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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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jumi
Gast
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 jumi Verfasst am: 06. Sep 2014 14:21 Titel: |
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Schöne Berechnung von franz.
Ich habe dazu noch eine Skizze gemacht:
w w w.xup.to/dl,17692045/OffenerLooping.png
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 06. Sep 2014 15:45 Titel: |
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Anderer Ansatz auf Anregung von franz' Wunsch nach einer einfacheren Lösung:
Betrachtet wird die Flugkurve zwischen dem Absprungpunkt und dem Mittelpunkt. Letzterer soll zugleich Scheitelpunkt der Flugparabel sein. Die Bahn muss nun bloß so geformt werden, dass in dieser Zeit die vertikale Geschwindigkeit gerade ausgeglichen wird. Wir sagen, wir haben eine Startgeschwindigkeit  . Die vertikale Geschwindigkeitskomponente (nach oben) ist dann  , die horizontale ist  . Der horizontale Abstand bis zur Mitte ist  , also ist die Flugzeit bis zur Mitte
Die vertikale Geschwindigkeit, die aufgrund der Gravitation in dieser Zeit dazu kommt (allerdings nach unten), ist  . Wir fordern, dass diese gleich der vertikalen Komponente der Startgeschwindigkeit ist:
 .
Aus dem Energieerhaltungssatz bekommen wir ) . Das ist im Prinzip alles:
 \cos \alpha)
Um  zu bestimmen, hat man nun noch eine quadratische Gleichung zu lösen. 
(Wer Fehler findet, bitte schreiben, ich habe die Lösung nicht ausgerechnet, weil ich das nicht spannend fand. Bei der zweiten Runde habe ich immer am letzten Tag alle Ergebnisse von allen vier Aufgaben ausgerechnet^^)
EDIT: 73°, passt.
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 06. Sep 2014 18:25 Titel: |
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Hier noch ein anderer Rechenansatz:
Wurfparabel mit
))
)
Wurfweite muss gleich sein: 2 R *sin(α)
aus beiden Gleichungen v0^2 gleichgesetzt
)=2gR\frac{sin(\alpha)}{sin(2\alpha)})
=2-\frac{sin(\alpha)}{sin(2\alpha)})
Dies ist eine Gleichung für α
Ergibt ebenfalls α = 1,2735…
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 12. Sep 2014 19:15 Titel: |
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Gefragt ist ja eigentlich nicht nach dem Winkel, sondern nach der Länge des fehlenden Stückes im Looping.
In der offiziellen Lösung wird nun diese Länge mit etwa 1 m angegeben.
Dies halte ich nur für die halbe Wahrheit.
Die fehlende Loopingschiene muss ja nicht unbedingt Kreisform haben,
Sie könnte ja auch nach einer Parabel gekrümmt sein!
(oder sogar nach beliebigen Kurven, solange diese tangential an den Kreis anschließen und innerhalb der Parabel liegen).
Siehe blaue Parabel in meiner Skizze oben.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 12. Sep 2014 19:34 Titel: |
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Ich glaube dagegen, dass die Aufgabe durchaus eindeutig ist. Denn laut Aufgabenstellung handelt es sich um einen Looping mit einem Radius von 40cm. Wenn da ein Stück fehlt und die Länge des fehlenden Teilstücks gesucht ist, so dürfte es sich dabei um das fehlende Stück des zuvor kreisförmigen Loopings handeln, also tatsächlich eine Länge von 1m haben (genauer: 1,02m).
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 12. Sep 2014 21:36 Titel: |
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O mein Gott!!! :O
Ich stimme GvC zu. Erstens, weil ich sein Argument richtig finde, und zweitens, weil die IPhO eine freiwillige Angelegenheit ist und man nicht versuchen sollte, unbedingt Fehler oder Lücken in der Aufgabe zu finden, sondern eine kurze, direkte, elegante Lösung zu finden. Ich wundere mich zwar, wieso nach der Länge gefragt wurde, denn den Winkel muss man wohl ohnehin berechnen und in ihn steckt doch bereits die gesamte physikalische Information. Vielleicht ist das nicht realitsnah genug, da der Mittelpunkt nicht "zum Anfassen" ist, aber naja...
Bei IPhO-Aufgaben sind normalerweise Größen "zum Anfassen" gesucht, also eine Lösung à la
 \sqrt{1 + \big( r'(\theta) \big)^2)}) wird wahrscheinlich nicht mit Punkten belohnt werden. Könnte mir aber vorstellen, dass man, wenn man diesen Term für irgendein funktionierendes Streckenstück (z.B. Parabel) konkret ausrechnet, sogar Punkte bekommt (wenn der Korrektor ein bisschen Humor hat, kann man natürlich bei der ersten Runde nie wissen, denn die wird ja von Lehrern korrigiert^^).
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 13. Sep 2014 07:57 Titel: |
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Natürlich ist die Aufgabe so gemeint, dass nach der Länge des Kreisbogens gefragt ist. Ich finde es jedoch auch interessant, andere Ergänzungskurven zu betrachten.
