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Fontes
Gast
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 Fontes Verfasst am: 25. Dez 2013 07:52 Titel: Stufenfunktion integrieren? |
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Hallo.
Folgende Aufgabe:
Benutzen Sie den Satz von Gauß:
 \, d^3r)
um das elektrische Feld  für die Ladungsverteilung  = Q \delta(\vec{r}) + \rho_0 \Theta(r-R_1) \Theta(R_2-r))
zu berechnen.
 sind reelle Konstanten.
Folgendes Integral, welches man erhält, wenn man die Ladungsdichte in den Satz von Gauß einsetzt, bereitet mir Schwierigkeiten.
 \Theta(R_2-r) \, d^3r)
Denn zu der Stufenfunktion gab's in der Vorlesung kein Wort. In den Mathevorlesungen erinnere ich mich auch nicht daran. Das taucht also einfach so in der Aufgabe auf, lediglich mit der Definition:
 = 0)
 = 1)
Kann im Prinzip also eigentlich nicht so schwer sein. Irritieren tut es mich dennoch, da ich nicht sicher bin, wie ich damit umzugehen habe.
Falls es kein großes Geheimnis dahinter gibt, dann würde ich ja sagen, der Integrand wird entweder 0 oder 1 und eine Fallunterscheidung aufstellen. Ist das evtl. schon das ganze Geheimnis und ich versuche es mir wieder unnötig schwer zu machen?
Als Hüllvolumen würde ich über eine Kugelfläche integrieren, da hier bereits mit r gearbeitet wird.
Woher weiß ich aber in welchem Winkel das E-Feld zur Flächennormalen steht? Bei einer Punktladung parallel, klar. Aber hier z. B.? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
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| as_string Verfasst am: 25. Dez 2013 12:04 Titel: |
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Hallo,
Ja, das mit der Fallunterscheidung ist schonmal ein guter Ansatz!
Es ist klar, dass |r| > R1 sein muss, damit die erste Theta-Funktion 1 wird und aber kleiner R2 für die zweite. Sobald eine von beiden 0 wird, ist das Produkt auch 0, nur wenn beide 1 sind, ist auch das Produkt 0.
Was bedeutet das aber? Wenn R1 > R2 wäre, gäbe es kein |r|, das die obigen Bedingungen erfüllen kann, also wäre das Integral auch 0 weil das Produkt überall 0 wäre.
Umgekehrt, wenn R1 < R2, dann wäre das Produkt für R1 < |r| < R2 gerade 1 und für alle anderen |r| 0.
Was bedeutet das jetzt für die Ladungsverteilung? Wie sieht die dann aus? Wenn die Ladungsdichte über dieses Volumen konstant ist und Du sehen könntest, dass Du das Volumen in diesem Fall auch ohne Integral bekommen kannst, dann wäre es einfacher, das Integral nicht zu rechnen und einfach Volumen mal Ladungsdichte zu rechnen, oder?
Für die Richtung des Feldvektors: Überlege Dir, ob Du eine Symmetrie der Ladungsverteilung erkennen kannst!
Gruß
Marco |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 26. Dez 2013 05:26 Titel: |
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Hi und danke für deine Antwort!
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Was bedeutet das jetzt für die Ladungsverteilung? Wie sieht die dann aus? |
Nun. Die Ladungsdichte war ja gegeben als: . Volumenintegral darüber:
 \, d^3r + \rho_0 \int_V \! \Theta(r-R_1) \Theta(R_2-r) \, d^3r)
Wenn also gilt  , dann hätte ich ausgewertet als Gesamtladung:  .
Für alle anderen Fälle nur  .
Bzgl. der Symmetrie des E-Feldes würde ich sagen radialsymmetrisch, sofern und  Punktladungen sind. Was mich auf die triviale Frage bringt wieso ich das annehmen dürfte. Was impliziert mir denn genau, dass eine Punktladung ist? Ist das einfach nur wegen der Annahme der Konstanz? D. h., wenn ich das Coulombgesetz betrachte, dann habe ich:  . Woraus für die induzierten Felder entsprechend folgt:  bzw.  ?
Dann wäre das Oberflächenintegral natürlich auch sehr einfach zu lösen, da Normalenvektor der Kugelhüllfläche und  parallel zueinander wären. |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 26. Dez 2013 06:39 Titel: |
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| Fontes hat Folgendes geschrieben: |
Wenn also gilt , dann hätte ich ausgewertet als Gesamtladung: .
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Hier ist natürlich gemeint:  , wobei der zweite Term die Gesamtladung im eingeschlossenen Volumen V meint. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 26. Dez 2013 10:30 Titel: |
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| Fontes hat Folgendes geschrieben: | | Fontes hat Folgendes geschrieben: |
Wenn also gilt , dann hätte ich ausgewertet als Gesamtladung: .
