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Linker
Gast
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 Linker Verfasst am: 05. Apr 2013 19:31 Titel: Berechnung von Feynmandiagrammen [Ich verstehe die .. nicht] |
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Meine Frage:
Hallo,
man kann in der Quantenfeldtheorie die Streuamplitude eines gegebenen Feynman-Diagramms berechnen. Dabei werden aber noch so komplizierte Konstruktionen wie One-Loop-Beiträge oder Selbstenergie herangezogen.
Die One-Loop-Beiträge können auch zu mathematisch unsinnigen Resultaten führen (UV- und IR-Divergenzen). Damit ist auch z.B. die Existenz einer renormierbaren Quantengravitation nicht möglich.
Was heißt eigentlich im mathematischen Sinne renormierbar???
Wozu braucht man unbedingt die Loop-Beiträge und wann setzt man sie ein?
Meine Ideen:
Die Loop-Beiträge stellen die unbestreitbar existenten Vakuumfluktuationen dar. Es kann aufgrund dieser Beiträge zu mathematischen Divergenzen führen, wobei ich nicht verstehe, wie diese Divergenzen zustande kommen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 05. Apr 2013 20:11 Titel: Re: Ich verstehe die Berechnung von Feynmandiagrammen nicht |
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| Linker hat Folgendes geschrieben: | | man kann in der Quantenfeldtheorie die Streuamplitude eines gegebenen Feynman-Diagramms berechnen. Dabei werden aber noch so komplizierte Konstruktionen wie One-Loop-Beiträge oder Selbstenergie herangezogen. |
Richtig. Und natürlich auch n-Loop-Beiträge.
Wichtig was du sagst: Streuamplituden! Feynmandiagramme entsprechend der Störungstheorie sind nicht in allen Fällen anwendbar (z.B. nicht für strong-coupling) und sind ledigliche eine spezielle, keineswegs universelle Rechenmethode
| Linker hat Folgendes geschrieben: | | Die One-Loop-Beiträge können auch zu mathematisch unsinnigen Resultaten führen (UV- und IR-Divergenzen). |
Ja. Aber in renormierbaren Theorien kann man die Divergenzen sinnvoll regularisieren und die Theorie wird bis in beliebige Ordnung endlich.
| Linker hat Folgendes geschrieben: | | Damit ist auch z.B. die Existenz einer renormierbaren Quantengravitation nicht möglich. |
Präzisierung: Damit ist auch z.B. die Existenz einer perturbativ renormierbaren Quantengravitation nicht möglich.
Stell dir vor, du möchtest das Verhalten der Funktion f(z) = 1/(1-z) für kleine zu in eine Taylorreihe entwickeln und daraus das Verhalten für große z ableiten. Das funktioniert aufgrund der Singlarität bei z=1 nicht. Daraus folgt jedoch nicht, dass f(z) an sich nicht existiert.
Tatsache ist, dass man heute mehrere Ansätze für eine nicht-störungstheoretische Quantengravitation kennt (neben der maximalen N=8 SUGRA, von der die störungstheoretische Renormierbarkeit vermutet wird). Z.B. sollte die Loop Quantum Gravity vollständig ohne Feynmandiagramme auskommen, und daher sollten die o.g. Probleme irrelevant sein.
In diesem Kontext ist Weinbergs Idee der sog. Asymptotic Safety interessant. Dabei handelt es sich um eine Erweiterung der Asymptotic Freedom, die im Rahmen der QCD beweisbar ist. Letztere bedeutet, dass die Wechselwirkungsstärke bei hohen Energien gegen Null geht, die Theorie also gegen die freie Theorie konvergiert. Dies ist eine notwendige Bedingung dafür, dass die Störungsentwicklung in der Kopplungskonstanten um den Wert Null sinnvoll ist. Weinberg vermutete nun, dass die Kopplungskonsten der Quantengravitation zwar nicht gegen Null, aber doch gegen einen endlichen Wert konvergieren. Damit ist die Entwicklung um den sog. Gaußschen Fixpunkt bei Null sinnlos, jedoch bei endlicher Kopplungsstärke wohldefiniert. Es gibt inzwischen gute Hinweise, dass geeignete Näherungen der quantisierten ART sowie verwandter Theorien diese Eigenschaft aufweisen.
| Linker hat Folgendes geschrieben: | Was heißt eigentlich im mathematischen Sinne renormierbar???