Ich hatte geschrieben: "(oder sogar nach beliebigen Kurven, solange diese tangential an den Kreis anschließen und innerhalb der Parabel liegen)".
Das ist falsch!
Aber welche Kurven sind denn möglich (außer der blauen Parabel in meiner Skizze)?
@Jayk, vor deinem Integral steht L[r].
Was bedeutet denn [r] ?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 13. Sep 2014 12:35 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | Natürlich ist die Aufgabe so gemeint, dass nach der Länge des Kreisbogens gefragt ist. Ich finde es jedoch auch interessant, andere Ergänzungskurven zu betrachten.
Ich hatte geschrieben: "(oder sogar nach beliebigen Kurven, solange diese tangential an den Kreis anschließen und innerhalb der Parabel liegen)".
Das ist falsch!
Aber welche Kurven sind denn möglich (außer der blauen Parabel in meiner Skizze)?
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Das ist allerdings interessant. Ich würde sagen, solange die Kurve unter der Parabel bleibt und positiv gekrümmt (d.h. konvex) ist, funktioniert sie. Das ist aber nur eine Vermutung. [Ergänzung: Wobei der Krümmungsradius allerdings nicht zu klein werden darf, d.h.  muss erfüllt sein]
| Zitat: |
@Jayk, vor deinem Integral steht L[r].
Was bedeutet denn [r] ? |
Die Länge einer Kurve ist ein Standardbeispiel für ein Funktional (und ) die Argumentfunktion). Man schreibt ja auch , \dot q(t), t)) für das Wirkungsfunktional. Viele Mathematiker hätten stattdessen runde Klammern benutzt. Viele Physiker hätten ]) geschrieben, was aber formal falsch ist. Ich wollte dem jetzt aber nicht übermäßig Bedeutung zumessen.^^
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Klondijk457
Gast
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| Klondijk457 Verfasst am: 13. Sep 2014 17:18 Titel: |
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Für welche Altersgruppe und für welchen Zeitraum ist diese Aufgabe eigentlich gedacht?
Dass solche Aufgaben etwas verwirren sollen, ist nichts neues. Aber das ist schon etwas schwammig formuliert, oder nicht?
Ich meine, der Aufbau nennt sich ja "verrückter Looping" - hat ja keiner gesagt, ein Looping müsse immer kreisrund sein. Und das fehlende Teilstück diese Loopings wäre dann doch die Flugparabel.
Wird zwar nicht schön, lässt sich aber alles analytisch lösen..
...Ich bekomme für jene Länge ca. 1.528m heraus.
Gibt's dafür nun Extrapunkte, oder garkeine?! 
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 13. Sep 2014 20:26 Titel: |
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Altersgruppe: Schüler (Genaueres steht online, aber im Normalfall sollte jeder Gymnasiast teilnahmeberechtigt sein). Das ist die 1. Runde, typischerweise wird die von Zehntklässlern und älter gelöst. Teilweise auch von Neuntklässlern und Jüngeren, das ist aber eher die Ausnahme.
EDIT: Und Extrapunkte gibt es ganz sicher nicht. Wenn es die Möglichkeit auf Extrapunkte gibt, steht das da, wie z.B. bei der ersten Aufgabe der zweiten Runde hier: http://wettbewerbe.ipn.uni-kiel.de/ipho/data/46_IPhO_2015_2Rd_Aufgaben.pdf
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Klondijk457
Gast
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| Klondijk457 Verfasst am: 14. Sep 2014 01:23 Titel: |
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Dann ist es wohl eher unwarscheinlich, dass dieser Lösungsweg der gesuchte ist..
Dennoch:
Es ist ein "verrückter Looping", im folgenden offenbar Looping genannt, der unterbrochen ist, weil ein Teilstück fehlt.
Wenn das fehlende Teilstück (= Kreisstück) wieder eingebaut und ein ordinärer Looping dadurch komplettiert würde, wäre es kein verrückter Looping mehr.
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 15. Sep 2014 07:29 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | |
Aber dieses Integral ist doch keine Funktion von r sondern eine Funktion von alpha.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 15. Sep 2014 08:28 Titel: |
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OT
| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Altersgruppe: Schüler (Genaueres steht online, aber im Normalfall sollte jeder Gymnasiast teilnahmeberechtigt sein). Das ist die 1. Runde, typischerweise wird die von Zehntklässlern und älter gelöst. Teilweise auch von Neuntklässlern und Jüngeren, das ist aber eher die Ausnahme. |
Ich vermute mal, nach Kenntnis etlicher Aufgaben, daß diese von durchschnittlichen / untrainierten Schülern nicht gelöst werden können und jeder Versuch nur Zeitverschwendung ist. Also: Spezialgymnasien oder Naturtalente.
Die frühere Mathe-Olympiade der DDR war dagegen eine (mit Riesenaufwand betriebene) Massenveranstaltung. Der ersten Stufe konnte man als Schüler quasi kaum entgehen ... weiter oben wurde die Luft natürlich schnell dünner. Interessenten trafen sich regelmäßig in städtischen "Schülerakademien" mit exzellentem hauptamtlichen Lehrpersonal usw.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. Sep 2014 09:44 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: |
Aber dieses Integral ist doch keine Funktion von r sondern eine Funktion von alpha.
