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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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 Charlie1129 Verfasst am: 23. Nov 2013 15:53 Titel: Gleichungssystem unter Verwendung des Knoten A als Bezugskno |
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Meine Frage:
Hallo,
wie stellt man ein Gleichungssystem unter Verwendung eines gegeben Knoten beispielsweise A allgemein auf?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Meine Ideen:
...
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 23. Nov 2013 16:24 Titel: |
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Indem man für alle anderen Knoten die jeweilige Knotenpunktgleichung aufstellt.
Bei einem konkreten Beispiel könnte man Dir deutlich machen, was damit gemeint ist.
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 23. Nov 2013 16:40 Titel: Netzwerkbild |
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Hier das Netzwerkbild.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 23. Nov 2013 17:03 Titel: |
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Es geht zwar auch ohne, aber für eine bessere Erklärung ist es sinnvoll, alle Zweigströme einzutragen, z.B.
IR1 von unten nach oben
IR2 von unten nach oben
IR4 von oben nach unten
IR5=IR6 von unten nach oben
IR3 hast Du schon von links nach rechts eingetragen.
Die Richtungswahl ist vollkommen gleichgültig. Die einmal gewähllte Richtung muss dann aber bei der Aufstellung der Knotenpunktgleichung beibehalten werden.
Jetzt stell' mal die Knotenpunktgleichung für die beiden Knoten B und C auf.
Im nächsten Schritt überlegst Du Dir, wie Du jeden Zweigstrom durch die Potentiale der den Zweig begrenzenden Knoten ausdrücken kannst. Dazu definierst Du das Potential des Knotens A sinnvollerweise zu Null.
Ich muss jetzt weg, bin erst am (sehr) späten Abend wieder zurück. Du kannst aber schon mal anfangen. Außerdem gibt es ja noch mehr Hilfswillige hier im Forum.
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 23. Nov 2013 17:36 Titel: Knoten B und C |
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Ich habe jetzt:
B: -I_q3 + I_R3 + I_R4 + I_R5 = 0
C: I_R2 - I_R4 -I_R6 = 0
Ob das nun richtig ist, ist fraglich und wie man Potentiale aufstellt, weiß ich nicht. :/ Ich bin in Elektrotechnik nicht so gut.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2013 01:37 Titel: |
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Die Knotengleichung für den Knoten C stimmt nicht. Es fehlen IR1 und Iq2. Außerdem stimmen die Vorzeichen nicht. Im Übrigen werden beim Knotenspannungsverfahren aus Gründen, auf die wir vielleicht später noch eingehen können, die vom Knoten wegfließenden Ströme positiv, die zufließenden Ströme negativ gezählt. Mathematisch bedeutet das lediglich eine Multiplikation der ganzen Gleichung mit -1, was die Richtigkeit der Gleichung ja nicht verändert.
Die Knotengleichungen lauten deshalb
Knoten B:
Knoten C:
Kanst du das bis hierher nachvollziehen?
| Charlie1129 hat Folgendes geschrieben: | | ... wie man Potentiale aufstellt, weiß ich nicht ... |
Du sollst keine Potentiale aufstellen, sondern die Potentiale der Knoten zunächst nur benennen. Das Aufstellen der Gleichungen und daraus die Berechnung der Knotenpotentiale (Knotenspannungen) kommt ja erst noch. Ich bin gerade dabei, Dir das Schritt für Schritt zu erklären. Du musst jeden Schritt aber auch mitgehen. Dazu brauche ich Dein feedback.
Knoten A hat als Bezugsknoten das Potential 
Knoten B hat das Potential 
Knoten C hat das Potential 
Das heißt nichts anderes, als dass die Spannung zwischen Knoten B und A
Manche schreiben deshalb anstelle von auch einfach nur UB und lassen dabei aus Bequemlichkeitsgründen den zweiten Index A weg, denn die Bezeichnung UB ist eindeutig: Damit ist die Spannung zwischen Knoten B und dem Nullknoten gemeint.
