Bahndrehimpulse, Spins

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Hallo,

vorab: das soll KEINE AUFGABENERLEDIGUNG werden. Ich will Hilfe, damit ich das Thema verstehe.

Das zu behandelnde Thema lautet Bahndrehimpulse: Singlet und Triplet Zustände. Wir haben zwei
Drehimpulse, j_1 und j_2, und koppeln diese zu einem Gesamtdrehimpuls J mit J = j_1 + j_2.
Dabei erscheinen die Quantenzahlen J, M_J, j_1, m_1 und j_2, m_2. Im Produktzustand
|j_1 m_1 ; j_2 m_2> kennen wir j_1, m_1, j_2, m_2 und M_J = m_1 + m_2, wissen i.A. aber
nichts über den Gesamtdrehimpuls J. Andererseits können wir den gemeinsamen Eigenzustand
|j_1 j_2 ; J M_J> definieren (abgekürtzt: |J M_J>). Für diesen Zustand können wir die
Quantenzahlen J, M_J, j_1, j_2 angeben, wissen aber i.A. nichts über m_1, m_2. Dieser Umstand
drückt sich in den folgenden Kommutatorbeziehungen aus, wobei i = 1, 2:
http://s1.directupload.net/images/110710/s9d5ax39.jpg

Im Folgenden betrachten wir die Kopplung der Spins zweier Elektronen zu einem Gesamtspin
S mit S = s_1 + s_2. Unser Zeil ist es zu verstehen, welche Zustände des Gesamtdrehimpulses,
|S M_S>, wir bilden können. Wir verwenden die Notation a_i und b_i, wobei i = 1, 2, um die
Produktzustände mit den Eigenwerten s_i,z |s_i, m_i,s> = +- (1/2)*hquer |s_i, m_i,s>
abgekürtzt zu schreiben, nämlich s_i,z |a_i> = + (1/2)*hquer |a_i> und
s_i,z |b_i> = - (1/2)*hquer |b_i>. Die orthonomale Basis von Produktzuständen für zwei
Spin- (1/2)- Teilchen ist damit {|a_1 a_2>, |a_1 b_2>, |b_1 a_2>, |b_1 b_2>}.

Im Grunde handelt es sich hierbei um eine Spin- Spin- Koppelung, aber leider finde ich in der mir
zur Verfügung stehenden Literatur nichts dazu. Wie stelle ich denn die in den Fragen verlangten
Matrizen überhaupt auf? Ich habe leider nicht einmal einen Ansatz, sonst würde ich ihn definitiv preisgeben.

Frage 1:

Berechnen Sie die Matrix des Operators S_z = s_1,z + s_2,z in der Basis der
Produktzustände. Die Matrix bildet sich aus den Elementen
<s_1' m_1' ; s_2' m_2'| S_z |s_1 m_1 ; s_2 m_2>.

Frage 2:

Berechnen Sie die Matrix des Operators S² in der Basis der Produktzustände. Dazu müssen
wir die folgende Beziehung verwenden: http://s7.directupload.net/images/110710/oh7g3pbl.jpg

Frage 3:

Welche Produktzustände sind Eigenvektoren von S², welche sind nicht?

Frage 4:

Was können wir über die Bedeutung der Quantenzahlen S und M_S für die
vier Produktzustände sagen?

Frage 5:

Diagonalisieren Sie die S² - Matrix um die Eigenvektoren von |S M_S> zu
finden.

Frage 6:

Welche Quantenzahlen können wir für die Zustände |S M_S> angeben.

Nochmal: das soll KEINE AUFGABENERLEDIGUNG werden. Ich will Hilfe, damit ich das Thema verstehe.
Falls der Text zu unübersichtlich und die Formeln zu "unleserlich" geschrieben sind, bitte sagen.

Gruß.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Es muss was mit diesen Pauli- Matrizen zu tun haben. Ich komme dem
Thema näher, ich verstehe aber immer noch nicht, wie ich ansetzen kann.

