Unendlicher Potentialtopf mit einer sich bewegenden Wand

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Das Problem eines Teilchens im unendlichen Potentialtopf, also für

ist ja eines der Standardprobleme in Einführungskursen zur Quantenmechanik.

Unerwartet kompliziert wird's, wenn sich eine Wand bewegt, also für

Falls es von Interesse ist:

http://highenergy.phys.ttu.edu/~akchurin/PHYS5302ProjectPapers/DoescherAndRice-MovingWallsAJP001246.pdf
http://solar.physics.montana.edu/tarrl/pubs/Lucas.Tarr.Reed.College.Thesis.pdf

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Ich habe mir das Problem nochmal aus einer anderen Perspektive angesehen, nämlich mittels einer unitären Skalentransformationen

mit zeitabhängigen lambda, das so gewählt ist, dass

auf ein festes Intervall

führt.

Demzufolge ist das Problem äquivalent zu einem Hamiltonian der Form

mit zeitabhängiger Masse plus einem Zusatzterm

Eine allgemeine Lösung konstruiert man mittels des Ansatzes

mit den Eigenzuständen des Impulses

Zu lösen ist dann das folgende System gekoppelter DGLs

das man formal umschreibt zu

mit

Die formale Lösung lautet

und damit

Die Darstellung entspricht letztlich dem Wechselwirkungsbild, wobei H_1 den "freien, zeitabhängigen" Hamiltonoperator darstellt und H_2 ~ G den zeitabhängigen Wechselwirkungsterm. Die Lösung wird nicht in Form der Eigenzustände des vollen Hamiltonians konstruiert. Man erkennt, dass der "freie" Anteil die "instantanen" Eigenzustände |n> diagonal lässt; lediglich G führt zu einer Vermischung der Zustände.

Die "instantanen Eigenzustände" des vollen, zeitabhängigen Hamiltonoperators findet man mittels des Ansatzes

Projektion auf einen Zustand m führt auf die Eigenwertgleichung für E

Das Integral lässt sich noch vereinfachen zu

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Für die Koeffizienten ist zu berücksichtigen, dass die Cosinus-Terme aufgrund der Randbedingungen verschwinden müssen, d.h.