Entsprechend ist die Spannung zwischen Knoten C und Knoten A
Wichtig ist auch die Spannung zwischen Knoten B und C, nämlich
Manche Leute verlieren ihre Scheu (wie du sie offenbar auch hast) vor den Potentialen, wenn sie stattdessen die Spannungen aufschreiben. Sie bezeichnen dieses Berechnungsverfahren dann auch nicht Knotenpotentialverfahren, sondern Knotenspannungsverfahren.
Es erleichtert die weitere Erklärung, wenn du diese drei Spannungspfeile in das Schaltbild einzeichnest. Denn jetzt kannst Du für jeden einzelnen Zweig den Zweigstrom mit Hilfe des Maschensatzes und des ohmschen Gesetzes durch die vorgegebenen Größen und die Knotenspannungen ausdrücken.
Beispiel Zweig 1:
Der Maschensatz liefert
Versuche, das auch mal für die anderen Zweige genauso zu machen, also IR2=..., IR3=... usw.
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 24. Nov 2013 11:34 Titel: Danke |
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Cool dankeschön.
Wenn ich jetzt B oder C als Bezugsknoten hätte, dann müsste ich das Selbe für B oder C machen oder?
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2013 12:05 Titel: |
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Na ja, swenn Du B als Bezugsknoten wählst, musst Du die Knotenpunktgleichungen für Knoten A und C aufstellen; wenn Du C als Bezugsknoten wählst, musst du die Knotengleichungen für Knoten A und B aufstellen.
Aber noch sind wir nicht so weit. Ziel ist ja, die jeweilige Knotengleichung mit Hilfe der Knotenpotentiale aufzustellen. Bist Du interessiert, daran weiter zu arbeiten?
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 24. Nov 2013 12:11 Titel: Gerne |
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Ja gerne.
Ich verstehe in der Vorlesung nämlich nicht genau, was der Prof da erzählt.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2013 12:15 Titel: |
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Ok. Dann versuche mal selber, die Ströme in den anderen Zweigen so auszudrücken, wie ich das für den Strom im Zweig 1 gemacht habe.
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 24. Nov 2013 12:29 Titel: ... |
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Ich habs mal versucht. Allerdings kann ich das mit dem Potential U_c und in der ersten Gleichung für den Strom I_R1 nicht nachvollziehen.
Ich habe jetzt nämlich
I_R2 * R_2 - U_q1 = 0
I_R2 = U_q1 / R_2 :/
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2013 12:43 Titel: |
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Und wo hast Du den Spannungspfeil UC berücksichtigt, von dem ich Dir geraten hatte, ihn von C nach A einzuzeichnen?
| Beschreibung: |
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 24. Nov 2013 13:11 Titel: Also |
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ist es
I_R2 = U_q1 - Uc / R_2
Und I_R3 = - U_b / R_3
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2013 13:23 Titel: |
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Nein. Schau mal genau hin! Die Spannung Uc fällt über dem Widerstand R2 ab. Nach ohmschem Gesetz ist
IR3 hast du richtig bestimmt. Fehlen noch IR4 und IR5.
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 24. Nov 2013 13:27 Titel: Muss ich... |
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…bei I_R5 auf Reihen- und Parallelschaltung der Widerstände R_4, R_5, R_6 achten?
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2013 13:56 Titel: Re: Muss ich... |
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| Charlie1129 hat Folgendes geschrieben: | | …bei I_R5 auf Reihen- und Parallelschaltung der Widerstände R_4, R_5, R_6 achten? |
Warum denn? Du sollst jeden Zweig einzeln betrachten. Dafür haben wir doch extra den Knoten die entsprechenden Potentiale (Spannungen) zugewiesen. Erinnere Dich daran, was ich bereits gesagt habe:
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Es erleichtert die weitere Erklärung, wenn du diese drei Spannungspfeile in das Schaltbild einzeichnest. Denn jetzt kannst Du für jeden einzelnen Zweig den Zweigstrom mit Hilfe des Maschensatzes und des ohmschen Gesetzes durch die vorgegebenen Größen und die Knotenspannungen ausdrücken. |
Also einfach den Maschensatz anwenden:
Zusammenfassen:
=U_{q4}-U_{BC})
Da UBC=UB-UC, folgt
=U_{q4}-U_B+U_C)
Nach IR5 auflösen:
Und jetzt IR4. Das ist einfach. Mach mal.
