Ladungsverteilung im Leiter

planetenbeschleuniger · Anmeldungsdatum: 27.06.2005 Beiträge: 12 Wohnort: Hessen

Hallo Leute,

ich grueble schon seit einiger Zeit an einer Aufgabe zur Elektrostatik. Ich soll mit Hilfe des Gauss'schen Satzes zeigen, dass sich ueberschuessige Ladungstraeger innerhalb eines Leiters auf dessen Oberflaeche verteilen. Als Hinweis wird mir die Wirbelfreiheit des Feldes ans Herz gelegt.

Meine erste Ueberlegung war, dass das Innere des Leiters stets feldfrei ist und sich schon deswegen keine ueberschuss-Ladungen im Inneren befinden koennen. Allerdings ist er dies (feldfrei) ja gerade, weil sich die Ladungen an seiner Oberflaeche befinden. Also ein Henne und Ei Problem ...

Natuerlich koennte ich sagen: Es ist erwiesen, dass das Innere feldfrei ist, also koennen da keine Ladungen sein. Aber das waere irgendwie unbefriedigend.

Also hab ich mich auf die Wirbelfreiheit gestuetzt. Allerdings sollte doch eine ruhende Ladung keinerlei Wirbel bewirken, ja sogar grade dann nicht. Wuerde sie sich bewegen, wuerde ein geschlossenes Wegintegral durch das E-Feld nicht verschwinden. Das fuehrt zum Schluss, dass sich die Ladung auf keinen Fall bewegen darf.

Was geschieht dann mit einer Ladung die innerhalb des Leiters ruht, sie koennte ja garnicht zur Oberflaeche bewegt werden, das verbietet die Wirbelfreiheit.

Ansonsten haette ich gesagt: "das feldfreie Innere vermag in den Leiter dringende Ladungen nicht abzubremsen, so dass sie von sich aus zur Oberflaeche driften"

Wie koennte ich aus der Misere heraus kommen ?

Hendrik · Gast

Du könntest vielleicht so argumentieren:

Wenn im Inneren des Leiters ein Feld wäre, dann würden sich die frei beweglichen Elektronen (sonst wärs ja kein Leiter) entlang dieses Feldes bewegen, bis die dann vorherrschende Ladungsverteilung das Feld kompensiert.

Dann wendest du den Gauß-Satz für das Leiterinnere ohne den Rand an und zeigst halt ganz einfach, dass da keine ladungen vorhanden sind (denn Edf=0).

Naja, und wenn sie nicht drin sind, bleibt ja nur noch die Oberfläche.....

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Du könntest die statische maxwall Gl. für H nehmen:

Im Leiter haben wir

(sigma: Leitfähigkeit), also:

Davon die Divergenz bilden:

Wegen:

gilt

auf der anderen Seite haben wir für das E Feld:

,
wobei

Die Ladungsdichte ist. Man hat also innerhalb des Leiters:

Also ist die Ladungsdichte im inneren des Leiters Null, es sind keine Überschüssigen Ladungen im Inneren. (Wenn doch müssten sie beschleunigt werden und man hätte kein statisches Problem mehr)
Hmm, ich habe jetzt aber weder den Gauß Aatz, noch die Wirbelfreiheit explizit genutzt. Mit Wirbeln würde die stat. maxwall Gleichungen aber auch nicht Gelten.

Gast

Wenn du weisst, dass das innere Feldfrei ist, gilt nach dem Gaußschen Satz:

, d.h. die Ladungsdichte ist 0. Außerhalb des Leiters erhältst du das gesamte Statische Feld*2pi, so kannst du evtl. argumentieren, dass alle statischen Ladungsträger an der Oberfläche sind.

planetenbeschleuniger · Anmeldungsdatum: 27.06.2005 Beiträge: 12 Wohnort: Hessen

@sax: Die Loesung gefefaellt mir schon wirklich gut. Ausserdem ist der Gauss'sche Satz ja indirekt durch die Divergenz mit einbezogen Augenzwinkern

@Gast: das Efeld muss in deiner Gleichung ueber die Huellflaeche integiert werden, nicht ueber ds. Die Idee ist mir auch schon gekommen, allerdings kann man hier nicht unterscheiden, welche Tatsache nun aus welcher hervor geht, feldfrei -> ladungsfrei oder ladungsfrei -> feldfrei.

Ich habe mir inzwischen folgendes ueberlegt....
Da jeder Leiter eine Aequipotentialflaeche darstellt, muss das Feld senkrecht auf seiner Oberflaeche stehen. Deswegen gilt fuer ein kleines Volumen an der Oberflaeche des Leiters (die Ausdehnung nach innen und aussen soll gegen Null gehen):

wobei n der Normalenvektor der Huellflaehe ist und D1 die Verschiebung nach aussen ist. Da D1 senkrecht auf der Huellflaeche steht, muss D2 Null sein, da ansonsten nicht orthogonale Komponenten in D1 auftauchen wuerden. Aus D2 = 0 flogt dann div D = 0 = rho.

Koennte das stimmen ... ?