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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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 TruEnemy Verfasst am: 14. Jun 2012 13:36 Titel: Potential-Kasten für E > V_0 |
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Hallo,
Meine Frage:
Es wird das selbe Potential wie bei meinem anderen Thread betrachtet, und zwar
=\begin{cases} V_{0} & \text{für }x < -a\\ 0 & \text{für }-a < x < a\\V_{0} & \text{für }a < x
<br />
\end{cases}
<br />
)
Nun betrachtet man aber  \right) \psi (x) = E \psi(x) ) für  .
Für die Wellenfunktion exisitiert der folgende, abschnittsweise definierte Ansatz:
=\begin{cases} \phi_{0}(x) + \phi_{r}(x) = e^{ik_{0}x} + \rho e^{-ik_{0}x} & \text{für }x < -a\\ \alpha e^{ikx} + \beta e^{-ikx} & \text{für }-a < x < a\\\phi_{t}(x) = \tau e^{ik_{0}x} & \text{für }a < x
<br />
\end{cases}
<br />
)
Es sollen zunächst die Wahrsch.stromdichten für , \phi_{r}(x), \phi_{t}(x)) bestimmt
und darüber die Bedeutung der Teil-Wellen und deren Paramter erklärt werden.
Mein Ansatz:
Ist die Formel für die Wahrsch.stromdichte nicht  ) ?
Also einfach mal einsetzen und wieder mal schön drauflos rechnen, richtig? ^^
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 14. Jun 2012 14:10 Titel: |
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Die Frage ist, woher der Ansatz stammt ;-)
Für eine gebundene Lösung muss außerhalb des Topfes auf jeder Seite jeweils eine Lösung wegfallen, da man hier eine exponentiellen Verlauf hat und dieser im Unendlichen immer gedämpft sein muss.
Für eine nicht-gebundene Lösung = Streulösung muss dies nicht zwingend so sein, da man ja ebene Wellen hat; hier betrachtet man dann aber üblichwerweise z.B. eine von links einlaufende Welle; dann hat man links genau diese einlaufende und sowie eine nach links auslaufende = gestreute bzw. reflektierte Welle, jedoch rechts nur eine auslaufende Welle.
Man muss jedoch m.E. genauso wie im Fall eines gebundenen Teilchens die drei Lösungen aneinander stückeln (Stetigkeit)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 17. Jun 2012 11:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Für eine nicht-gebundene Lösung = Streulösung muss dies nicht zwingend so sein, da man
ja ebene Wellen hat; hier betrachtet man dann aber üblichwerweise z.B. eine von links
einlaufende Welle; dann hat man links genau diese einlaufende und sowie eine nach links
auslaufende = gestreute bzw. reflektierte Welle, jedoch rechts nur eine auslaufende Welle.
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Danke für Deine Antwort. Die Wahrsch.stromdichten habe ich berechnet, diese sind korrekt
(Vergleich mit Ergebnisse). Aber wie kann ich anhand der erhaltenen Ergebnisse, bzw.
der Wahrsch.stromdichten, erklären, was die Bedeutung der Parameter, insbesondere aber
der Teil-Wellen, ist? Anschaulich ist mir die Bedeutung klar: für x < -a haben wir eine
einfallende, und eine reflektierte, für-a < x < a eine weiterlaufende und an a wieder reflek-
tierte, und für a < x nur eine transmittierte Welle. Die Wahr.stromdichten lauten:
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 17. Jun 2012 11:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 17. Jun 2012 11:30 Titel: |
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Nun, die Parameter rho und tau beschreiben einfach Reflexion und Transmission
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 17. Jun 2012 11:33 Titel: |
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OK, stimmt, kennt man aus der Optik,  , aber sieht man das anhand
der Wahrsch.stromdichten? Zudem weiß ich immer noch nicht, was die Wahr.stromdichten
für die Teil-Wellen bedeuten, bzw., wie ich mit diesen deren Bedeutung erklären soll.
Ich habe meine Antwort oben etwas überarbeitet, inkl. der Ergebnisse für die WSD.
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 17. Jun 2012 11:51 Titel: |
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Lies mal hier etwas nach: http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsstromdichte
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte erfüllt eine Kontinuitätsgleichung, d.h. es gilt ein Erhaltungssatz. Dieser besagt letztlich, dass die zeitliche Veränderung der Wahrscheinlichkeitsdichte (ein Teilchen in einem bestimmten Raumvolumen anzutreffen) verknüpft ist mit einer Wahrscheinlichkeitsstromdichte durch die Oberfläche des betrachteten Volumens (vgl. den Fall elektrischer Stzröme und Ladungen).
Gemäß dem Noethertheorem ist ein Erhaltungssatz mit einer Symmetrie verknüpft (u.u.); im hier betrachtetn Fall ist es die globale U(1) Eichsymmetrie, d.h. die Freiheit, die Wellenfunktion mit einem Phasenfaktor zu multiplizieren. Es gibt auch eine Lagrangedichte, aus der sich die SG sowie der Erhaltungssatz direkt ableiten lassen.
Die Interpretation bzgl. Reflexion und Transmission ergeben sich aus der Tatsache, dass die Amplitude der einlaufenden Welle auf Eins normiert wird, während sich die Amplituden der auslaufenden Wellen aus dem Potential = der Lösung der SG ergeben. Reflexion und Transmission ergeben sich außerdem aus der Betrachtung des Wellenzahlvektors, d.h. ob es sich um eine links- oder rechtslaufende Welle handelt.
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 17. Jun 2012 16:37 Titel: |
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EDIT: Aus dem Nolting habe ich entnommen, dass folgende Relationen gelten:
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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 18. Jun 2012 08:28, insgesamt einmal bearbeitet |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 17. Jun 2012 19:00 Titel: |
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Mit den oben erwähnten Relationen hat man leicht zeigen können,
dass das Quadrat der Paramter rho bzw. tau die Transmission bzw.
die Reflexion 'darstellt', also wie erwartet. Bezüglich der Bedeu-
tung der Teil-Wellen werde ich wohl einfach das aufschreiben, was
wir bisher besprochen haben.
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 18. Jun 2012 08:35 Titel: |
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Das war echt eine Hammer-Rechnung, bin nun aber fast am Ziel.
Ich bräuchte noch Eure Hilfe, ich muss das vereinfachen, iwie:
 e^{ia(-k_{0}-2k)} - \left(1 - \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ia(k_{0}-2k)} )
sowie
^2 e^{ia(k_{0}-2k)} - \left(1 - \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ia(-k_{0}-2k)} )
Ich weiß, dass  ) aber ich blick nicht durch.
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