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Hier ist natürlich gemeint: , wobei der zweite Term die Gesamtladung im eingeschlossenen Volumen V meint. |
Das hängt etwas davon ab, wie V gewählt ist. Normalerweise wird V aber eher größer sein als das Volumen, in dem die Ladungsdichte von 0 verschieden ist.
Ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob Du Dir da ganz klar bist, deshalb: Was für eine geometrische Form ist das denn, wenn r in einem bestimmten Intervall liegen muss?
Ansonsten ja: Die Verteilung ist Kugelsymmetrisch und das bedeutet auch, dass das E-Feld immer radial nach außen oder innen zeigen muss und dass es auf einer Kugeloberfläche um den Ursprung überall den selben Betrag haben muss. Dann ist es einfach, den Gaussschen Satz anzuwenden: Wenn Du wissen willst, wie das Feld an einer beliebigen Stelle ist, musst Du nur eine Kugel um den Ursprung betrachten, in deren Oberfläche der gefragte Punkt liegt und dir überlegen, wieviel Ladung innerhalb dieser Kugel ist. Der Gesamte Fluss, der durch die innenliegende Ladung erzeugt wird, muss dann gleichmäßig verteilt durch diese Kugeloberfläche strömen und so auch durch den Ort, an dem Du eigentlich das Feld suchst.
Gruß
Marco |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 26. Dez 2013 12:11 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Fontes hat Folgendes geschrieben: | | Fontes hat Folgendes geschrieben: |
Wenn also gilt , dann hätte ich ausgewertet als Gesamtladung: .
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Hier ist natürlich gemeint: , wobei der zweite Term die Gesamtladung im eingeschlossenen Volumen V meint. |
Das hängt etwas davon ab, wie V gewählt ist. Normalerweise wird V aber eher größer sein als das Volumen, in dem die Ladungsdichte von 0 verschieden ist.
Ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob Du Dir da ganz klar bist, deshalb: Was für eine geometrische Form ist das denn, wenn r in einem bestimmten Intervall liegen muss? |
Ach, stimmt. Es ist ja das Volumen der Hüllfläche und nicht das Volumen des Körpers ansich gemeint. Also 
Ist die geometrische Form evtl. eine Kugelschale, so wie bei einem Koaxialkabel? Unter kann ich mir nur so eine Anordnung vorstellen. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
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| as_string Verfasst am: 26. Dez 2013 12:19 Titel: |
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| Fontes hat Folgendes geschrieben: | Ach, stimmt. Es ist ja das Volumen der Hüllfläche und nicht das Volumen des Körpers ansich gemeint. Also
Ist die geometrische Form evtl. eine Kugelschale, so wie bei einem Koaxialkabel? Unter kann ich mir nur so eine Anordnung vorstellen. |
Ja genau, eine Kugelschale (beim Koax-Kabel wäre es eine Hohlzylinder, das wäre dann r in einem bestimmten Bereich in Zylinder-Koordinaten. Hier geht es aber um |r|, was dem r in Kugelkoordinaten entspräche.)
Wenn Du jetzt die Gesamtladung dieser Kugelschale wissen willst, dann musst Du nur das Volumen der Schale (nicht der gesamten Kugel!) mal rho0 rechnen. Sonst ist ja keine Ladung da.
Und für den Gaussschen-Satz darfst Du dann auch nur die Ladung innerhalb der Kugel betrachten, die von der aktuell betrachteten Position "aufgespannt" wird. Es kann also sein, wenn Du das Feld innerhalb der Hohlkugel wissen willst, dass die Ladung der Hohlkugel gar nicht im Volumen liegt, über das Du beim Gaussschen Satz integrieren würdest. Oder, wenn Du Dich zwischen R1 und R2 befindest, nur ein Teil der Kugelschale mit einfließt.
Habt Ihr schon einem das Feld einer homogen geladenen Kugel innen sowie außen betrachtet? Das ist eine ähnliche Rechnung dann.
Gruß
Marco |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 27. Dez 2013 01:54 Titel: |
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Homogen geladene Kugel haben wir zwar noch nicht gemacht, aber ich kenne die Rechnung für den äquivalenten Fall des Gravitationsfeldes innerhalb und außerhalb eines Planeten. 
Leichte Anwendungsschwierigkeiten habe ich offensichtlich aber dennoch mit der Anwendung des Satzes von Gauß. Meine Vorstellung ist folgende. Die Ladung ist in der Schale. Die Ladung Q ist entweder innerhalb oder außerhalb der Schale. Jetzt habe ich im Wesentlichen 2 Integrationsmöglichkeiten, um die Gesamtladung in meinem Hüllvolumen in jedem Fall zu erfassen.
