Kegelstumpf - elektrische Widerstand

McFleu · Gast

Meine Frage:
Guten Nachmittag. Sitze gerade an einer Aufgabe:

Gegeben sei ein gerader Kreiskegelstumpf mit den Radien

und

, sowie der Höhe

aus einem Material mit dem spezi?schen Widerstand

. Wie groß ist der elektrische Widerstand zwischen den beiden Kreis?ächen?

Meine Ideen:
Mich verwundet, dass wir gar nicht gegeben haben, also weder Spannung, noch die Stromstärke. Daher tue ich mich schwer da irgendwie anzusetzen. Jedoch kann man den ohmschen Widerstand eines Körpers mittels seinen geometrischen Abmessungen und einer materialspezifischen Konstante, dem spezifischen Widerstand

, berechnen.
Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche

und der Länge [/latex]l[/latex] gilt:

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig, aber das ist jetzt am Rande erwähnt. Kann mir jemand nen Tipp geben? Danke sehr.

McFleury · Anmeldungsdatum: 29.04.2013 Beiträge: 49

Guten Nachmittag. Sitze gerade an einer Aufgabe:

Gegeben sei ein gerader Kreiskegelstumpf mit den Radien

und

, sowie der Höhe

aus einem Material mit dem spezi?schen Widerstand

. Wie groß ist der elektrische Widerstand zwischen den beiden Kreisflächen?

Meine Ideen:
Mich verwundet, dass wir gar nicht gegeben haben, also weder Spannung, noch die Stromstärke. Daher tue ich mich schwer da irgendwie anzusetzen. Jedoch kann man den ohmschen Widerstand eines Körpers mittels seinen geometrischen Abmessungen und einer materialspezifischen Konstante, dem spezifischen Widerstand

, berechnen.
Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche

und der Länge

gilt:

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig, aber das ist jetzt am Rande erwähnt. Kann mir jemand nen Tipp geben? Danke sehr.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Denke Dir den Kegelstumpf aus ganz vielen infinitesimal dünnen übereinandergeschicheten Kreisscheiben vor, bestimme den ininitesimal kleinen Widerstand einer Kreisscheibe in allgeiner Form und addiere alle Widerstände. Die Addition infinitesimal kleiner Elemente nennt man Integration. Damit erhältst Du eine gut brauchbare Näherungslösung. Ganz genau ist sie nicht, da Du bei dieser Vorgehensweise davon ausgehst, dass die Kreischeiben senkrecht vom Strom durchflossen werden, was in Wirklichkeit nicht stimmt.

McFleury · Anmeldungsdatum: 29.04.2013 Beiträge: 49

Danke für deine Antwort. D.h. ich integriere in Zylinderkoordinaten mit

Nur was ist jetzt genau was? grübelnd

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

McFleury · Anmeldungsdatum: 29.04.2013 Beiträge: 49

Nach x durchgelesenen malen verstehe ich den Kern der Aufgabe immer noch nicht Wie bzw. wo ist der Widerstand angebracht? Der Kegelstumpf hat doch 3 Dimensionen, wieso integrieren wir nur in y? Bzw. anders: Die Grundfläche und die Fläche darüber sind doch verschieden. Die Integration verstehe ich einfach nicht.

McFleury · Anmeldungsdatum: 29.04.2013 Beiträge: 49

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Nein, bestimme zunächst r als Funktion von y (y ist die Richtung senkrecht nach oben). Zeichne Dir dazu einen Längsschnitt durch den Kegel entlang seiner Rotationsachse (s. Skizze). Dann beschreibe den Verlauf der Seitenlinie als Funktion. Du kannst das ja zunächst als y=f(r) machen (das bist Du vielleicht eher gewöhnt) und löst dann nach r=f(y) auf

Da wirst Du Folgendes herausbekommen:

Das setzt Du nun in die Gleichung für den infinitesimal kleinen Widerstand einer Kreisscheibe mit Radius r an der Stelle y ein:

Du kannst hier sehr schön überprüfen, ob das richtig ist. An der Stelle y1=0 ergibt sich der Widerstand der alleruntersten Kreisscheibe mit Fläche pi*r1² und Dicke dy als

.

An der Stelle y2=h ergibt sich der Widerstand der allerobersten Kreischeibe mit Fläche pi*r2² und Dicke dy

.

Und nun addierst Du die Widerstände aller Kreischeiben von y1=0 bis y2=h

Kriegst Du das hin?

McFleury · Anmeldungsdatum: 29.04.2013 Beiträge: 49

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

r=f(y) könnte man auch direkt aus der Skizze ablesen. Da das aber ungewohnt ist und Du nur Funktionen der Form y=f(x) bzw. hier y=f(r) kennst, hatte ich vorgeschlagen zunächst die Funktion der Kegellinie y=f(r) zu bestimmen. Das machst Du mit der Ordinatenabschnittsform, wobei der Ordinatenabschnitt der Schnittpunkt der Kegellinie mit der y-Achse ist:

bzw. für diesen Fall

Dabei ist m die Steigung der Kegellinie (hier negativ)

Den Ordinatenabschnitt n nenne ich hier mal H, da er die Höhe des kompletten Kegels darstellt. Er ergibt sich aus dem gleichen Verhältnis entsprechender Seiten ähnlicher Dreiecke (manchen nennen das auch Strahlensatz oder sowas).

Eingesetzt in die Geradengleichung

ergibt sich

Nach r auflösen kannst Du alleine?

Zur Lösung des Integrals. Hier hilft die Substitution

(Du erkennst natürlich sofort (oder nicht?), dass es sich hier um die Geradengleichung r=f(y) handelt, die man als Geübter direkt aus der Skizze hätte ablesen können.)

Denke daran, dass Du die Grenzen für y in die Grenzen für z umwandeln musst:

usw.

McFleury · Anmeldungsdatum: 29.04.2013 Beiträge: 49

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Für ähnliche Dreiecke (rotes und blaues Dreieck) gilt, dass sich entsprechende Seiten gleich verhalten. Also senkrechte zu waagrechte Kathete (rot) ist gleich senkrechte zu waagrechte Kathete (blau).