteile. Ist das korrekt?
Für meine Aufgabe würde ich das Baueil in zwei Bereiche aufteilen. Wobei sich mir noch die Frage stellt, ob ich die Streckenlast separat betrachten muss oder ob ich nur die zwei Kräfte betrachte, bei denen ich jeweils die Streckenlast mit einbeziehe.
Kann mir hierbei noch jemand helfen?
Vielen Dank und liebe Grüße
Duinne
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 29. Dez 2014 17:08 Titel: |
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Du musst die Streckenlast nicht separat betrachten. (Könntest es aber tun, den es gilt das Superpositionsprinzip.
Zwei Bereiche rechnen:
Bereich I: 0=< x =< a
Bereich II: a=< x =< 2a
Der Punkt x=a gehört dann sowohl zum Bereich I wie auch zum Bereich II.
(man kann auch mit x1 und x2 rechnen)
Einheiten: Längen in m, Kräfte in kN
Biegemoment (ich lasse die Einheiten mal weg):
Bereich I: M(x) = -1/2*x^2 - 23
Bereich II: M(x) = -1/2*x^2 + 10 x - 18
(Für einen Anfänger ist es leichter zu rechnen, wenn man den Träger spiegelt; also die Einspannung auf die rechte Seite legt).
Die Einspannung auf der linken Seite ist aber eine lehrreichere Übung.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 31. Dez 2014 13:25 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Hallo jumi,
vielen Dank für die Antwort.
Allerdings komme ich nicht auf das gleiche Ergebnis. Wo kommt denn die - 23 her?
Für den Bereich I habe ich folgende Momentengleichung aufgestellt:
=-q\frac{x^2}{2} -F_{2}a )
Damit komme ich auf -5. Wo liegt mein Fehler?
Liebe Grüße
Duinne
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 31. Dez 2014 14:35 Titel: |
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Was ist x1 ?
M(x1) bezeichnet doch eine Funktion von x1.
Bei die kommt da aber gar kein x1 in der Funktion vor.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 31. Dez 2014 15:16 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Naja, es sind ja zwei Bereiche und deswegen brauche ich doch auch zwei x: x1 und x2. Ich habe allerdings vergessen, den Index an das x zu setzen.
Also meine Gleichung sieht eigentlich so aus:
=-q\frac{x_{1}^2 }{2} -F_{2}a )
Damit komme ich aber trotzdem nicht auf -23.
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 31. Dez 2014 15:34 Titel: |
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Ich hatte dir doch geschrieben:
1. Auflagerreaktionen bestimmen!
Wie lauten denn die Auflagerreaktionen?
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 01. Jan 2015 16:25 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Meine Auflagerreaktionen:
^2}{2}-F_{2}\cdot a-F_{1}\cdot 2a )
Wenn die soweit korrekt sind: wie komme ich damit weiter?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 01. Jan 2015 20:26 Titel: |
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Die Auflagerreaktionen sind:
Ax = 0
Ay = 15 kN
MA = -23 kNm
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 01. Jan 2015 22:39 Titel: |
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Okay, das steht bei mir ja theoretisch auch, habe die Werte nicht eingesetzt....
Daher kommt nun die -23, die ich erfragt habe. Dann ist mir allerdings nicht mehr klar, warum diese in der Momentengleichung für den ersten Bereich auftaucht.
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 02. Jan 2015 09:06 Titel: |
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Du must dir den Balken freigeschnitten denken, also die Einspannung durch die Lagerreaktionen ersetzen.
Auf das linke Balkenende wirken dann: Ay =15 kN (nach oben)
und MA = -23 kN.m
Im Bereich I im Abstand x vom linken Ende:
M(x) = MA + Ay.x - q.x^2/2
Werte eingesetzt:
M(x) = -23 kN.m + 15 kN*x - 1 kN/m*x^2/2
oder übersichtlicher:
M(x) = -23 + 15x - x^2/2 (für den Bereich I)
Übrigens habe ich oben (in meinem zweiten Beitrag) einen Tippfehler (die 15x vergessen).
Für den Bereich II:
M(x) = -18 + 10x - x^2/2
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 02. Jan 2015 14:36 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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So, also für den Bereich I ist mir nun alles klar.
Aber bei dem Bereich II verstehe ich nichts mehr...
Wo kommen die -18 und die 10x her?
Für den Bereich II kann M(x) = MA + Ay.x - q.x^2/2 nicht mehr gelten, da dort das MA nicht mehr hingehört.
Ich bin mir auch nicht sicher, wie du geschnitten hast. Mein x2 läuft von links nach rechts. Wo läuft deines denn entlang?
Meine Momentengleichung für den Bereich II sieht so aus:
 -A_{y}(a+x_{2})+F_{2}\cdot x_{2}-F_{1} \cdot x_{2}+q\frac{(a+x_{2})^2 }{2} )
Das wären dann:
M(x2)=15kNm + 18kN*x2 - 1 kN/m*x^2/2
bzw. M(x2)=15 + 18x - x^2/2
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jui
Gast
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| jui Verfasst am: 02. Jan 2015 16:23 Titel: Re: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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| Duinne hat Folgendes geschrieben: | | Mein x2 läuft von links nach rechts. Wo läuft deines denn entlang? |
Mein x2 läuft überhaupt nirgends.
