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Nachricht |
Möbiusling
Gast
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 Möbiusling Verfasst am: 06. Apr 2014 19:47 Titel: Bewegung eines Teilchen auf einem Möbius Band |
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Hey JO, ich will die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen das sich in der Fläche eines Möbius bandes bewegt berechnen mit:
)cos(u) \\ (1+\frac{v}{2}cos(\frac{u}{2}))sin(u) \\ \frac{v}{2}sin(\frac{u}{2}) \end{pmatrix} )
Gibt eine einfache Methode die Geschwindigkeit zu berechnen? Ich habs mal versucht aber nach dem gefühlten tausendsten Term hab ich keine Lust mehr gehabt.
Gruß |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 06. Apr 2014 20:14 Titel: |
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Was weißt du über orthogonal-krummlinige Koordinaten? Ich hab's nicht ausprobiert, aber ich könnte mir vorstellen, dass das den Prozess verkürzt.
Angenommen, du hast eine Darstellung von  durch  , wobei diese Koordinaten krummlinig orthogonal sind, das heißt, }{\partial q_j} , \frac{\partial \vec x (\vec q )}{\partial q_k} \right\rangle = \sum_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\frac{ \partial x_i }{ \partial q_k } \sim \delta_{j k}) , dann ist
und ein infinitesimales Wegelement hat die Länge
^2)
Dementsprechend ist die Geschwindigkeit
^2 \dot q_j^2 } = \sqrt{\sum_j h_j^2 \dot q_j^2}, \;h_j^2 := \sum_i \left( \frac {\partial x_i}{\partial q_j} \right)^2) |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 06. Apr 2014 20:53 Titel: |
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Ist die totale Zeitableitung bilden so umfangreich?
Einmal jeweils nach u respektive v ableiten und dann noch jeweils die totale Zeitableitung von u respektive v niederschreiben und in die allgemeine Kettenregel einsetzen und fertig. Sollte eigentlich recht schnell gehen. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 06. Apr 2014 21:34 Titel: |
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Das sollte mit vertretbarem Aufwand möglich sein, aber es macht definitiv keinen Spaß und du machst Vieles umsonst, da die Hälfte der Terme sich gegenseitig weghebt, wenn du den Betrag der Geschwindigkeit berechnest. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 06. Apr 2014 21:38 Titel: Re: Bewegung eines Teilchen auf einem Möbius Band |
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| Möbiusling hat Folgendes geschrieben: | Hey JO, ich will die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen das sich in der Fläche eines Möbius bandes bewegt berechnen mit:
Gibt eine einfache Methode die Geschwindigkeit zu berechnen? Ich habs mal versucht aber nach dem gefühlten tausendsten Term hab ich keine Lust mehr gehabt.
Gruß |
Aber wieso willst du eigentlich die Geschwindigkeit berechnen? Du willst die Sache doch nicht etwa mit newtonscher Mechanik aufziehen, oder?^^
PS: Sorry, natürlich braucht man für Lagrange die Geschwindigkeiten.^^ |
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Möbiusling
Gast
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| Möbiusling Verfasst am: 06. Apr 2014 22:36 Titel: |
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Hallo, ja mit Lagrange. Einfach so aus Spaß, mal gucken ob es irgendeine Impulserhaltung gibt, oder wie der Impuls aussieht oder so  Aber wenn man dann die Terme quadrieren muss wirds schon ziemlich hässlich. Über krummlinige Koordinaten weiß ich leider nix, ausser dass die Krumm sind. Naja vielleicht mach ich es irgendwann mal mit Wolfram Alpha oder so.
Gruß |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2014 22:42 Titel: |
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Du kannst das Möbiusband auch ohne Einbettung im dreidimensionalen Raum rein topologisch betrachten. Die Geometrie ist lokal euklidisch, die Geodäten sind (lokal) Geraden, die Topologie steckt ausschließlich in den Randbedingungen.
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip#Topology
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 06. Apr 2014 22:56 Titel: |
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Verdammt, der Hinweis war eh unbrauchbar... Die Koordinaten sind nämlich gar nicht orthogonal.
Ja, ich hatte mich einfach auf das Bild bei Wikipedia verlassen, das das angedeutet hatte. Das stimmt aber nicht, nach meiner Berechnung liegen je nach Parameter Winkel von unter 10° bis über 40° vor.  |
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D2
Anmeldungsdatum: 10.01.2012
Beiträge: 1723
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 06. Apr 2014 23:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Du kannst das Möbiusband auch ohne Einbettung im dreidimensionalen Raum rein topologisch betrachten. Die Geometrie ist lokal euklidisch, die Geodäten sind (lokal) Geraden, die Topologie steckt ausschließlich in den Randbedingungen.
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip#Topology |
"Okay. What would that imply?" |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2014 23:21 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Du kannst das Möbiusband auch ohne Einbettung im dreidimensionalen Raum rein topologisch betrachten. Die Geometrie ist lokal euklidisch, die Geodäten sind (lokal) Geraden, die Topologie steckt ausschließlich in den Randbedingungen.
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip#Topology |
"Okay. What would that imply?" |
Na, genau das:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | die Geodäten sind (lokal) Geraden |
 = (v_xt + x_0, v_yt + y_0))
(lokal!)
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 06. Apr 2014 23:29 Titel: |
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Ja, stimmt, da hätte ich eigentlich auch selbst drauf kömmen können. 
Irgendwie war ich innerlich so darauf fixiert, das Teilchen einem Potential auszusetzen.^^ Ja, ich hatte die ganze Zeit ein Teilchen vor Augen, das im homogenen Kraftfeld auf einem Möbiusband schwingt.
Ach, und irgendwie frage ich mich angesichts jüngerer Threads gerade, was passiert, wenn man ein geladenes Teilchen in einer leitenden Kleinschen Flasche einsperrt.^^ |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2014 23:34 Titel: |
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Nun, man kann das Möbiusband schon als gekrümmte Mannigfaltigkeit darstellen. Das entspricht aber keinem Potential, sondern einer nicht-trivialen kinetischen Energie
Die Anfrage ist nur, ob das für den jeweiligen Anwendungsfall notwendig ist.
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Möbiusling
Gast
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| Möbiusling Verfasst am: 06. Apr 2014 23:38 Titel: |
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Hallo, ich glaub das ist zuviel für mich ihr könnt aber ruhig weiter darüber reden wenn ihr wollt 
Gruß |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2014 23:44 Titel: |
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Das ist nichts anderes als das, was du selbst vor hattest ;-)
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