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Grundzustand des H-Atoms
 
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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jul 2012 07:03    Titel: Grundzustand des H-Atoms Antworten mit Zitat

Hallo,

Meine Frage:

Betrachtet werden soll die Grundzustands-Wellenfunktion des H-Atoms:

, mit : Bohr'scher Radius.

Zunächst soll explizit überprüft werden, ob normiert ist.

Mein Ansatz:

Da fällt mir sofort die Norm.bed. ein, d.h., ich muss berechnen, ob:



Richtig?

Grüße!

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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 06. Jul 2012 07:07    Titel: Re: Grundzustand des H-Atoms Antworten mit Zitat

Nein, du musst berechnen, ob



ist

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jul 2012 08:46    Titel: Antworten mit Zitat

Klar, habe Bullshit geschrieben, sorry. Es war dann
wohl doch noch zu früh Augenzwinkern Ich meld mich nachher ...

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TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Jul 2012 10:30    Titel: Antworten mit Zitat

Klar, ich hab' (wieder ein Mal) Bullshit geschrieben ...



Ja, es ist also das zu berechenen, was Tom geschrieben
hat, allerdings kann ich das nicht einfach so hinschreiben,
muss das ja begründen können, wieso, warum, weshalb.
Ich meld' mich nachher noch ein Mal und vielen Dank ...

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 07. Jul 2012 08:55, insgesamt einmal bearbeitet
Rmn



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Beitrag Rmn Verfasst am: 06. Jul 2012 11:35    Titel: Antworten mit Zitat

Betragsquadrat ist immernoch nicht dasselbe, wie Skalarprodukt.
Du kennst die Zerlegung in Radial- und Winkelanteil nicht. Wenns dich interessiert is der Winkelanteil nicht 1, sondern Viel wichtiger ist aber, dass du es gar nicht brauchst, du hast dir damit nur ein unnötiges Problem ausgedacht.

Berechne einfach, was TomS geschrieben hat.

da gar nicht von oder abhängt.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jul 2012 08:56    Titel: Antworten mit Zitat

Klar, ich hab' (wieder ein Mal) Bullshit geschrieben ...



Ja, es ist also das zu berechenen, was Tom geschrieben
hat, allerdings kann ich das nicht einfach so hinschreiben,
muss das ja begründen können, wieso, warum, weshalb.
Ich meld' mich nachher noch ein Mal und vielen Dank ...

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 07. Jul 2012 09:00    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
... allerdings kann ich das nicht einfach so hinschreiben, muss das ja begründen können, wieso, ...

Was ich hingeschrieben habe ist die Norm für den Zustand 100 (das Normierungsintegral der entsprechenden Wellenfunktion). Es handelt sich um eine Definition, was willst du jetzt begründen?

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 17:26    Titel: Antworten mit Zitat



Das Integral habe ich versucht mittels



zu lösen, indem ich und
gesetzt habe, komme damit dann auf



was aber leider zusammen mit dem
Vorfaktor nicht 1 ergibt. Fehler?

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pressure



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Beitrag pressure Verfasst am: 08. Jul 2012 17:30    Titel: Antworten mit Zitat

Du musst über den gesamten dreidimensionalen Raum (in Kugelkoordinaten) integrieren Lehrer
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 18:01    Titel: Antworten mit Zitat



?

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Beitrag pressure Verfasst am: 08. Jul 2012 18:07    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das ist besser.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 18:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hatte das Quadrat an beim ersten Integral vergessen. Ich hab' nun:



Daraus folgere ich, dass die zwei letzten Integral einen Beitrag von
geben müssen, damit der gesamte Ausdruck letztendlich 1 ergeben kann.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 08. Jul 2012 18:31    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, da stimmt, das kannst du dir merken:


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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 18:48    Titel: Antworten mit Zitat

Perfekt ... mach' ich, vielen Dank!! Wenn ich nun die Wahrsch.dichte
für den Abstand des Elektrons vom Urpsrung berechnen soll, dachte ich
eigentlich, dass diese bereits mit gegeben ist? Ich bin ver-
wirrt, was soll ich denn da noch groß berechnen?

Das Maximum dieser Verteilung zu finden, ist ja nicht so schwer, ich muss
dann einfach nur setzen, oder?!

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 21:00    Titel: Antworten mit Zitat

Zu berechnen ist, glaube ich, , also die Wahrsch.dichte mit dem Volumen einer Kugelschale.
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Beitrag TomS Verfasst am: 08. Jul 2012 21:08    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich nun die Wahrsch.dichte
für den Abstand des Elektrons vom Urpsrung berechnen soll ...

Das ist etwas unklar formuliert. Soll die Wsk.-dichte für das Elektron an einem beliebigen Punkt bei r berechnet werden? oder die Wsk.-dichte für das Elektron auf einer Kugelschale?

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 21:18    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist genau das, was mich auch schon die ganze Zeit verwirrt.
Ich hab' ja die Original-Aufgabe gepostet, mehr kann ich dazu
leider nicht sagen unglücklich Aber wie würde sich denn beides formell
unterscheiden? Ich habe folgendes berechnet:


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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 21:53    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, es soll die Wahrsch.dichte für das Auffinden des Elektrons
in einer Kugelschale zwischen r und r + dr zu finden. Ich habe dazu
gefunden, dass dV = 4 Pi r² dr. Wie kommt man darauf ohne Integration?