Bei Wiki finde ich zu der Kopplung von Spin- 1/2- Teilchen das hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehimpulsoperator#Spin-Spin-Kopplung

Ich will nun also die z- Komponente des Gesamtspins S, also S_z, berechnen:
S_z = s_1,z + s_2,z
Für das Quadrat des Gesamtspins S, also S², habe ich gegeben:
S² = s²_1 + s²_2 + 2*s_1,z*s_2,z + (s_1,+*s_2,-) + (s_1,-*s_2,+)

Das ist eine Addition/Multiplikation von Matrizen, nur, wie sehen die denn aus?
In der Aufgabenstellung ist eine Formel gegeben zu:
s_i,z |s_i, m_i,s> = +- (1/2)*hquer |s_i, m_i,s>

Mit i = 1 lautet sie:
s_1,z |s_1, m_1,s> = +- (1/2)*hquer |s_1, m_1,s>

Mit i = 2 lautet sie:
s_2,z |s_2, m_2,s> = +- (1/2)*hquer |s_2, m_2,s>

Und was kann ich mir nun darunter vorstellen? Bitte, nur ein Tipp!

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Für deine Formeln, versuche doch bitte LaTeX zu benutzen, das liest sich einfach viel schneller.

Wenn du Lust hast, können wir das gerne gemeinsam aufdröseln. Es kann nur sein, dass das etwas länger dauert, weil ich nicht immer online sein kann (einen Post pro Tag bekommst du aber in jedem Fall), aber du musst ja auch das meiste selbst machen, von daher lernst du dann vllt. viel Augenzwinkern

.

Also zunächst zu den Matrizen insgesamt:
Der Hauptpunkt ist, dass du eine Basis gegeben hast, bzgl. der du ausdrücken möchtest. Nehmen wir also mal die Basis der Produkzustände. Das sind also nach deiner Notation Zustände der Form:

Dahinter verbirgt sich nach Definition der Tensorproduktzustand:

Okay, jetzt hast du eine Basis gegeben - z.B. die Tensorproduktbasis.
Diese Tensorprodukte da zu schreiben ist aber relativ langwierig. Lass uns auf folgende Notation einigen: Wichtig ist ja eigentlich nur das Vorzeichen von m, also lass uns die Zustände folgendermaßen umnennen:

Ich habe die schon einmal in eine Menge geschrieben, weil das ja jetzt unsere Basis ist (Tensorproduktbasis).
Jetzt hast du einen beliebigen Operator

gegeben.
Die Matrixelemente in der obigen Basis sind dann jetzt gegeben durch

.

Kommst du bis hierher klar? Im Grunde habe ich nur sauber wiederholt, was da oben steht.
Dann würde ich vorschlagen, dass du jetzt mal versuchst die Aufgabe 1 anzugehen, also die Matrix für den Operator

.
In deinem letzten Post hast du die Grundlagen selbst schon gelegt. Wenn du die Matrix ausgerechnet hast, dann können wir uns mal darüber unterhalten, was denn da jetzt eigentlich steht.

Gruß
MI

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Herzlichen Dank, dass Du mir helfen willst. Doch leider ist es nun zu spät. Ich habe nachher Übungsgruppe
und werde da wohl die Lösungen erfahren. Schade, denn eigentlich sieht es nicht schwer aus, sofern man
die Grundlagen verstanden hat, schätze ich. Ich hätte das Thema gerne selbst behandelt.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Ich schließe mal das neue Übungsblatt hier an, da die Themen sich doch sehr ähneln.
Ich hoffe auf eine aufschlussreiche Diskussion und freue mich über Ideen und Anregungen!

Zu behandeln ist das Thema "Drehimpulse: Feinstruktur, Hyperfeinstruktur". Der n = 3, l = 0,
m = 0 Zustand von Wasserstoff 1H wird durch die folgende Wellenfunktion beschrieben:
http://s7.directupload.net/images/110717/h43muij5.jpg G1
Der Zustand für n = 3, l = 2, m = 0 wird durch die folgende Wellenfunktion beschrieben:
http://s7.directupload.net/images/110717/82tyoynk.jpg G2
Dabei sind die Y_l,m natürlich die Kugelflächenfunktionen, die nur von den Winkeln abhängen,
und R_n,l die Radialfunktionen. Man nennt die oben genannten Zustände auch 3s- und 3d_z-
Orbital. In dieser Beschreibung sind allerdings die Spin- Bahn- Kopplung und der Kernspin
noch unberücksichtigt! Und nun wollen wir eben in der Folge diese Effekte berücksichtigen!

