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Potential-Kasten für 0 < E < V_0
 
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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 04. Jun 2012 22:24    Titel: Potential-Kasten für 0 < E < V_0 Antworten mit Zitat

Hallo,

Meine Frage:

Es soll ein Teilchen in einer Dimension betrachtet werden, welches sich im folgenden Potential befindet:



Dabei sind . Es soll nun nach und nach die stationäre Schrödinger-Gleichung, also die Gleichung



gelöst werden, und zwar für gebundene Zustände, d.h. für . Die Aufgabe lautet nun zunächst:

Ausgehend von der oben genannten Schrödinger-Gleichung soll gezeigt werden, dass an den Punkten, an denen
das Potential eine endliche Sprungstelle hat, die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung
stetig sein müssen.


Mein Ansatz:

Lustig, ich kannte das immer als Vorraussetzung für die Herleitung der Lösung, aber nie die formelle For-
derung. Ist das nicht so, weil die Wellenfunktion bei einem endlichen Potential an den Rändern nicht ver-
schnwindet und sich im verbotenen Bereichen links und rechts mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit
aufhalten kann? Hier mal eine Skizze vom Potential: http://s14.directupload.net/images/120604/nlwchvz2.jpg

Gruß.

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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe


Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 13. Jun 2012 11:58, insgesamt einmal bearbeitet
Rmn



Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 05. Jun 2012 01:52    Titel: Antworten mit Zitat

Ja die Wellenfunktion verschwindet auch für E<V im klassisch verbotenen Bereich nicht, sie fällt dort jedoch exponentiell schnell ab.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Jun 2012 08:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, und da sich bei einem endlichen Potential die
Wellenfunktion auch im klassisch verbotenen Be-
reich befinden kann (im Bild x < -a und x > a),
muss sie und ihre erste Ableitung an den Poten-
tial-Wänden stetig sein. Aber wie zeigt man dies
mathematisch? Genauer: wie gehe ich nun die
oben genannte Aufgabe am besten an? grübelnd

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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Jun 2012 21:28    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe einen Tipp bekommen: man soll die Schrödinger-Gleichung nach
auflösen und in einem kleinen Bereich um die Srpungstellen
integrieren, also z. B. . Anschließend soll man dem Limes
mit unter der Vorraussetzung betrachten, dass überall endlich
ist. Ich kann diese Vorgehensweise aktuell nicht nachvollziehen. Wieso macht
man das so? Für Erklärungsversuche Eurerseits wäre ich sehr dankbar! Hammer

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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
Rmn



Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 05. Jun 2012 21:41    Titel: Antworten mit Zitat

Die Wellenfunktion muss für die Gültigkeit der Schrödingergleichung zwei mal differenzierbar sein. Jede differenzierbare Funktion ist aber zwangsläufig stetig, daher muss die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung stetig sein.

Zuletzt bearbeitet von Rmn am 05. Jun 2012 21:45, insgesamt einmal bearbeitet
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Jun 2012 21:43    Titel: Antworten mit Zitat

Klingt logisch, aber die Aufgabe ist leider nicht so einfach gehalten:
Ausgehend von der oben genannten Schrödinger-Gleichung soll ge-
zeigt werden, dass an den Punkten, an denen das Potential eine end-
liche Sprungstelle hat, die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung
stetig sein müssen.

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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
Rmn



Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 05. Jun 2012 21:54    Titel: Antworten mit Zitat

http://www.lti.uni-karlsruhe.de/rd_download/FE_SS07_Skript_Teil4.pdf
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Jun 2012 22:03    Titel: Antworten mit Zitat

Tausend Dank! Rock So viel Aufwand für 1 Punkt Hammer
Ich lese es mir durch und melde mich dann wieder smile

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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jun 2012 18:44    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt habe ich wieder etwas Luft ... wir haben nun also:



Nun integriert man, betrachtet dabei ein kleines Intervall
um eine Sprungstelle herum, die andere ergibt sich nach
der Betrachtung analog, es reicht also, zu zeigen, dass:







Man lässt nun gegen Null gehen, betrachtet also den Limes:


: für , wenn und endlich

: für , wenn und endlich

: für


Letzteres bedeutet, dass bei den Sprungstellen stetig
differenzierbar sein muss. Wieso? Was sagt das denn aus?