Wo siehst du denn ein x2 bei meinen Gleichungen?
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 02. Jan 2015 17:45 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Du hast kein x2, das sehe ich. Offensichtlich haben wir zwei verschiedene Methoden, zu den Momentenverläufen zu kommen, das ist der Grund, warum ich deine Gleichung nicht nachvollziehen kann.
Ich habe nochmal mein Vorgehen aufgezeichnet, so wie ich es gelernt habe.
Und damit komme ich auf diese beiden Gleichungen. Von mir aus kann man 1 und 2 an dem x auch weglassen, es ändert aber nichts an meinem Ergebnis.
Wie kommst du im zweiten Bereich zu -18 und 10x?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 02. Jan 2015 19:01 Titel: |
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Wozu eine neue Variable einführen?
Dein x2 = x - a
x ist die Koordinate vom linken Trägerende aus.
In deine beiden Freischnitten fehlt MA, das am linken Trägerende angreift.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 02. Jan 2015 19:55 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Ich sagte doch schon, ich habe das so gelernt mit den verschiedenen Variablen.
Kannst du mir sagen, wie du den Momentenverlauf für den zweiten Bereich berechnet hast?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 02. Jan 2015 20:22 Titel: |
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Im zweiten Bereich: (a ≤ x ≤ 2a)
M(x) = MA + Av*x - F2(x-a) - q*x*x/2
= MA + Av*x - x*F2+a*F2 - q x^2/2
Werte eingesetzt:
M(x) = -23 kN.m + 15 kN*x - x*5 kN + 1 m*5 kN - 1 kN/m*x^2/2
oder einfacher:
M(x) = -18 + 10x - x^2/2
Wenn es in diesem Tempo weitergeht, so schaffen wir es vielleicht bis zum nächsten Jahresende die Aufgabe zu lösen.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 02. Jan 2015 20:37 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Und wo ist F1?
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 02. Jan 2015 20:46 Titel: |
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Was ist Av? Das habe ich noch nie in einem Momentenverlauf gesehen.
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 02. Jan 2015 20:49 Titel: |
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Tut mir leid:
es sollte Ay, die vertikale Komponente der Auflagerkraft sein.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 02. Jan 2015 21:05 Titel: |
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Ah, okay. Also hast du im Grunde dieselbe Gleichung verwendet. Und warum geht da bei dir F1 nicht mit ein?
Wird das MA eigentlich nur bei der Einspannung mit einbezogen?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 03. Jan 2015 07:55 Titel: |
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Dir scheint das Prinzip zur Ermittlung des Verlaufs der Biegemomente nicht klar zu sein.
Wir schneiden den Träger im Bereich II und betrachten alle Biegemomente bezüglich der Schnittebene, die links vom Schnitt liegen.
F1 liegt nicht links vom Schnitt.
Wie ich schon geschrieben habe, es wäre für dich vielleicht einfacher, den Träger zu spiegeln und vom freien Ende aus zu beginnen. Das Resultat müsste identisch sein. So wir wir es jetzt gerechnet haben, sollte es jedoch lehrreicher sein.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 03. Jan 2015 17:26 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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So, also für den Bereich I habe ich nun folgende Biegelinie:
 = \frac{23x^2}{2}-\frac{5x^3}{2}+\frac{x^4}{24} )
Für C1 und C2 habe ich jeweils 0 herausbekommen mit den Bedingungen
w'(x=0) und w(x=0).
Bereich II:
 = 9x^2-\frac{5x^3}{3}+\frac{x^4}{24} )
C1=C2=0, gleiche Bedingungen.
Stimmt das soweit?
Bei der maximalen Durchsenkung bin ich etwas ratlos. Ich nehme an, dass sie sich an der Stelle der Kraft F1 befindet, ist allerdings nur eine Annahme. Ich könnte also x=2a in die Funktion für die Biegelinie einsetzen.
Wie berrechnet man die maximale Durchsenkung?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 03. Jan 2015 18:58 Titel: |
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Ich erhalte da ganz andere Werte!
Bereich I
EI*w(x) = 1/24*x^4 - 15/6*x^3 +23/2*x^2
Bereich II
EI*w(x) = 1/24*x^4 - 5/3*x^3 + 9*x^2 + 5/2*x - 5/6
Maximale Durchbiegung liegt bei x = 2a (das sagt ja schon der Hausverstand)
Anmerkung: du kannst die Integrationskonstanten für Bereich II doch nicht ebenfalls C1 und C2 nennen sondern C3 und C4.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 04. Jan 2015 13:14 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Also bis auf C3 und C4 haben wir die gleichen Werte...
Du hast natürlich Recht, dass ich nicht zweimal C1 und C2 verwenden kann.
