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Physiker1234
Anmeldungsdatum: 10.02.2013
Beiträge: 15
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 Physiker1234 Verfasst am: 10. Feb 2013 14:17 Titel: Heisenbergsche Unschärferelation Gleichung (math) verstehen. |
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Hallo,
die Heisenbergsche Unschärferelation wird angegeben durch  .
Die physikalische Interpretation lautet dann: Impuls und Ort eines Quantenteilchens sind nicht gleichzeitig schaft messbar.
Das ist (für mich) verständlich und ich kann mir darunter was vorstellen. Aber ich frage mich, warum das mathematisch auch so ist, bzw. wie hat man das genau zu verstehen:
Es heißt außerdem "als Maß für die Unbestimmtheit" wählt man ^2>}) wobei <> für den Erwartungswert steht.
Angenommen nun, mein Quantensystem ist in einem Zustand  . Dann sind die Erwartungswerte <x> und <p> genau festgelegt.
Wenn nun x und p gemessen werden (ich hoffe damit sind überhaupt die Messergebnisse gemeint), so besagt die Gleichung doch qualitativ nur, dass die
Abweichungen der Messwerte x und p von den Erwartungswerten <x> und <p> größer Null sind.
Aber das sind doch nur Erwartungswerte und nicht die expliziten scharfen Werte, die für unser Quantensystem gelten.
Ich hoffe es wurde klar, was ich genau meine hier und Ihr könnt mir weiterhelfen. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 10. Feb 2013 14:23 Titel: Re: Heisenbergsche Unschärferelation Gleichung (math) verste |
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| Physiker1234 hat Folgendes geschrieben: | [...]
Es heißt außerdem "als Maß für die Unbestimmtheit" wählt man wobei <> für den Erwartungswert steht.[...] |
Das ist die Wurzel der quadratischen Abweichung (Varianz). Dieser ist immer positiv gewählt. Man schreibt dann für das Ergebnis
 Grenzen für die Genauigkeit an. Wenn der Fehler für x groß ist, kann der Fehler für p klein werden vice versa. |
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Physiker1234
Anmeldungsdatum: 10.02.2013
Beiträge: 15
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| Physiker1234 Verfasst am: 10. Feb 2013 14:32 Titel: |
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Also ist das x in obiger Gleichung gar nicht  ?
Wofür steht dann das x unter der Wurzel? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 10. Feb 2013 14:42 Titel: Re: Heisenbergsche Unschärferelation Gleichung (math) verste |
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| Physiker1234 hat Folgendes geschrieben: | Die physikalische Interpretation lautet dann: Impuls und Ort eines Quantenteilchens sind nicht gleichzeitig schaft messbar.
...
Aber das sind doch nur Erwartungswerte und nicht die expliziten scharfen Werte, die für unser Quantensystem gelten. |
Das ist die oft verwendete aber leider falsche Interpretation! Die korrekte Interpretation lautet, dass für Ort und Impuls nicht gleichzeitig scharf definierte Werte existieren können - unabhängig davon, ob sie gemessen werden oder nicht. Es gibt als keine "explizit scharfen Werte", und die Unschärfe stammt nicht erst aus einer Messung.
Die Heisenbergsche Unschärfenrelation folgt aus dem Formalismus der Quantenmechanik (konkret: der Geometrie des Hilbertraumes sowie den speziellen Eigenschaften von Ort und Impuls, alternativ aus den analogen Eigenschaften der Fouriertransformation) ohne überhaupt eine Messung zu betrachten.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Physiker1234
Anmeldungsdatum: 10.02.2013
Beiträge: 15
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| Physiker1234 Verfasst am: 10. Feb 2013 14:45 Titel: |
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Danke TomS. Das wusste ich nicht. Also hat obere Gleichung erst einmal nichts mit messwerten zu tun nehmen ich an.