Frage 1:

Welche gute Quantenzahlen können wir für die Zustände G1, G2 in Abwesenheit von Spin-Effekten angeben?

Frage 2:

In Abwesenheit von Spin-Bahn Kopplung: Welche Eigenwerte haben die Operatoren L², S² für das Elektron in Zustand G2?

Frage 3:

Jetzt betrachten wir den Einfluss des Elektronenspins. Welche Gesamtdrehimpulszustände |n L S ; J M_J>
können wir für n = 3, l = 0 anschreiben? Welche für n = 3, l = 2? Wie ist die Entartung dieser Zustände?

Frage 4:

Welche Effekte könnten die Entartung dieser Zustände aufheben?

Frage 5:

Zeichnen Sie die Dreiecksregel J = L + S für die Zustände, die wir in Frage 3 für den Zustand G2 und n = 3, l = 2 entwickelt haben.

Frage 6:

Spin-Bahn Kopplung führt zu der Wechselwirkungsenergie http://s7.directupload.net/images/110717
/9omaxqyx.jpg Wir verwenden atomare Einheiten, um mit dieser Gleichung die Spin- Bahn- Aufspaltung
des 3d_z- Zustandes abzuschätzen. In atomaren Einheiten ist c = a^-1 = 137. Dann vergleichen wir diese
Aufspaltung mit der Energiedifferenz zwischen den Wasserstoff Zuständen n = 3 und n = 2 in Abwesenheit
relativistischer Effekte.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Gut, aber wie sieht es mit deinen Ansätzen aus? Zumindest zu Frage 1 und 2 müsstest du doch eigentlich ein paar eigene Ideen haben. Dann kann ich die gerne etwas ordnen und versuchen, die Hintergründe mit dir zu erarbeiten.

Gruß
MI

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Hallo und vielen Dank, dass Du mir helfen willst! In der tat habe ich Ansätze,
allerdings verschlafen diese zu posten, sry Schläfer

Nun, also:

Frage 1:

Ich habe mir erst einmal überlegen müssen, was mit "guten Quantenzahlen"
gemeint ist. Instinktiv dachte ich daran, dass er auf die Auswahlregeln (dl nicht 0)
und/oder die Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen (<Y_l,m|Y_l',m'> nicht 0
gdw l = l', m = m') hinaus wollte. Aber das war wohl falsch.

Frage 2:

Wendet man den Operator L² auf einen Zustand |n l m> an, also L²|n l m>, sind
doch hquer²*l*(l+1), oder nicht? Als "Formel": L²|n l m> = hquer²*l*(l+1)|n l m>
Bei S² bin ich eher ratlos, sollte aber ähnlich aussehen?!

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Okay, dann versuche ich mich mal:

Frage 1: Dass deine Ideen nicht ganz in die richtige Richtung gehen, würde ich auch so sehen, weil ja explizit nach den Quantenzahlen des Zustands gefragt ist - die Auswahlregeln sind aber für Übergänge gedacht.
So wirklich klar, was die jetzt genau sehen wollen, ist mir das auch nicht. Ich würde aber vermuten, dass die einfach nur die möglichen Quantenzahlen haben wollen, wenn man Spin-Bahn-Kopplung außer acht lässt.
z.B.: Für den Zustand G1 ist ja vorgegeben: n=3, l=0, m_l=0. Jetzt gibt's wohl noch zwei weitere Quantenzahlen s und m_s (ich würde "ohne Spineffekte" jetzt so interpretieren, dass der Spin da ist, mehr aber auch nicht), also haben wir noch s=1/2 und m_s=+- 1/2.
Soviel können wir ja ohne Spin-Bahn-Kopplung sagen.

Frage 2:
Ja, L und S sind beides Drehimpulsoperatoren. Wenn J={L,S}, dann gilt also:

Damit sind die Eigenwerte festgelegt.

Jezt geht's Richtung Fragen 3 und weiter. Spin-Bahn-Kopplung ist dabei aber auf Quantenzahlniveau tatsächlich nichts weiter als Addition der Drehimpulse. Da du das ja auf dem letzten Aufgabenblatt verstanden hast (wenn nicht, mein Angebot bleibt, dass wir das nochmal durchgehen Augenzwinkern

), müsstest du eigentlich zumindest einige Ansätze für die Fragen 3-5 hinbekommen.

Gruß
MI