kohärente Zustände

karl2345 · Gast

Ein kohärenter Zustand sei gegeben in der Form:

a) Man zeige das

einen Eigenzustand zu

darstellt und bestimme den zugehörigen Eigenwert!

b) Bestimmen Sie

so, dass

normiert ist.

c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die mittlere quadratische Schwankung des Besetzungszahloperators

in solch einem kohärenten Zustand

Der Vakuumzustand sei normiert, c ist der bosonische Vernichter, c adjungiert der bosonisch Erzeuger.

zu a)

Ich weiß ja, dass im Vakuumzustand gilt:

Allerdings hab ich hier eher ein grundlegendes Problem mit der Rechnung, wenn der Operator im Exponenten steht. Wie muss ich da vorgehen?

Meine Idee wäre vielleicht noch, dass ich folgendes mache:

umordnen und damit phi durch c ausdrücken, womit ja gezeigt wäre, dass es ein eigenzustand ist.

Ich bräuchte hier Hilfe, weil es am sicheren Umgang mit den Rechenoprationen scheitert und ich mir erhoffe, dass mir dann ein Licht aufgeht. Danke

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich bin immer umgekehrt vorgegangen und habe ausgehend von der Forderung

den Eigenket konstruiert. Da sieht man genau, wie das funktioniert.

Zu a)

Wenn du den Operator

gegeben hast, dann musst du als nächstes den Vernichter von links anwenden. Anschließend kannst du von links mit

multiplizieren und den Term

mittels des Hadamard-Lemmas auswerten.

http://de.m.wikipedia.org/wiki/Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

Eine andere Möglichkeit sollte sein, den Exponenten in eine Taylorreihe zu entwickeln. Anschließend musst du den Vernichter nach rechts durchtauschen, so dass er auf den Grundzustand wirkt. D.h.

Den Kommutator kannst berechnen, der zweite Term fällt weg, wenn er auf den Grundzustand wirkt.

Egal ob Hadamard-Lemma oder Taylorentwicklung: zuletzt hast du wieder eine Summe, die du so umformen kannst, dass die e-Funktion reproduziert wird, multipliziert mit einem übrig-gebliebenen alpha, dem Eigenwert.