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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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 Mecha Verfasst am: 02. Apr 2012 07:39 Titel: Massenträgheit hohler Kegelstumpf |
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Meine Frage:
Ich suche eine Formel für die Massenträgheit eines hohlen Kegelstumpfes. Dieser ist oben und unten offen.
Beispiel: D=65mm; d=25mm; Wandstärke 3mm
Drehung ist um die Hauptachse.
Meine Ideen:
Formel für den vollen Kegelstumps soll J=3m/10 * ((R^5-r^5)/(R^3-r^3)) sein. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Apr 2012 08:08 Titel: |
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Nun, generell gilt doch für einen homogenen Rotationskörper bei Rotation um seine Symmetrieachse
 = \rho \int_V d^3r\, r_\perp^2)
wobei der senkrechte Abstand den Abstand zur Drehachse bezeichnet.
Hat man nun einen Hohlkörper, wobei für den inneren Hohlraum "2" die selbe Symmetrieachse wie für den äußeren Körper "1" vorliegt, so gilt
 = \rho \int_{V_1-V_2} d^3r\, r_\perp^2 = J_1 - J_2)
Du kannst dir das mal explizit für den einfachen Fall des Hohlzylinders herleiten; die Formeln findest du hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment#Haupttr.C3.A4gheitsmomente_einfacher_geometrischer_K.C3.B6rper
Beachte, dass du die einfache Form der Differenz der Massenträgheitsmomente nur siehst, wenn du sie mittels der Dichte ausdrückst
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 02. Apr 2012 10:28 Titel: |
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-(R_{2}^{4}+R_{2}^{3}r_{2}+R_{2}^{2}r_{2}^{2}+R_{2}r_{2}^{3}+r_{2}^{4})}{(R^{2}+Rr+r^{2})-(R_{2}^{2}+R_{2}r_{2}+r_{2}^{2})} )
kann das sein? Ausgangsformel massiver Kegelstumpf!
Was ist bei dem Integral d und die beiden r? d=Achsenverschiebung? Würde es gerne bei den Formeln ausprobieren.
Zuletzt bearbeitet von Mecha am 02. Apr 2012 10:50, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Apr 2012 10:45 Titel: |
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Warum willst du das unbedingt in einen Bruch zusammenfassen?
Schreib doch einfach mal deine einzelnen Rechenschritte auf.
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 02. Apr 2012 10:46 Titel: |
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 )
Oder so einfach bei der Formel aus Wiki abziehen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Apr 2012 12:28 Titel: |
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So einfach ist es denn doch nicht, denn so klappt das mit der Masse nicht. Schau dir mal das Beispiel für den Zylinder an.
Vollzylinder
Hohlzylinder
)
Das Problem ist, dass sich im zweiten Fall die Masse m auf den Hohlzylinder bezieht, d.h. wenn es sich um einen Vollzylinder minus einem zweiten Vollzylinder handeln würde, dann müsste man auch eine jeweils andere Masse betrachten.
Wir nehmen das Massenträgheitsmoment eines homogenen Vollzylinders der Höhe h
und subtrahieren das Massenträgheitsmoment des inneren homogenen Vollzylinders
D.h. wir erhalten für den Hohlzylinder
\,h )
Die Klammer formen wir um
\, \left(r_1^2 + r_2^2\right)\,h)
Jetzt kann man das für die beiden Zylinder (den großen sowie den kleinen Vollzylinder) zusammenfassen
\,\left(r_1^2 + r_2^2\right) = \frac{1}{2}\,m_{1-2}\,\left(r_1^2 + r_2^2\right) )
Du musst also aufpassen, über welche Masse geredet wird. Bei Wikipedia bezieht sich die Masse m jeweils genau auf den dargestellten Körper. Ich habe explizit die Indizes „1“ und „2“ verwendet, um klarzustellen, dass hier drei verschiedene Massen vorkommen, die des großen Vollzylinders, die des inneren (fehlenden) Vollzylinders sowie die Differenz dieser beiden Massen als Masse des Hohlzylinders.
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 03. Apr 2012 11:29 Titel: |
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*\frac{R_{1}^{5}-r_{1}^{5}}{R_{1}^{3}-r_{1}^{3}})-(\frac{3}{10}*\rho_{2}*h_{2}*\frac{\pi}{3}*(R_{2}^{2}+R_{2}r_{2}+r_{2}^{2})*\frac{R_{2}^{5}-r_{2}^{5}}{R_{2}^{3}-r_{2}^{3}}) )
Nun fasse ich zur Masse zusammen:
-(\frac{3}{10}*m_{2}*\frac{R_{2}^{5}-r_{2}^{5}}{R_{2}^{3}-r_{2}^{3}}) )
Ausklammern:
*(\frac{R_{1}^{5}-r_{1}^{5}}{R_{1}^{3}-r_{1}^{3}}-\frac{R_{2}^{5}-r_{2}^{5}}{R_{2}^{3}-r_{2}^{3}}) )
Wenn ich jetzt sage die Differenz der beiden Massen ist die neue Masse, hab ich doch die Gleichung oben? Oder ist da ein Denkfehler noch drin? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 03. Apr 2012 11:42 Titel: |
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Der Denkfehler steckt im Schritt von der vorletzten zur letzten Zeile, da du nicht zwei unterschiedliche Massen ausklammern darfst!