Welche Bedingungen hast du für die Gleichungen vom Bereich II gesetzt? Kann es sein, dass du w und w' für Bereich I ausgerechnet hast und diese in die Gleichungen für Bereich II eingesetzt hast?
Für die Maximale Biegung hat mein Hausverstand ja richtig gelegen. Meine Frage war allerdings, wie man das berechnet? Man sieht ja schließlich nicht immer, wo die Maximale Biegung liegt.
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 04. Jan 2015 19:28 Titel: Re: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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| Duinne hat Folgendes geschrieben: | Also bis auf C3 und C4 haben wir die gleichen Werte...
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Das sehe ich anders!
Ich bezeichne jetzt Funktionen, die sich auf Bereich I beziehen, mit dem Index 1.
Und Funktionen, die sich auf den Bereich II beziehen mit dem Index 2.
Als Momentengleichungen habe ich:
=-\frac{x^2}{2}+15x-23)
=-\frac{x^2}{2}+10x-18)
Dies muss man dann in
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?EI*w_i"(x)= -M_i(x))
einsetzen und jeweils zweimal nach x integrieren.
Die 4 Integrationskonstanten erhält man aus den 4 Anfangs- bzw. Übergangsbedingungen:
w_1(0) = 0
w'_1(0) =0
w_1(1) = w_2(1)
w'_1(1) = w'_2(1)
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 09. Jan 2015 10:31 Titel: |
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Interesse verloren?
Dann werden wir die gesuchte Biegelinie wohl nie erfahren.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 10. Jan 2015 08:50 Titel: |
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Ich habe das Interesse selbstverständlich nicht verloren. Mir die Zeit gefehlt.
Wenn ich das jetzt allerdings überblicke, weiß ich nicht, was noch zu tun ist. Du hast doch die beiden Biegelinien am 03.01. schon hingeschrieben. Ich würde jetzt nur noch E und I auf die rechte Seite bringen.
Ist das noch nicht alles?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 10. Jan 2015 09:10 Titel: |
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a) Biegelinie. Wenn du weißt, wie ich auf die Gleichung gekommen bin: OK
b) Die maximale Durchbiegung ?
c) Der Querkraft- und Momentenverlauf (auch grafisch).
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 12. Jan 2015 11:56 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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a) jawoll, weiß ich
b) x=2a, hatten wir bereits
c) Momentenverlauf hatten wir auch schon weiter oben, Querkraftverlauf ist die Ableitung vom Momentenverlauf
Was meinst du mit grafisch? Freischnitte? Falls du auf einen Kurvenverlauf abzielst, wird in meinem Studium nicht gefordert.
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 12. Jan 2015 12:40 Titel: |
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Die maximale Durchbiegung ist nicht x=2a.
Sie wird in mm (oder m) angegeben.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 19. Jan 2015 09:45 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Achso, stimmt.
Muss ich die 2a in beide Biegelienien einsetzen und anschließend addieren?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 19. Jan 2015 17:54 Titel: |
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Nein.
Du musst nur x=2a in die Gleichung der Biegelinie für den Bereich 2 einsetzen.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 19. Jan 2015 21:27 Titel: Kragarm mit Streckenlast und Einzellasten |
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Mhm, okay. Damit komme ich auf 0.034 mm.
In der Lösung steht 1,4 mm. Da wurde allerding von rechts nahc links gerechnet. Aber das Ergebnis müsste ja das selbe sein.
Sind die 1,4 mm denn richtig?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 20. Jan 2015 10:21 Titel: |
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Also ich erhalte für die maximale Durchbiegung: 1,4 mm
Zeig doch mal wie du in die Biegeliniengleichung für x=2m eingesetzt hast.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 20. Jan 2015 11:04 Titel: Kragarm |
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Okay, ich habe alles in mm umgerechnet:
=\frac{1}{2\cdot 10^5\cdot 98.000.000}\cdot (9\cdot 2000^2-\frac{5\cdot 2000^3}{3}+\frac{2000^4}{24}+\frac{5}{2}\cdot 2000-\frac{5}{6} )
Irgendetwas ist da bei mir nicht richtig aber ich finde es nicht...
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 20. Jan 2015 11:20 Titel: |
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Einheiten!
Rechne alles in kN und m.
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Duinne
Anmeldungsdatum: 28.12.2014
Beiträge: 73
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| Duinne Verfasst am: 26. Jan 2015 11:21 Titel: |
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Du meine Güte, also mit den Einheiten habe ich mich ja total verhauen. Mit kN und m komme ich jetzt aber auch auf die 1,4 mm.
Vielen Dank!
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HT
Anmeldungsdatum: 02.06.2018
Beiträge: 1
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| HT Verfasst am: 02. Jun 2018 17:58 Titel: Wo ist mein Fehler |
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Hallo,
ich hab versucht die Aufgsbe mit Föppel-Symbol zu lösen, aber ich komme nicht auf 1,4mm. Kann mir vieleicht jemand sagen was ich falsch gemacht habe?
[img]https://ibb.co/eF4GCd[/img]
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