Isotropes Heisenbergmodell für Spins

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Hallo!

Meine Frage:

Der Hamiltonian des klassischen isotropen Heisenbergmodells für $N$ Spins ist

Bestimmen Sie für offene Randbedingungen die kanonische Zustandssumme Z des
eindimensionalen Modells. Beginnen Sie dabei bei einem Ende (N) und integrieren
Sie über die Freiheitsgrade des Spins. Fixieren Sie dabei die Polarachse des Koordi-
natensystems füur Sn durch die Richtung von Sn-1. Zeigen Sie, dass Z proportional
zu

ist.

Mein Ansatz:

Ich bin dieses Mal leider total ratlos und würde mich freuen, wenn ich etwas Hilfe
bekommen könnte.

Grüße!

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Der beste Ansatz um etwas auszurechnen ist erst mal den gesuchten Ausdruck hin und auszuschreiben. Wie lautet also die Zustandssumme?

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Leider weiß ich aber nicht, welche Form ich benutzen soll. Kanonisch steht ja
da, aber verwende ich die kanonische Zustandssumme

oder das kanonische Zustandsintegral

?
Die Spins liegen natürlich diskret vor, daher wahrscheinlich die Zustandssumme,
aber ich nehme an, dass $N$ groß ist, daher vielleicht doch das Integral?

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Zunächst geht es um den Spin, d.h. Impuls und Ortskoordinaten (

,

) gibt es nicht. Der einzigen Freiheitsgrade sind die Spins deiner N Teilchen, welche dir dann auch den Phasenraum aufspannen. Und da in der Aufgabenstellung steht, dass es es sich um einen klassisches isotropes 1D-Modell des Spins handelt, kann

alle Werte zwischen

und

annehmen, entsprechend musst du bei der Zustandssumme integrieren, also

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Entschuldige bitte die verspätete Antwort. Ich verstehe aber immer noch
nicht, wie man einerseits von einem 'klassischen' Modell reden kann, an-
dererseits aber Spins betrachtet, welche ja ein rein quantenmechanisches
Phänomen darstellen. Es erscheint mir ziemlich suspekt, dass Spins jeden
Wert von -1 bis 1 annehmen können ...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18094

Es handelt sich um eine "klassische Näherung", nicht um das quantenmechanische Heisenbergmodell; man führt eben klassische Variablen S ein, keine Spinoperatoren. Man verwendet insbs. keine Paulimatrizen (o.ä.) sowie deren Vertauschungsrelationen für diese "Spins".

Siehe dazu
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_model_(classical)
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_model_(quantum)

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Danke. Der Link geht leider nicht. Aber: mir erscheint das alles immer noch
ziemlich komisch. Was für eine reelle Relevanz hat den ein solches Modell?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18094

Hab die Links korrigiert.

Verstehe ich dich richtig? Du möchtest wissen, unter welchen Umständen das klassische Modell eine gute Näherung ist bzw. wann nicht; kann ich dir leider nicht sagen.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Danke. Bezüglich der Lösung wird in diesem Modell auf das Potts-Modell
verwiesen, welches eine Verallgemeinerung des Ising-Modells darstellt.
Könnte mir biesbezüglich bitte jemand erklären, was das

in

bedeutet? Der Ausdruck sollte ja der Hamiltonian des Ising-Modells sein,
von Spins in einem Magnetfeld h mit Wechselwirkung J ...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18094

Der erste Term ist die Kopplung der Spins an das Magnetfeld, der zweite Term ist die nächste-Nachbar-WW.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Ja, schon klar, mir ging es aber um das

.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18094

Das wären wohl die Paulimatrizen. Aber was du da schreibst entspricht nicht dem Hamiltonian des Pottsmodells: http://en.wikipedia.org/wiki/Potts_model

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Nein, das ist der Hamiltonian des Ising-Modells, das Potts-Modell stellt eine
Verallgemeinerung dessen dar. Wir haben das aber nicht behandelt, son-
dern das Ising-Modell. Im Skript steht, dass man zur Vereinfachung nur die
Spin-Komponente nimmt, die in Richtung des äußeren Feldes \vec{h} = h \vec{e_z}
nimmt. Also s_z mit s_z = \pm 1/2. Historisch wurde dann definiert, dass
\sigma = 2s_z = \pm 1. Also keine Pauli-Matrizen, oder?!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18094

Im Isingmodell wird - wie du richtig sagst - nur die z-Komponente und dabei wiederum nur \pm 1 verwendet. Ohne Definition oder dein Skript kann ich auch nur raten.