1. Q ist innerhalb der Hohlkugel oder in der Schale. Dann ist das Ergebnis der beiden Volumenintegrale: ^3}{3})
2. Q ist außerhalb der Hohlkugel. Dann muss in jedem Fall über das Gesamtkugelschalenvolumen integriert werden. Also: ^3}{3})
Ist das jetzt richtig? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
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| as_string Verfasst am: 27. Dez 2013 09:51 Titel: |
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Nein, Q ist im Ursprung und die Kugelschale ist symmetrisch um den Ursprung. Q ist also immer genau in der Mitte der Kugelschale. Das zumindest besagt die Deltafunktion...
Du musst allerdings trotzdem Fallunterscheidungen machen, nämlich ob der Punkt, an dem Du das Feld wissen willst, innerhalb der Kugelschale ist, im Kugelschalenvolumen oder ganz außerhalb. Schau Dir das nochmal mit dem Innenfeld und Außenfeld der Gravitation einer homogenen Kugel an. Das Vorgehen ist sehr ähnlich.
Gruß
Marco |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 27. Dez 2013 11:50 Titel: |
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Okay, das mit der Deltafunktion ) habe ich natürlich nicht beachtet. Dann ist Q natürlich im Ursprung.
Ich habe mir jetzt mal eine homogen geladene Hohlkugel angeschaut. Wenn's jetzt falsch ist weiß ich auch nicht weiter. 
Fall 1: Innerhalb der Kugelschale: Nur Q wird umhüllt vom Gauß-Volumen. Ich kriege also für das Volumenintegral schlicht Q raus.
Fall 2: Im Kugelschalenvolumen: In dem Bereich gibt es kein Q. Nur ein Teil von wird umhüllt. }{3})
Fall 3: Außerhalb: Keinerlei Ladungsdichte im Außenraum. 0.
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 27. Dez 2013 12:00 Titel: |
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*seufz*
Intuitiv sage ich mal, das ist immer noch falsch.
Innerhalb:
In der Schale: }{3})
Außerhalb: }{3})
Vielleicht doch eher so?  |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
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| as_string Verfasst am: 28. Dez 2013 15:19 Titel: |
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Sehr gut!  So würde ich das auch sehen (also so wie Dein letzter Post dann)!
Siehst Du, ging doch sogar ganz ohne integrieren (naja, wenn man davon absieht, dass man das Volumen einer Kugelschale sonst eventuell auch erst durch ein Integral bestimmen müsste...). Ist doch eigentlich gar nicht so schwer, wenn man erstmal das mit den Delta- und Theta-Funktionen alles durch hat, oder?
Du wirst wahrscheinlich mit diesen beiden "Spezialfunktionen" noch häufiger mal zu tun bekommen. Es gibt da im Zusammenhang mit Integralen auch ganz nette Eigenschaften... In sofern war das ja dann schon mal als erster Kontakt nicht ganz unwichtig, dass Du Dich durch die Aufgabe durchgebissen hast. Weiter so!
Gruß
Marco
Edit/PS: Jetzt musst Du natürlich auf Basis dieses Ergebnisses des Integrals noch schauen, dass das Feld durch die ganze von r aufgespannte Kugeloberfläche "strömt" und sich deshalb auf diese Fläche auch verteilt. Die Aufgabe war ja letztlich, das Feld zu bestimmen, richtig?
Aber das ist auch wieder wie bei der homogenen Masse-Kugel auch. |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 28. Dez 2013 16:33 Titel: |
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Jippi!
Ja, die Aufgabe war das Feld zu bestimmen, aber die linke Seite des Integrals ist ja kein Problem mehr, da die Flächennormale wegen der Symmetrie parallel zum E-Feld ist und man daher E als Konstante vors Integral ziehen kann.
Mein Problem war eher das grundlegende Verständnis beim Gauß-Integral. Für den Bereich außerhalb z. B. denke ich automatisch "da ist doch keinerlei Ladungsdichte, also ist das Volumenintegral / die Ladung in dem Bereich doch 0". Dabei muss man sich einen Punkt P außerhalb mit dem Ortsvektor  vorstellen und dieser Ortsvektor spannt das gaußsche Volumen mit Radius r auf. Dann liegen natürlich sämtliche Ladungsdichten im Volumen.
Die Deltafunktion ist ganz angenehm, mit der habe ich schon häufiger gerechnet. Die Stufenfunktion sehe ich allerdings das erste Mal. Die hat mich doch etwas irritiert.
Alles in allem hat mich das tagelange Grübeln weitergebracht. Der SvG wird ja doch recht häufig in der E-Dynamik angewandt, wie ich feststelle. Danke für die nette Unterstützung! |
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