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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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 Ula Verfasst am: 29. Mai 2014 19:01 Titel: Eigenwertgleichung, Schwingung zweier gekoppelter Massen |
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Meine Frage:
Man sollte diesen Lösungsansatz verwenden:
=\vec{a} e^{i\omega t} \ \ in \ \ C\ \ mit \ \ Re[\vec{Z(t)}]=\vec{X}(t) ) , um damit die Eigenwertgleichung für  abzuleiten.
\vec{a} =0)
Hier ist a ein komplexer Vektor, der somit auch eine Phase enthalten kann.
Meine Ideen:
Hab leider keine Idee, wie ich das als Problem in C lösen kann.
Ula
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 29. Mai 2014 19:10 Titel: |
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Der Lösungsansatz ist schön und gut - aber was willst du denn damit Lösen?
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 29. Mai 2014 19:12 Titel: |
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Ich soll die Eigenwertgleichung für omega ableiten.
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 29. Mai 2014 19:18 Titel: |
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=\vec{a} e^{i\omega t} = \vec{a} (\cos(\omega t) + i \sin(\omega t ) ))
und
]=\vec{X} (t))
Also
= \cos(\omega t) )
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 30. Mai 2014 19:15 Titel: |
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Weiß jemand, wie es weiter geht?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 30. Mai 2014 20:10 Titel: |
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Bist Du sicher, dass sonst nichts in der Aufgabe stand? Irgendwie erscheint mir da ein großer Teil zu fehlen...
Gruß
Marco
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
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| as_string Verfasst am: 30. Mai 2014 22:56 Titel: |
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Aha, und das hätten wir jetzt alles erraten sollen?
Das ist also der Lösungsansatz für ein spezielles System aus partiellen Differentialgleichungen. Wie sieht denn die  bei Dir aus?
Gruß
Marco
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 31. Mai 2014 09:07 Titel: |
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Unglaublich wie hier immer wieder unvollständige Aufgaben gestellt werden!
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 31. Mai 2014 09:13 Titel: |
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Also in der ersten Aufgabe habe ich die Bewebungsgleichungen ausgerechnet.
 - k (x_{1}² - x_{1}x_{2} + x_{2}²))
Und die Bewegungsgleichungen sind:
und
Und dann sieht meine omega so aus:
Ist das soweit ok?
Gruß
Ula
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 31. Mai 2014 16:20 Titel: |
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Die Gleichung ist soweit ok. Allerdings ist das noch nicht das/die gesuchten omegas. Für diese Gleichung kannst du nun den Ansatz
 = \vec{X}_0 \exp(i\omega t)
<br />
) benutzen.
Dann wird deine Gleichung zu
Das ist nun eine Eigenwergleichung, d.h. du findest alle möglichen  s, indem du die Matrix auf der rechten Seite diagonalisierst.
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 31. Mai 2014 21:36 Titel: |
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Also sieht dann meine  so aus:
 ?
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 31. Mai 2014 22:11 Titel: |
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Ja genau laut der Aufgabenstellung
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 10:06 Titel: |
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Und warum kann ich nun diesen Ansatz nutzen? Verstehe nicht..
 = \vec{X}_0 \exp(i\omega t))
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 10:33 Titel: |
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"
Dann wird deine Gleichung zu
"
Und die letzte Gleichung das ist schon meine Lösung? Weil die Eigenwertgleichung soll bestimmt werden....
Dann kommt noch der Teil c) d). und e)
c). Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen (Normalfrequenzen)  des Systems und die dazugehörige Normalmoden X+-(t). Welchen Phasenunterschied haben die beiden Massen jeweils)
d). Wie lautet die allgemeine Lösung X (t)?
e).Drücken Sie die allgemeine Lösung mit Hilfe einer Schwerpunkts- und Relativkoordinate aus (Normalkoordinaten)
\\
<br />
\epsilon _{2} =0,5 ( x_{1} + x_{2} ))
Welche Besonderheit weisen die Normalkoordinaten in Hinblick auf die Normalmoden auf? 
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 01. Jun 2014 10:45 Titel: |
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Und weshalb kannst du nicht von Anfang an mit der ganzen Aufgabe herausrücken?
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 12:16 Titel: |
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Ist doch egal. Es müssen eh zuerst die ersten Aufgaben gemacht werden.
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 13:20 Titel: |
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c) ALso dann erhalte ich sowas
 = det
<br />
\begin{pmatrix} \frac{2k}{m}- \lambda & \frac{-k}{m} \\ \frac{-k}{m} & \frac{2k}{m} -\lambda \end{pmatrix}\\
<br />
0=(\frac{2k}{m} - \lambda )² - \frac{k²}{m²} \\
<br />
\lambda _{1}= \frac{3k}{m} \\
<br />
\lambda _{2}= \frac{k}{m} \\)
Nur was ist eigentlich  ?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 01. Jun 2014 17:56 Titel: |
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Hallo!
Ich versuche mal für etwas Klarheit zu sorgen, obwohl ich mich mit der Thematik auch nicht (mehr...) so gut auskenne. Wenn jemand einen Fehler findet, ich würde mich über Korrektur freuen!