Aber ich sehe, dass man da noch was vereinfachen kann ...
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 03. Apr 2012 12:34 Titel: |
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*(\frac{R_{1}^{5}-r_{1}^{5}}{R_{1}^{3}-r_{1}^{3}}))-((R_{2}^{2}+R_{2}r_{2}+r_{2}^{2})*(\frac{R_{2}^{5}-r_{2}^{5}}{R_{2}^{3}-r_{2}^{3}})) )
Klar am Anfang kann ich noch die 3 wegkürzen.
Also kann ich die Gesamtmasse nicht abbilden? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 03. Apr 2012 12:48 Titel: |
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Ich gehe wie folgt vor
)
Das ergibt
 \,\frac{R^5-r^5}{R^3-r^3})
Nun kann man Zähler und Nenner wie folgt faktorisieren
 \, (R^4+R^3r+R^2r^2+Rr^3+r^4) )
 \, (R^2+Rr+r^2))
Damit erhält man schließlich
 = \frac{\pi}{10}\,\rho\,h\,P(R,r) )
mit einem Polynom
 = R^4+R^3r+R^2r^2+Rr^3+r^4)
Bisher hat sich nichts geändert, ich habe nur die lästigen Bruchterme eliminiert.
Für den hohlen Kegelstumpf gilt nun
- P(R_2,r_2)\right] )
Im Falle des Hohlzylinders konnte man einen derartigen Ausdruck faktorisieren
Mit einem neuen Polynom Q, d.h. man hat eine Differenz der Polynome V erhalten, die die Volumina definieren. Im vorliegenden Fall des Kegelstumpfs sehe ich jedoch nicht, wie eine derartige Faktorisierung möglich sein soll.
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 03. Apr 2012 13:06 Titel: |
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Vielen Dank.
War mir eine sehr große Hilfe. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 03. Apr 2012 13:30 Titel: |
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Bitte (nachrechnen nicht vergessen!)
Ich find's aber immer noch irgendwie komisch, dass das nicht geht ...
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 03. Apr 2012 14:36 Titel: |
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Hab es simuliert und bestätigt. Bin mit der Formel nah dran und habe auch noch mal mit dem neuen Wissen hergeleitet. |
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 16. Apr 2012 11:58 Titel: Mantel |
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Jetzt bin ich bei einer Variante angelangt, wo der Kegelstumpf sehr dünnwandig ist:
Der Ansatz war erst einmal denkbar einfach. Auf Basis:
-P(R_{2},r_{2})]
<br />
R_{1},r_{1}=R_{2},r_{2}
<br />
)
Aber dann hab ich 0
Dann wollte ich den Trick so wie hier für den anwenden (R-außen;r-innen):
/R-r)=R^{4}+R^{3}r+R^{2}r^{2}+Rr^{3}+r^{4}\\
<br />
(R^{3}-r^{3})/(R-r)=R^{2}+Rr+r^{2}\\
<br />
)
Bringt mir auch nichts!
Mit Abschätzen und nachrechnen müsste das hier für den Mantel stimmen (R1-großer Radius ; R2-kleiner Radius Kegelstumpf:
siehe Zusammenhang Voll-Kegel Mantel-Kegel http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment
Nur kann ich es nicht beweisen oder mit einer Herleitung nachvollziehen! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2012 12:11 Titel: Re: Mantel |
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| Mecha hat Folgendes geschrieben: | Auf Basis
-P(R_{2},r_{2})]) |
funktioniert das nicht direkt.
Du kannst z.B. einen Grenzübergang für unendlich dünne Wandung durchführen, musst den Limes jedoch so bilden, dass die Gesamtmasse dabei konstant bleibt; d.h. die Dichte ist dann keine Konstante.