Eine Frage bleibt dann noch: Wofür steht dann das x bzw. p unter der Wurzel? Gibt es dafür eine physikalische und/oder mathematische Bedeutung? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 10. Feb 2013 14:53 Titel: |
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Man muss den Ausdruck etwas umformen und erhält
^2\rangle = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2)
d.h. es handelt sich m die Erwartungswerte für x^2 sowie x, analog für p.
x und p stehen dabei zunächst für den Orts- sowie den Impulsoperator.
| Physiker1234 hat Folgendes geschrieben: | | Also hat obere Gleichung erst einmal nichts mit messwerten zu tun ... ? |
So ist das nicht. Der Erwartungswert <A> einer Observablen A (eines Operators, dem prinzipiell eine messbare Größe zugeordnet werden kann) in einem quantenmechanischen Zustand, entspricht schon dem Erwartungswert der Messwerte selbst. Allerdings benötigt man zur Herleitung eben nicht die Messung.
Und insbs. darf man nicht meinen, es gäbe gleichzeitig scharf definierte Werte für x und p, die erst durch die Messung unscharf würden. Die Unschärfe ist eine von der Messung unabhängige Eigenschaft der quantenmechanischen Zustände.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Physiker1234
Anmeldungsdatum: 10.02.2013
Beiträge: 15
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| Physiker1234 Verfasst am: 11. Feb 2013 07:38 Titel: |
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Ok, ich glaube ich habe es verstanden.
Noch eine kleine Nachfrage habe ich da noch. Sind folgende aussagen richtig?:
1)Scharf definierte Werte für eine Observable (z.B. Ort) sind genau die Eigenwerte des zugehörigen Operators.
2) Ein Zustand eines Systems, in welchem eine Observable einen scharfen Wert hat, sind immer Eigenfunktionen des Operators
Wenn das so stimmt, dann bedeutet doch nun "Es gibt keine schaften Werte für Impuls und Ort" einfach, dass der Impuls und Ortsoperator einfach keine gemeinsame Eigenfunktion (zum gleichen Eigenwert) besitzen.
Das stimmt ja auch und hat, wie du bereits sagtest, nichts mit dem Messprozess zu tun.
Soweit richtig?
Nun Frage ich mich aber immer noch, warum auch aus der Heisenbergschen Unschärferelation (also der Gleichung  folgt, dass p und x keine gemeinsame Eigenfunktion zum gleichen Eigenwert besitzen.
Viele Grüße |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 11. Feb 2013 07:52 Titel: |
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| Physiker1234 hat Folgendes geschrieben: |
1)Scharf definierte Werte für eine Observable (z.B. Ort) sind genau die Eigenwerte des zugehörigen Operators.
2) Ein Zustand eines Systems, in welchem eine Observable einen scharfen Wert hat, sind immer Eigenfunktionen des Operators
Wenn das so stimmt, dann bedeutet doch nun "Es gibt keine schaften Werte für Impuls und Ort" einfach, dass der Impuls und Ortsoperator einfach keine gemeinsame Eigenfunktion (zum gleichen Eigenwert) besitzen.
Das stimmt ja auch und hat, wie du bereits sagtest, nichts mit dem Messprozess zu tun.
Soweit richtig? |
Ja, das ist richtig.
| Physiker1234 hat Folgendes geschrieben: |
Nun Frage ich mich aber immer noch, warum auch aus der Heisenbergschen Unschärferelation (also der Gleichung folgt, dass p und x keine gemeinsame Eigenfunktion zum gleichen Eigenwert besitzen. |
Wenn einen Zustand gaebe der gleichzeitig ein Eigenzustand von x und p ist, dann ist für diesen offensichtlich die Heisenbergsche Unschärferelation nicht erfüllt, also kann es diesen Zustand nicht geben.
Ein nur klein wenig anderer Beweis wäre anzunehmen dass es diesen Zustand gäbe und zu sehen dass dies zu einem Widerspruch zu [x,p] !=0 steht. |
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