Du hast ja schon das System partieller Diffgleichungen mit dem Omega gefunden.
 = \Omega \vec{X}(t))
Soweit so gut. Die Aufgabe lautete ja jetzt, diesen Komplexen Ansatz zu verwenden zur Lösung. Das kann man machen (um leichter rechnen zu können, weil die Regeln für Komplexe Zahlen manchmal hilfreich sein können für so was), obwohl man eigentlich ja nicht an einer Lösung mit komplexen Funktionen interessiert ist. X Sind ja die beiden Koordinaten x1 und x2, deren Werte sind natürlich reell und nicht komplex. Wenn man aber eine komplexe Lösung für eine Differentialgleichung hat, ist immer auch das komplex konjugierte eine Lösung, und weil man aus einer Linearkombination der beiden auch den Realteil und Imaginärteil erhalten kann, ist auch der Imaginär-/Real-Teil eine Lösung der Differentialgleichung (so weit ich mich da zumindest erinnere... Die Details/Beweise und so weiß ich im Moment auch nicht mehr...)
Das ist es, was Dir die Aufgabe mit dem Realteil sagen will: Nimm den komplexen Lösungsansatz mit Z, wie beschrieben. Wenn Du Z raus hast als Lösung, kannst Du (wenn Du willst) daraus einfach eine reelle Lösung bilden, wenn Du nur den Realteil von Z betrachtest. Aber eben erst am Ende!
Die Aufgabe ist also zuerst, diesen Lösungsansatz mit Z in Dein Diffgleichungs-System einzusetzen. Links ist die zweite Ableitung nach der Zeit, die Dir aus der Exponentialfunktion das w^2 und das i^2 runter holt, letzteres wird ja einfach zu -1. Das ist das, was Jannick in einem Post schon gezeigt hat und wo er einfach (sinnvollerweise) die Vorzeichen in den Koeffizienten von Omega umgedreht hat, um das Minus aus dem i^2 einzuarbeiten.
Auf beiden Seiten bleibt dann auch erstmal ein exp(-iwt) stehen, was man raus kürzen kann, so dass Du eben noch die Gleichung:
übrig hast. Jannick hat nur etwas andere Bezeichnungen genommen, mehr nicht...
Jannick hatte dabei auch erwähnt, dass das die (in der Aufgabe) gesuchte Eigenwertgleichung ist: Auf der einen Seite hast Du eine lineare Transformation eines Vektors a, der auf der anderen Seite zu einem Vielfachen von a wird. Das ist das, was für einen Eigenvektor gegeben sein muss: Durch die Multiplikation mit der Matrix soll der Vektor immer noch in die selbe Richtung zeigen, nur um einen bestimmten Faktor (Eigenwert) gestreckt/gestaucht sein, oder bei negativem Eigenwert eben auch in die entgegen gesetzte Richtung zeigen.
Wenn Du jetzt alles auf eine Seite bringst, bekommst Du übrigens gerade die Eigenwertgleichung, die Du in der Aufgabe aus diesem Ansatz herleiten solltest. Wenn Du jetzt mal vergleichst, was Du mit dem lambda gelöst hast mit dem, was in dieser Eigenwertgleichung steht, fällt Dir da eventuell irgendwas auf, was dieses lambda sein könnte?
Interessiert bist Du letztlich an den Eigenvektoren, das sind nämlich genau die speziellen a-Vektoren, die Dein Diff-Gleichungssystem lösen! Dann hast Du auch die komplexen Phasen gefunden und kannst aus dieser komplexen Lösung auch den Realteil für die Funktionen ) und ) raus ziehen.
Machts das vielleicht etwas klarer?
Übrigens: Vielleicht muss man nicht unbedingt gleich alle Teilaufgaben hin schreiben, keine Ahnung... Aber was ich wirklich nicht verstehen konnte, warum man die erste weg lässt und dann mit so einer allgemein gehaltenen Frage anfängt. Woher sollen wir den erraten, für was das ein "Lösungsansatz" sein sollte? Warum nicht einfach erst die ganze Aufgabe abschreiben und dann dazu schreiben, zu welchen Teilen man schon was überlegt hat und welche (Teil-)Lösungen man schon hat. Dann wäre das hier schon längst alles durch und die Leute würden sich nicht so ärgern müssen...
Gruß
Marco
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 18:14 Titel: |
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Ja, ok, es tut mir leid. Hab nur gedacht, dass das für die eine Teilaufgabe nicht relevant wäre....  Ich werde mich verbessern!
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 19:05 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | Die Aufgabe ist also zuerst, diesen Lösungsansatz mit Z in Dein Diffgleichungs-System einzusetzen. Links ist die zweite Ableitung nach der Zeit, die Dir aus der Exponentialfunktion das w^2 und das i^2 runter holt, letzteres wird ja einfach zu -1.
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Also so?