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Das ist eine Frage der Sichtweise. Wenn du die Kurve änderst, ändert sich ja auch der Wert des Integrals und wenn diese Abhängigkeit im Fokus liegt, spricht man eben von L als "Funktional" von r. Die Abhängigkeit von alpha ist dann implizit in der Definition der Kurve und wird deshalb eigentlich nie hingeschrieben. In typischen Anwendungsfällen betrachtet man auch nur die Änderung des Funktionals auf einer Menge von Funktionen, die einen gemeinsamen Definitionsbereich und sogar gleiche Anfangs- und Endpunkte haben. Der Grund ist, daß es häufig darum geht, Extremwerte des Funktionals zu finden. Extremale Kurven existieren aber meist gar nicht, wenn man nicht den Verlauf der betrachteten Funktionen sinnvoll einschränkt.
Zum Beispiel ist das Problem diejenige Form einer an beiden Enden aufgehängten Kette fester Länge zu finden, die ihre potentielle Energie in einem konstanten Gravitationsfeld minimiert, wohldefiniert und führt auf eine Hyperbel (bezeichnenderweise "Kettenlinie" genannt) als Lösung. Ohne die feste Aufhängung gäbe es gar keine minimale potentielle Energie in einem konstanten Gravitationsfeld.
Mit der Einschränkung der zulässigen Funktionen durch Randbedingungen geht auch einher, daß sich Extrema der Funktionale als Lösungen von Differentialgleichungen (Euler-Lagrange-Gleichungen) beschreiben lassen, für die man ja ebenfalls Randbedingungen braucht.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 15. Sep 2014 20:56 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | OT
| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Altersgruppe: Schüler (Genaueres steht online, aber im Normalfall sollte jeder Gymnasiast teilnahmeberechtigt sein). Das ist die 1. Runde, typischerweise wird die von Zehntklässlern und älter gelöst. Teilweise auch von Neuntklässlern und Jüngeren, das ist aber eher die Ausnahme. |
Ich vermute mal, nach Kenntnis etlicher Aufgaben, daß diese von durchschnittlichen / untrainierten Schülern nicht gelöst werden können und jeder Versuch nur Zeitverschwendung ist. Also: Spezialgymnasien oder Naturtalente.
Die frühere Mathe-Olympiade der DDR war dagegen eine (mit Riesenaufwand betriebene) Massenveranstaltung. Der ersten Stufe konnte man als Schüler quasi kaum entgehen ... weiter oben wurde die Luft natürlich schnell dünner. Interessenten trafen sich regelmäßig in städtischen "Schülerakademien" mit exzellentem hauptamtlichen Lehrpersonal usw. |
Das ist richtig, durchschnittliche Schüler lösen diese Aufgaben nicht. Selbst gute Schüler (mit einer 1 im Physik-LK) beißen sich daran die Zähne aus. Weil sie untrainiert sind. Es gibt Bücher, die auf die IPhO vorbereiten (zumindest eines davon hatte ich auch schon selbst in den Händen; das war aber keine gute Vorbereitung, weil es nur die einfachsten Aufgaben aus 1. und 3. Runden vergangener Jahre zusammengefasst hatte). Daneben gibt es noch die "inoffizielle Aufgabensammlung", die viele aber leider gar nicht kennen: Dort werden Aufgaben der vergangenen 3. und 4. Runden gesammelt und zwar mehr oder weniger vollständig, nicht nur die einfachen Aufgaben. Wenn man nicht trainiert, hat man kaum Chancen, über die zweite Runde hinaus zu kommen.
Zumindest in Ostdeutschland ist es in der Tat so, dass die IPhO (wie auch die Matheolympiade und fast alle anderen naturwissenschaftlichen/technischen Wettbewerbe) stark von den ehemaligen Spezialschulen der DDR dominiert werden. Das heißt nicht, dass es nicht auch Teilnehmer von Regelgymnasien gäbe, aber das sind tatsächlich deutlich weniger. Wie es im Westen aussieht, weiß ich nicht, mir ist jedenfalls nicht bekannt, dass es da etwas Vergleichbares gäbe.
Bei der Matheolympiade ist das aber nicht anders. Ich weiß nicht, wie die Matheolympiade früher war, aber der durchschnittliche Schüler, der einfach in den Matheunterricht geht (und vielleicht sogar gute Noten hat), hat auch dort normalerweise keine Chance. Der Niveauunterschied zwischen den Wettbewerben und dem Schulunterricht wird einfach von Klasse zu Klasse größer. [Korrektur: Es ist nicht nur das Niveau, es ist vor allem der Aufgabentyp, der anders ist: Wann führt man denn im Schulunterricht schon einen Beweis?]
Die von dir angesprochenen Schülerakademien gibt es in unterschiedlichen Formen noch.
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