Zusammenhang zwischen Impuls- und Ortsraum

Nerto · Anmeldungsdatum: 29.10.2009 Beiträge: 34

Hallo,

Warum hängen der Impulsraum und Ortsraum mit einer Fouriertransformation zusammen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Ohne zu wissen, welche Kenntnisse du in Quantenmechanik hast, ist das schwierig zu erklären.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Man kann wie folgt argumentieren.

Man betrachtet (darstellungsfrei) die Operatoren

,

und den Kommutator

Man findet eine x-Darstellung im Raum der x-Wellenfunktionen

mit

Die Gültigkeit des Kommutators in dieser Darstellung verifiziert man mittels Anwenden auf eine Wellenfunktion, d.h. Ausmultiplizieren des Kommutators und Anwenden auf eine Wellenfunktion unter Beachtung der Produktregel

Nun betrachtet man die Fouriertransformierte der Wellenfunktion sowie die p-Darstellung Operatoren

D.h. man erhält aus der x- die p-Darstellung

Und kann natürlich auch die Gültigkeit des Kommutators

verifizieren.

Damit hat man gezeigt, dass die x- sowie die p- Darstellungen mittels Fouriertransformation auseinander hervorgehen und dass sie (unitär *) äquivalent sind.

(*) unitär äquivalent bedeuet außerdem, dass das Skalarprodukt im Orts- sowie im Impulsraum einen identischen Wert liefert; das ist eine weitere Eigenschaft der Fouriertransformation, die hier streng genommen noch nicht bewiesen wurde.