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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 04. Jun 2012 22:24 Titel: Potential-Kasten für 0 < E < V_0 |
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Hallo,
Meine Frage:
Es soll ein Teilchen in einer Dimension betrachtet werden, welches sich im folgenden Potential befindet:
Dabei sind . Es soll nun nach und nach die stationäre Schrödinger-Gleichung, also die Gleichung
gelöst werden, und zwar für gebundene Zustände, d.h. für . Die Aufgabe lautet nun zunächst:
Ausgehend von der oben genannten Schrödinger-Gleichung soll gezeigt werden, dass an den Punkten, an denen
das Potential eine endliche Sprungstelle hat, die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung
stetig sein müssen.
Mein Ansatz:
Lustig, ich kannte das immer als Vorraussetzung für die Herleitung der Lösung, aber nie die formelle For-
derung. Ist das nicht so, weil die Wellenfunktion bei einem endlichen Potential an den Rändern nicht ver-
schnwindet und sich im verbotenen Bereichen links und rechts mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit
aufhalten kann? Hier mal eine Skizze vom Potential: http://s14.directupload.net/images/120604/nlwchvz2.jpg
Gruß.
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 13. Jun 2012 11:58, insgesamt einmal bearbeitet |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473
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Rmn Verfasst am: 05. Jun 2012 01:52 Titel: |
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Ja die Wellenfunktion verschwindet auch für E<V im klassisch verbotenen Bereich nicht, sie fällt dort jedoch exponentiell schnell ab.
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 05. Jun 2012 08:46 Titel: |
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Ja, und da sich bei einem endlichen Potential die
Wellenfunktion auch im klassisch verbotenen Be-
reich befinden kann (im Bild x < -a und x > a),
muss sie und ihre erste Ableitung an den Poten-
tial-Wänden stetig sein. Aber wie zeigt man dies
mathematisch? Genauer: wie gehe ich nun die
oben genannte Aufgabe am besten an?
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 05. Jun 2012 21:28 Titel: |
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Ich habe einen Tipp bekommen: man soll die Schrödinger-Gleichung nach
auflösen und in einem kleinen Bereich um die Srpungstellen
integrieren, also z. B. . Anschließend soll man dem Limes
mit unter der Vorraussetzung betrachten, dass überall endlich
ist. Ich kann diese Vorgehensweise aktuell nicht nachvollziehen. Wieso macht
man das so? Für Erklärungsversuche Eurerseits wäre ich sehr dankbar!
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473
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Rmn Verfasst am: 05. Jun 2012 21:41 Titel: |
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Die Wellenfunktion muss für die Gültigkeit der Schrödingergleichung zwei mal differenzierbar sein. Jede differenzierbare Funktion ist aber zwangsläufig stetig, daher muss die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung stetig sein.
Zuletzt bearbeitet von Rmn am 05. Jun 2012 21:45, insgesamt einmal bearbeitet |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 05. Jun 2012 21:43 Titel: |
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Klingt logisch, aber die Aufgabe ist leider nicht so einfach gehalten:
Ausgehend von der oben genannten Schrödinger-Gleichung soll ge-
zeigt werden, dass an den Punkten, an denen das Potential eine end-
liche Sprungstelle hat, die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung
stetig sein müssen.
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 05. Jun 2012 22:03 Titel: |
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Tausend Dank! So viel Aufwand für 1 Punkt
Ich lese es mir durch und melde mich dann wieder
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 07. Jun 2012 18:44 Titel: |
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Jetzt habe ich wieder etwas Luft ... wir haben nun also:
Nun integriert man, betrachtet dabei ein kleines Intervall
um eine Sprungstelle herum, die andere ergibt sich nach
der Betrachtung analog, es reicht also, zu zeigen, dass:
Man lässt nun gegen Null gehen, betrachtet also den Limes:
: für , wenn und endlich
: für , wenn und endlich
: für
Letzteres bedeutet, dass bei den Sprungstellen stetig
differenzierbar sein muss. Wieso? Was sagt das denn aus?
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 10. Jun 2012 12:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 07. Jun 2012 21:10 Titel: |
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Die nächste Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass ohne Einschränkung angenommen werden kann,
dass jede Lösung der SG entweder positive oder negative Parität besitzt, d.h., es gilt entweder
oder .
Lässt man dazu den Paritäts-Operator auf die SG wirken, d.h. setzt man dazu für
ein und betrachtet dann das Ergebnis qualitativ? Mit der SG von oben lautet das dann:
Ich weiß nun, dass, wenn ist, auch Lösung der SG mit dem-
selben Eigenwert ist. Aber warum? Und wieso sind (dann) und
linear unabhängig(e Lösungen der SG)?
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 10. Jun 2012 12:08, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 10. Jun 2012 16:31 Titel: |
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Friedi, bist Du noch nicht an der Bearbeitung der Aufgaben???
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Lara_mag_Chemie
Anmeldungsdatum: 17.09.2011 Beiträge: 9
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Lara_mag_Chemie Verfasst am: 10. Jun 2012 20:08 Titel: |
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Sieh dir das Potential doch mal an. Du betrachtest nur Energie 0 < E < Vo. Physikalisch interessant ist doch nur der Bereich in dem das Potential verschwindet. Ein Quant besitzt eine unendlich kleine Wahrscheinlichkeit hinaus zu Tunneln.
Damit ist die Antwort nach Parität als auch Lösungen für deine Energie Bedingung sofort klar.
Gruß
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516
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TruEnemy Verfasst am: 11. Jun 2012 22:39 Titel: |
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Sorry, ich habe keine Benachrichtigung darüber erhalten, dass Du
geschrieben hattest. Jedoch muss ich leider anmerken, dass mich
Deine Antwort sowieso nicht sonderlich weitergebracht hätte, sorry.
Das ist nicht böse gemeint : ) Ich habe es auf meine Weise gelöst
bekommen, bei Interesse kann ich - sofern ich dafür Zeit finden
werde - meinen Lösungsweg skizzieren.
_________________ 'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TomS Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17906
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TomS Verfasst am: 12. Jun 2012 07:07 Titel: |
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Dein allgemeiner Ansatz ist zunächst mal richtig. Für stückweise konstantes Potential kannst du die Schrödinbgergleichung in jedem Abschnitt separat lösen. Der Eigenwert k ergibt sich dabei immer aus E-V
Jetzt musst du noch zwei Fälle unterscheiden, nämlich E-V > 0 und E-V < 0. Je nach dem bekommst du rein reelles bzw. rein imaginäres k, also |k| bzw. i|k| im Exponenten und damit eine Schwingung oder eine exponentielle Dämpfung. Exponentielles Anwachsen im Unendlichen ist wegen Quadratintegrierbarkeit verboten, damit fällt jeweils eine e-Funktion weg.
Die Eigenwerte bestimmt man dann durch "Anstückeln" der Lösungen für die einzelnen Bereiche. Eine analytische Lösung ist in diesem Fall nicht möglich.
_________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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