Aber wie plottet man soetwas, wenn da ein dr drinnensteckt?

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Beitrag pressure Verfasst am: 08. Jul 2012 22:03    Titel: Antworten mit Zitat

Formal musst du den Erwartungswert von berechnen, wobei du über als Radius integrierst (mit zu deinem identischen Ergebnis). Dann erhältst du die Wkt., dass sich das Elektron im radialen Intervall befindet.

Beim plotten einfach weglassen.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 22:15    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich weiß, wie man auf dV = 4 Pi dr r² kommt, dann muss ich das ja
nur mit dem Betrags-Quadrat der Wellenfunktion mal nehmen, ist doch
etwas easier. Aber wie kommt man auf die Formel für dV, ohne Integration?

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Beitrag pressure Verfasst am: 08. Jul 2012 22:35    Titel: Antworten mit Zitat

Volumenelement über Sphere integrieren oder Kugelvolumen V=4/3*PI*r^2 nach r differenzieren.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 22:39    Titel: Antworten mit Zitat

Logisch ... man sieht halt oft den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Das habe ich soeben gemacht und es kommt draus, klasse!

Wie berechne ich nun den Erwartungswert des Abstandes r vom
Ursprung? richtig?

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Beitrag pressure Verfasst am: 08. Jul 2012 22:47    Titel: Antworten mit Zitat

Thumbs up!
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 22:59    Titel: Antworten mit Zitat

Guuut, dann setze ich mich da mal dran, bis nachher! Augenzwinkern
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 23:13    Titel: Antworten mit Zitat

soweit OK?
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Jul 2012 23:20    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich das Integral mit löse, komme ich für auf .
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 09. Jul 2012 00:16    Titel: Antworten mit Zitat

Sollte eigentlich stimmen, ausser es muss noch dazu?
Damit ergäbe sich also entweder ohne oder mit .

Ich muss nun die Wahrsch.dichte berechnen. Kann ich dazu Fourier-transf.?


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Beitrag TomS Verfasst am: 09. Jul 2012 07:23    Titel: Antworten mit Zitat

Du solltest bei allen derartigen Aufgaben immer von der Wellenfunktion selbst ausgehen und dir nicht noch merken wollen, wie eine Wsk.-dichte in drei Dimensionen definiert wird Da fehlt dann mal ein Faktor, oder es ist unklart, wo das r² steht usf.

Also



Die paar Zwischenschritte lohnen sich.

Zur WSk-Dichte im Impulsraum:

Im Ortsraum gilt für eine Observable A



Wenn diese nur von den Koordinaten und nicht von Differentialoperatoren abhängt, wenn es sich also in Ortsdarstellung um eine Funktion A(x,y,z) handelt, kann man schreiben



Das selbe gilt im Impulsraum: Wenn B nur von p und nicht von Differentialoperatoren in p abhängt, dann gilt für die Impulsdarstellung



Du darfst also nicht die Wsk-Dichte P(r) fouriertransformieren, und schon gar nicht nur die bzgl. r, sondern die Wellenfunktion! Und diese musst du dann wieder quadrieren.

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 09. Jul 2012 08:44    Titel: Antworten mit Zitat

Danke Dir. Zunächst mal zum Erwartungswert von



Wenn ich wie oben berechne, komme ich auf das
selbe Ergebnis, wie wenn ich es nach 'meiner Methode' tue



Ist das also auch korrekt? Wolltest nur die erklären?

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 09. Jul 2012 09:03    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich kann beides nachvollziehen, beides wird wohl richtig sein?

Für Fourier-transformiere ich nun erstmal , richtig?

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Beitrag TomS Verfasst am: 09. Jul 2012 09:04    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ist das also auch korrekt? Wolltest nur die erklären?

Ich wollte zeigen, warum dein Ansatz in dem speziellen Fall richtig ist und wie es allgemein funktioniert. Insbs. wollte ich darauf hinweisen, dass P(r) immer etwas zweideutig ist und man besser mit der fundamenrtalen Große, d.h. der Wellenfunktion rechnet.

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 09. Jul 2012 10:26    Titel: Antworten mit Zitat

OK! Ich habe nun Fourier-transf.:


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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 09. Jul 2012 10:27    Titel: Antworten mit Zitat

OK! Ich habe nun Fourier-transf.:



Das würde ich lösen mit



und komme damit dann auf


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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 09. Jul 2012 11:03, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 09. Jul 2012 11:00    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, die Fouriertransformation musst du bzgl. der Einzelkoordinaten durchfühten!



In Kugelkoordinaten und für den 100-Zustand ohne Winkelabhängigkeit ergibt das



Die Omega-Integration fällt also nicht einfach weg!

Du kannst für jeden p-Vektor dein xyz-Koordinmatensystem geeignet wählen, d.h. die z-Achse in der Richtung von p festlegen; dann sollte die Integration möglich sein

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 11. Jul 2012 14:29    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe die Lösung gefunden und versucht, sie zu verstehen. Ich habe offensicht-
lich Probleme mit der Integration in Kugelkoordinanten, da muss ich noch etwas üben.

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