Generalisierte Kraft

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

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Wieso sind die Komponenten des Gradienten die einfachen partiellen Ableitungen nach den generalisierten Koordinaten?

Ich mein je nach gewähltem Koordinatensystem ergibt sich ja eigentlich eine andere Darstellung des Gradienten(siehe etwa Kugelkoordinaten vs karthesische)?!
Oder ist die Ableitung verallgemeinert gemeint, so dass nach Wahl eines konkreten Koordinatensystems die Ableitung nach den q_j bestimmt werden muss?(wobei das ja eigentlich bedeuten würde, dass q_j nicht unabhängig von den anderen Koordinaten ist)

Oder "symbolisch" zu verstehen?

Namenloser324 · Gast

Ich erkläre mir das jetzt so, dass die verschiedenen Gradientendarstellungen daraus resultieren, dass sie eben bezogen auf kartesische Koordinaten dargestellt sind.
Für die generalisierten Koordinaten wählt man dann aber natürlich das von ihnen aufgespannte Koordinantensystem, was dann natürlich die "einfachere" Form mit den jeweiligen partiellen Ableitungen im Gradient aufweist.

Müsste richtig sein, oder?

Namenloser324 · Gast

Weiß es wirklich niemand?
Kann ich mir nicht vorstellen Zunge raus

Steht so ja in jedem Physikbuch soweit ich weiss

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Ich verstehe die Frage bzw. das Problem nicht. Falls noch eine Antwort gebraucht wird:

Was meinst du mit der Aussage "Wieso sind die Komponenten des Gradienten die einfachen partiellen Ableitungen nach den generalisierten Koordinaten?" ?

Auf welche Formel beziehst du dich ? Woran hängst du dich auf?

Der Ausschnitt aus dem Nolting (?), der im Eingangspost verlinkt ist, geht in keinem Schritt von einer konkreten Darstellung etwa in kartesischen Koordinaten aus.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087

Man muss unterscheiden zwischen dem Gradienten als Vektor sowie einfach den partiellen Ableitungen als Einzelkomponenten.

Es gilt

Da es im Falle der Euler-Lagrange-Gleichungen um ein Extremum geht ist die Betrachtung von

ausreichend.