Du gehst wie folgt vor
)
)
Nun berechnest Du die Differenzmasse
Diese Masse M bleibt aber im Zuge des Grenzübergangs fest! Was sich demnach ändert ist die Massendichte. Also
 = \frac{M}{V_{1-2}(R_1,r_1,R_2,r_2)} = \frac{M}{\frac{\pi}{3}\,h\,\left[Q(R_1,r_1)-Q(R_2,r_2)\right]} )
Diese Dichte setzt du ein:
\,h\,\left[P(R_1,r_1) - P(R_2,r_2)\right] = \frac{\pi}{10}\, \frac{M}{\frac{\pi}{3}\,h\,\left[Q(R_1,r_1)-Q(R_2,r_2)\right]} \,h\,\left[P(R_1,r_1) - P(R_2,r_2)\right] )
Also zusammengefasst
 - P(R_2,r_2)}{Q(R_1,r_1)-Q(R_2,r_2)} )
Nun ersetzt Du
und bekommst letztlich
 - P(R,r)}{Q(R+\epsilon,r+\epsilon)-Q(R,r)} )
Nun musst Du Zähler und Nenner in epsilon Taylorentwickeln (der Strich ’ steht dabei für eine Ableitung nach epsilon). Die nullte Ordnung fällt dabei jeweils weg, da beide Male das selbe Polynom P bzw. Q da steht; der erste nicht-verschwindende Term (in Zähler und Nenner), ist von der Ordnung epsilon; epsilon kürzt sich also weg und es bleibt
 _{\epsilon=0} }{ Q^\prime(R+\epsilon,r+\epsilon) _{\epsilon=0}} )
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 16. Apr 2012 14:45 Titel: |
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Ableitung von P:
^{3}*1]+[3*(R+\epsilon)^{2}*1*(r+\epsilon)+(R+\epsilon)^{3}*1*1]+[2*(R+\epsilon)*1*(r+\epsilon)^{2}+2*(r+\epsilon)*1*(R+\epsilon)^{2}]+[3*(r+\epsilon)^{2}*1*(R+\epsilon)+(r+\epsilon)^{3}*1*1]+[4*(r+\epsilon)^{3}])
Epsilon ist dann 0:
)
Daselbe bei Q:
+(R+\epsilon)+(r+\epsilon)+2(r+\epsilon)=3(R+r))
Jetzt die Frage, ob das richtig ist oder sein kann? Hab es noch nicht an Werten kontrolliert!
Zuletzt bearbeitet von Mecha am 17. Apr 2012 08:47, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 16. Apr 2012 15:41 Titel: |
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Ich habe jetzt was passendes simuliert und der berechnete und simulierte liegen wieder sehr nah bei einander. Eine Bestätigung würde mir beruhigen |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2012 16:15 Titel: |
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| Mecha hat Folgendes geschrieben: | )
) |
das hab' ich auch raus
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 16. Apr 2012 16:49 Titel: |
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Dann nochmal danke zum 2.mal |
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Mecha
Anmeldungsdatum: 02.04.2012
Beiträge: 16
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| Mecha Verfasst am: 16. Apr 2012 18:36 Titel: Taylor |
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Das einzige, was ich doch noch habe ist die Taylor-Reihe. Hab da jetzt einiges nachgelesen und ausprobiert und ich kapier es nicht.
So ein Zwischenschritt von der Vorletzten bis zur letzten Gleichung wäre noch nett. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2012 22:35 Titel: |
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OK, es geht um eine Limes der Form
}{q(x,\epsilon)})
Wir betrachten p und q in der Umgebung epsilon gleich Null. D.h. wir können Zähler und Nenner in eine Taylorreihe um epsilon gleich Null entwickeln. Das liefert
+\epsilon\,p^\prime(x,0)+ \epsilon^2\ldots} {q(x,0)+\epsilon\,q^\prime(x,0)+ \epsilon^2\ldots })
Nun haben wir eine besondere Form für p und q, nämlich
 = P(x+\epsilon) - P(x) )
Ich vernachlässige hier die Indizes 1 und 2 sowie die zwei Größen R und r, denn das wesentliche steckt in der epsilon-Abhängigkeit. Führen wir nun dafür die Taylorentwicklung aus, so erhalten wir
 = P(x+\epsilon) - P(x) = \left[P(x) + \epsilon\,P^\prime(x) + \epsilon^2\ldots\right] -P(x) = \epsilon\,P^\prime(x) + \epsilon^2\ldots )
D.h. aufgrund der Differenz für unsere Polynome P und Q fällt der Term nullter Ordnung in epsilon heraus. Im Limes bleibt also
 + \epsilon^2\ldots} {\epsilon\,Q^\prime(x) + \epsilon^2\ldots })
Nun klammern wir epsilon aus bzw. kürzen. Jetzt ist der Grenzwert trivial und es verbleibt
 + \epsilon\ldots} {Q^\prime(x) + \epsilon\ldots } = \frac{P^\prime(x)} {Q^\prime(x)} )
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