Elektr. Feld einer linearen Ladungsverteilung

MrPSI · Gast

Hi,

ich bin im Halliday am im Titel genannten Punkt angelangt. Da wird anhand eines nicht-leitenden dünnen Kreisrings die Formel zur Berechnung des elektr. Feldes einer linearen Ladungsverteilung in einem Punkt P auf der Symmetrieachse(=Achse, senkrecht zum Kreismittelpunkt) hergeleitet.
Ich bin bis zu folgendem Punkt angelangt, den ich auch verstanden hab:

Das ist die Formel zur Berechnung des differentiellen Feldbetrags eines differentiellen Kreiselements, auf dem Ladungen liegen, entlang der Symmetrieachse, da sich die Anteile senkrecht zur Symmetrieachse aus Symmetriegründen(gleicher Betrag, entgegengesetzte Richtungen, ...) auslöschen.

....Ladungsdichte [C/m]

....Winkel zw. Vektor des Feldes im Punkt P und Projektion auf Symmetrieachse
z...Abstand von Kreismittelpunkt und Punkt P
R...Kreisradius
r....Abstand von differenziellem Kreiselemen

zu Punkt P

Und das gesamte elektr. Feld e.l.L. ergibt sich ja durch Aufsummieren der differentiellen Feldbeträge

. Jetzt aber kommt der Punkt den ich nicht verstehe, es wird nämlich integriert.
Wieso wird hier integriert? Das würde ja bedeuten dass der Feldbetrag E eine Fläche unter dem Funktionsgraphen wäre.
Aber E ist doch der größte Funktionswert einer linearen Funktion der Form

im Intervall

, wobei

ist und

und konstant ist und man

und

auf ein beliebig großes

und

ausweitet.
Da

gilt und folgt

.

Wenn man meinen Überlegungen folgt und

setzt, so kommt man zum gleichen Ergebnis wie beim Integrieren.

Also, hier nochmal meine Frage: Wieso wird hier trotzdem integriert?

//edit: so, nach 20-fachem Editieren sollte es endlich akkurat genug beschrieben sein.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Es stimmt alles was du sagst - wenn es anfangs auch ein wenig umständlich erscheint. Du musst eine konstante Funktion integrieren von 0 bis

Dies ist nichts anderes als der Integrand x

, wie du ja richtig erkannt hast. Auch wenn das in diesem Fall trivial ist, ist es trotzdem eine Integration. Integrieren muss ja nicht automatisch schwer sein.

MrPSI · Gast

Integrieren find ich an und für sich nicht schwer, aber das Nachvollziehen des Beispiels schon.
Ich verstehe unter Integrieren geometrisch das Aufsummieren unendlicher schmaler Flächenteile, aber ich verstehe den Feldbetrag nicht als Fläche sondern als Funktionswert bzw. ich weiß nicht wie man sich das als Fläche eines Funktionsgraphen vorstellen kann.
Und wieso ist das eine Konstante Funktion??? Da wird ja eine Konstante mit einem x-Wert(=

) multipliziert und das ergibt einen y-Wert(=

), also ist ne lineare Funktion, oder was hab ich da übersehen?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Wo ist das Problem?

Der Beitrag eines kleinen Stückchens dl in z-Richtung ist :

Das heisst

und weiter (durch Integration = Flächenbildung)

Du bildest quasi die Fläche der Funktion dE/dl im Intervall von 0 ...2R

Klar, mit etwas Übung kann man das Resultat auch intuitiv hinschreiben ohne zu integrieren. Das funktioniert hier aber nur aufgrund der hohen Symmetrie.

Ausserdem: Dein "grösster Funktionswert einer linearen Funktion..." ist ja auch nichts anderes als die Integration einer konstanten (hast ja selbst erkannt) Grösse !

MrPSI · Gast

ok, gut, habs jetzt verstanden.
Hatte nur Probleme, weil im Halliday ein/zwei Schritte übersprungen wurden und es nicht so schön erklärt wurde wie von dir.

Danke smile

MrPSI · Gast

ähm...eine Frage hat sich mir doch noch ergeben, auch wenn sie etwas blöd klingt.

Du hast ja einen Ausdruck aus dem Integral herausgezogen, weil es eine Konstante ist.
Aber da R konstant ist, muss es auch

bzw.

sein, also kann (rein theoretisch) ich diesen Ausdruck auch aus dem Integral nehmen. Übrig bleibt dann

. Was ist das Ergebnis dieses Ausdrucks bzw. Was ist das Ergebnis eines Ausdrucks der Form

.
Das würde mich mal interessieren.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die Fläche unter der Kurve f(x) zwischen a und b schreibt man symbolisch als

Wenn f(x) nicht von x abhängt (konstant ist = k) so kann man das aus dem Integral rausziehen - denn eine 3 mal grössere Funktion liefert eine 3 mal grössere Fläche, unabhängig davon wie die Funktion in Integrationsintervall aussieht:

Man kann nun nicht auch noch dx rausziehen, da dies ja eigentlich kein Teil des Integranden ist, sondern lediglich die Integrationsvariable symbolisiert. Das dx gibt an über welche Variable integriert wird. Es ist eine Konvention, genauso wie man das Quadrat von x schreibt als

und nicht als

.

Du sagst ja auch nicht

weil der Bruchstrich eine Symbolik ist und keine Variable.

smile

MrPSI · Gast

ahh, danke smile

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Zugegebenermassen gehen Physiker mit den

s und

s recht schlampig um. Im Matheboard würden die mich hochkant rausschmeissen mit so einer Argumentation wie oben.

Sachen wie

sind mathematisch gesehen wahrscheinlich nicht viel besser als mein Spässchen mit dem Bruchstrich. Big Laugh