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 10. Jun 2012 12:05, insgesamt einmal bearbeitet
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Jun 2012 21:10    Titel: Antworten mit Zitat

Die nächste Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass ohne Einschränkung angenommen werden kann,
dass jede Lösung der SG entweder positive oder negative Parität besitzt, d.h., es gilt entweder
oder .


Lässt man dazu den Paritäts-Operator auf die SG wirken, d.h. setzt man dazu für
ein und betrachtet dann das Ergebnis qualitativ? Mit der SG von oben lautet das dann:





Ich weiß nun, dass, wenn ist, auch Lösung der SG mit dem-
selben Eigenwert ist. Aber warum? Und wieso sind (dann) und
linear unabhängig(e Lösungen der SG)?

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 10. Jun 2012 12:08, insgesamt 3-mal bearbeitet
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 10. Jun 2012 12:02    Titel: Antworten mit Zitat

Die vorangegangenen Fragen sind mir zwar immernoch unklar, aber ich
begebe mich mal an die nächste (Teil-)Aufgabe, welche wie folgt lautet:

Geben Sie die allg. Lösung der SG für in jedem der drei Be-
reiche separat an.


Ich habe hierzu das Foto aus meine ersten Thread überarbeitet, siehe
Anhang. Die allg. Lösung der SG für die lautet doch wie folgt, oder???








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TruEnemy



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Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 10. Jun 2012 16:31    Titel: Antworten mit Zitat

Friedi, bist Du noch nicht an der Bearbeitung der Aufgaben???
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Lara_mag_Chemie



Anmeldungsdatum: 17.09.2011
Beiträge: 9

Beitrag Lara_mag_Chemie Verfasst am: 10. Jun 2012 20:08    Titel: Antworten mit Zitat

Sieh dir das Potential doch mal an. Du betrachtest nur Energie 0 < E < Vo. Physikalisch interessant ist doch nur der Bereich in dem das Potential verschwindet. Ein Quant besitzt eine unendlich kleine Wahrscheinlichkeit hinaus zu Tunneln.

Damit ist die Antwort nach Parität als auch Lösungen für deine Energie Bedingung sofort klar.

Gruß
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 11. Jun 2012 22:39    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich habe keine Benachrichtigung darüber erhalten, dass Du
geschrieben hattest. Jedoch muss ich leider anmerken, dass mich
Deine Antwort sowieso nicht sonderlich weitergebracht hätte, sorry.
Das ist nicht böse gemeint : ) Ich habe es auf meine Weise gelöst
bekommen, bei Interesse kann ich - sofern ich dafür Zeit finden
werde - meinen Lösungsweg skizzieren.

_________________
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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17906

Beitrag TomS Verfasst am: 12. Jun 2012 07:07    Titel: Antworten mit Zitat

Dein allgemeiner Ansatz ist zunächst mal richtig. Für stückweise konstantes Potential kannst du die Schrödinbgergleichung in jedem Abschnitt separat lösen. Der Eigenwert k ergibt sich dabei immer aus E-V

Jetzt musst du noch zwei Fälle unterscheiden, nämlich E-V > 0 und E-V < 0. Je nach dem bekommst du rein reelles bzw. rein imaginäres k, also |k| bzw. i|k| im Exponenten und damit eine Schwingung oder eine exponentielle Dämpfung. Exponentielles Anwachsen im Unendlichen ist wegen Quadratintegrierbarkeit verboten, damit fällt jeweils eine e-Funktion weg.

Die Eigenwerte bestimmt man dann durch "Anstückeln" der Lösungen für die einzelnen Bereiche. Eine analytische Lösung ist in diesem Fall nicht möglich.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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