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Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
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| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 20:43 Titel: |
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Und dann:
= - a_{1}\omega ² \cos(\omega t) - a_{2}\omega ² \sin(\omega t)) ?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 01. Jun 2014 21:23 Titel: |
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Hä? Wie kommst Du denn jetzt darauf??? Im Prinzip hat Jannick doch schon alles angeschrieben!
Der Vektor a ist doch konstant mit der Zeit. Das einzige, wo eine Zeit drin vorkommt, ist die e-Funktion.
Bei Dir ist auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ein Vektor, auf der anderen aber eine Summe. Wie kann das denn gehen?
Gruß
Marco
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U l a
Gast
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| U l a Verfasst am: 01. Jun 2014 21:32 Titel: |
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Ich dachte, dass ich das noch ausführlicher schreiben soll. Ich lasse die aufgabe lieber in der Ruhe. Ich verstehe die nicht wirklich. Weiß auch nicht wie ich die weiteren aufgaben machen soll.
Gruß. Ula
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 01. Jun 2014 21:33 Titel: |
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| Ula hat Folgendes geschrieben: | | Hab nur gedacht, dass das für die eine Teilaufgabe nicht relevant wäre.... |
Ja, das beobachte ich häufiger und das nervt viele ziemlich: Jemand versteht eine Aufgabe nicht so wirklich und stellt deshalb hier eine Frage (so weit ganz ok, so ist es ja gedacht...). Aber, obwohl die Aufgabe nicht verstanden ist, denke die Leute, sie wüssten ganz genau, dass sie einen Teil der Aufgabenstellung einfach weg lassen könnten, bzw. welcher Teil relevant ist und welcher nicht.
Es ist doch aber eigentlich logisch, dass man das, so lange man die Aufgabe nicht vollständig verstanden hat, kaum selbst wissen kann. Und wenn man sie voll verstanden hat, braucht man auch nicht mehr zu fragen.
Abgesehen davon: Normalerweise bauen Teilaufgaben ja schon aufeinander auf bzw. haben sicher irgendetwas miteinander zu tun. Wieso sollte man sie sonst in Teilaufgaben zusammen fassen und nicht einzelne unabhängige Aufgaben machen? Zumindest um also irgendwie den Zusammenhang aufzuzeigen, ist es doch logisch, dass auch die anderen Teilaufgaben von Interesse sein könnten!
In diesem Fall ist es mir aber ganz unverständlich: Da ist ja wortwörtlich von einem Lösungsansatz für die Differentialgleichung aus dem ersten Teil die Rede. Es ist doch dann mehr als logisch, dass man die Differentialgleichung schon auch braucht, um da irgendwie was zu sagen zu können... Wie kann man da nur auf die Idee kommen, das wäre davon völlig unabhängig? Das verstehe ich nie...
Und auch die Folgeaufgaben können teils ein Hinweis dafür sein, wo die Reise hin geht und wie man die Aufgaben davor angehen sollte. Gerade wenn man helfen will, ist das nützlich.
Gruß
Marco
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 01. Jun 2014 21:50 Titel: |
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| U l a hat Folgendes geschrieben: | Ich dachte, dass ich das noch ausführlicher schreiben soll. Ich lasse die aufgabe lieber in der Ruhe. Ich verstehe die nicht wirklich. Weiß auch nicht wie ich die weiteren aufgaben machen soll.
Gruß. Ula |
Schau mal: Wenn Du den Vektor Z ableitest, dann erhälst Du doch einen neuen Vektor, bei dem die Komponenten jeweils eine Ableitung der Komponenten von Z ist.
Wenn also Z das hier ist:
Dann kannst Du doch jede Komponente jeweils zweimal nach t ableiten, also hast Du:
Jetzt kann man das wieder etwas schöner schreiben:
Auf der anderen Seite steht aber Vektor-Z multipliziert mit dieser Omega-Matrix, richtig? Wenn Du da den Lösungsansatz einsetzt, bekommst Du Omega mal Vektor-a mal exp(iwt). Letzteres steht jetzt auf beiden Seiten, also kannst Du das weg kürzen. Dann hast Du auf der einen Seite noch einen Vektor multipliziert mit dem Quadrat eines skalaren Wertes, also einfach nur die Streckung oder Stauchung des Vektors a. Eine normale Zahl kann ja nicht die Richtung eines Vektors ändern (höchstens komplett umdrehen, wenn sie negativ wäre, das kann hier aber auch nicht der Fall sein, wenn man omega als reell annimmt).
Soetwas nennt man eine Eigenwertgleichung: a ist ein Eigenvektor, der Matrix Omega: Wenn man die Matrix auf a anwendet, wird der Eigenvektor a nicht gedreht, sondern nur in die selbe Richtung gestreckt. Und der Streckfaktor ist gerade der Eigenwert zu dem Eigenvektor. So eine Matrix kann mehrere Eigenwerte/Eigenvektoren haben, die hier hat zwei positive und man sagt dann auch, sie ist positiv-definit.
Macht das die Sache irgendwie etwas klarer?
Gruß
Marco
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U l a
Gast
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| U l a Verfasst am: 01. Jun 2014 22:03 Titel: |
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Ja... danke..
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