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 24. Nov 2013 14:35 Titel: Och Mann.. |
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Ich verstehe das jetzt schon ein bisschen besser.
Aber ich könnte jetzt das mit den Potentialen nicht machen, wenn mein Bezugsknoten von Anfang an C gewesen wäre. Da ändert sich ja dann ein bisschen was.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2013 14:56 Titel: |
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Ja, da ändert sich was, aber nicht im Ergebnis. Sei nicht so ungeduldig. Wir haben ja noch nicht einmal das Gleichungssystem mit Bezugsknoten A endgültig aufgestellt. Erst wenn wir das haben, werden wir eine gewisse Systematik darin erkennen und können dann das Gleichungssystem auch für jeden anderen Bezugsknoten schnell aufstellen.
Zunächst fehlt noch IR4. Wie kannst Du IR4 mit Hilfe der Knotenspannungen (Knotenpotentiale) ausdrücken?
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2013 15:08 Titel: |
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Muss wieder weg und bin erst am späten Abend zurück.
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Charlie1129
Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 23
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| Charlie1129 Verfasst am: 24. Nov 2013 15:16 Titel: ... |
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Ich hätte das jetzt einfach so gemacht.
-I_R4 * R_4 + U_BC = 0
Oder φB - φC = 0
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 25. Nov 2013 01:30 Titel: |
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Ohmsches Gesetz. I=U/R, hier also
Deine erste Antwort war also im Prinzip richtig. Du hättest nur noch nach IR4 umstellen und UBC durch die Einzelspannungen (Potentiale) ausdrücken müssen.
Aber wie Du hierauf kommst
| Charlie1129 hat Folgendes geschrieben: | | Oder φB - φC = 0 |
ist schleierhaft.
So, jetzt lass uns mal zusammenfassen, was wir bisher herausbekommen haben:
An dieser Stelle siehst Du, wozu Du die Knotenspannungen überhaupt brauchst, nämlich um die fünf Zweigströme berechnen zu können. Der nächste Schritt ist also, die beiden unbekannten Knotenspannungen UB und UC zu bestimmen.
Dazu setzt Du diese Ströme in die Knotengleichungen für die Knoten B und C ein. Tu das mal, ordne nach Knotenspannungen und bring die eingeprägten Größen auf die rechte Seite der Gleichung. Dann erhältst Du
Knoten B:
-U_C\cdot\left(\frac{1}{R4}+\frac{1}{R_5+R_6}\right)=I_{q3}+U_{q4}\cdot\frac{1}{R_5+R_6})
Im Allgemeinen werden zum Ersparen der vielen Bruchstriche statt der Kehrwerte der Widerstände die Leitwerte hingeschrieben.
Knoten B
-U_C\cdot (G_4+G_{56})=I_{q3}+U_{q4}\cdot G_{56})
Knoten C
+U_C\cdot (G_1+G_2+G_4+G_{56})=I_{q2}-U_{q1}\cdot G_1-U_{q4}\cdot G_{56})
Kannst Du das bis hierher nachvollziehen? Falls nicht, frage nach!
Jedenfalls ist das Ziel erreicht, welches ja lautete, für das gegebene Netzwerk das Gleichungssystem mit Knoten A als Bezugsknoten aufzustellen.
Über die Systematik in diesem Gleichungssystem und die Bedeutung seiner einzelnen Terme können wir uns unterhalten, sobald Du anzeigst, dass Du bis hierher folgen konntest.
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