Wozu braucht man unbedingt die Loop-Beiträge und wann setzt man sie ein? |
Die Loop-Beiträge sind keine künstliche Zutat, sondern integraler Bestandteil. So wie die einzelnen Terme einer Taylorreihe integraler Bestandteil der Reihe sind.
Welche Vorkenntnisse in theoretischer Physik und Mathematik hast du?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Linker
Gast
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| Linker Verfasst am: 05. Apr 2013 22:00 Titel: |
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Vielen Dank für den Beitrag! 
Also ich habe schon Kenntnisse in Quantenfeldtheorie.
2.Quantisierung, relativistische Quantenmechanik und so kenne ich. Ich weiß auch was Feynmanpropagatoren sind. Nur sind die Ausdrücke, die in der Literatur bei der Berechnung von Feynmandiagrammen so kompliziert, dass ich da nicht durchblicken kann.
Folglich weiß ich auch nicht so genau, was bei einer Quantengravitationstheorie physikalisch-theoretisch nicht machbar ist (vor allem: woher es genau kommt dass sie nicht renormierbar sind).
Die Renormierungs(gruppen)theorie verstehe ich nicht. Könnte jemand mir das erklären, wie sie funktioniert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2013 01:07 Titel: |
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| Linker hat Folgendes geschrieben: | | Nur sind die Ausdrücke, die in der Literatur bei der Berechnung von Feynmandiagrammen so kompliziert, dass ich da nicht durchblicken kann. |
Das ging mir auch so.
| Linker hat Folgendes geschrieben: | | Folglich weiß ich auch nicht so genau, was bei einer Quantengravitationstheorie physikalisch-theoretisch nicht machbar ist (vor allem: woher es genau kommt dass sie nicht renormierbar sind). |
Das Problem ist u.a. die dimensionsbehaftete Kopplungskonstante. Je Ordnung entstehen Divergenzen. Diese werden durch Einführung neuer Terme (Counter-Terme) absorbiert. Im Falle störungstheoretisch renormierbarer Theorien kann man zeigen, dass ab einer endlichen Ordnung keine neuen Terme mehr entstehen, d.h. dass höhere Ordnungen zwar den numerischen Wert der Koeffizienten der Terme ändern, jedoch die Theorie strukturell unverändert bleibt. Andernfalls (ART, chirale Störungstheorie, ...) müssen zur Absorption neuer Divergenzen höherer Ordnung strukturell immer neue Terme eingeführt werden, d.h. zur Festlegung der Theorie sind prinzipiell unendlich viele Terme experimentell festzulegen.
Bsp. ART: at tree level hat sie nur eine Term p(R) = R wobei der Ricci-Skalar R für bestimmte Potenzen der Metrik g und deren Ableitungen steht. p(R) steht also für ein Polynom in g und d. Durch die Regularisierung entstehen nun Ordnung für Ordnung neue Counter-Terme, d.h. neue Polynome p,q,r,... in g und d, jeweils mit eigene Kopplungskonstanten. Und damit verliert die Theorie ihr Vorhersagekraft.
Die Rechnungen habe ich selbst nie durchgeführt, denn störungstheoretische QG + Materiefelder at two-loops ist sicher eine Strafe (Din A3 quer, ganz viele Blätter, ganz spitzer Bleistift, und ein guter Kollege der alles nachrechnet) oder natürlich ein Computeralgebrasystem.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Linker
Gast
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| Linker Verfasst am: 06. Apr 2013 13:35 Titel: |
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Dankeschön!
Wo wird gut erklärt, wie Renormierung und Renormierbarkeit funktioniert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2013 13:51 Titel: |
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Du meinst ein Buch über QFT? Oder die Renormierungsgruppe im Ortsraum wie in der statistischen Mechanik? (ohne den Trick mit Unendlichkeiten, alles wohldefiniert).
Ryder ist sicher empfehlenswert.
Weinberg ist die Bibel, aber evtl. nichts zum Selbststudium
Srednicki gibts kostenlos hier http://web.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html
Ich kenne keinen wirklich guten, nicht-technischen Artikel dazu. Ich denke, eine einfache skalare Feldtheorie sollte reichen, um das Grundprinzip zu verstehen.
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Linker
Gast
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| Linker Verfasst am: 06. Apr 2013 19:10 Titel: |
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Vielen Dank!
Jetzt weiß ich, was Renormierung ist und wie sie funktioniert. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 06. Apr 2013 19:24 Titel: |
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Das ging ja schnell  |
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