Indexschreibweise (Epsilon-Tensor)

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe einige Schwierigkeiten bei der Anwendung dieser Kürzelschreibweise für Vektoroperationen mit dem Epsilontensor und dem Kroneckerdelta. Was mich immer verwirrt: macht es beim Epsilontensor einen unterschied, in welcher reihenfolge ich die Indizes schreibe? Dass das bei Kroneckerdelta keinen Unterschied macht ist doch richtig, oder?
Könnte mir jemand nochmal kurz erklären, worauf es dabei ankommt? Eine für Erstsemestler verständliche und trotzdem ausführliche Erklärung habe ich bisher leider keine gefunden...
Vielen Dank schonmal im Voraus
Grüße
Nima93

Meine Ideen:
smile

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Kroneckerdelta ist schlicht so DEFINIERT(d.h. es ist einfach so), dass es für gleiche Werte der Indizes 1 ist und sonst Null(entspricht formal also der Einheitsmatrix).
Die Reihenfolge der Indizes ist egal(einmal weil es so definiert ist und...), denn z.B. C2,3 = C3,2 = 0, wobei C hier für das Kroneckerdelta und die Zahlen für Werte der Indizes stehen soll.
In welcher Reihenfolge die stehen ist völlig egal.

Beim Levi-Civita-Symbol(so heißt der Epsilontensor scheinbar laut Wikipedia) ist es so, dass gerade Permutationen von 1,2 und 3 +1 ergibt, ungerade Permuation -1 und sonst Null.
Eine gerade Permutation ist eine Vertauschung der Reihenfolge von 1,2,3 durch eine gerade Zahl von Vertauschungen "benachbarter" Zahlen.

ACHTUNG: Weiter unten hab ich noch eine zweite, einfachere Erklärung hingeschrieben Augenzwinkern

Dazu diesen Link hier nehmen:
http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/permutationen/permutationen.html

und den unteren Abschnitt lesen.

Mal anhand von 1,2,3
Nehmen wir an beim Epsilontensor stünde dann z.B. 2,3,1

Dann schreiben wir uns das Untereinander:
1,2,3 <-- I
2,3,1 <--II

und wenden die im Link gegebene Definition an:
Wir schauen in Zeile I und fangen links an:

Um das ganze ein wenig übersichlich zu machen bezeichne ich die Zahlen der I. Zeile mit I.1, I.2 und I.3 und jene aus der zweiten mit II.1 usw.

Also:
Wir vergleichen I.1 und I.2:
Es ist I.1 < I.2, das ist ja klar.
I.1 ist II.2 zugeordnet, welches kleiner ist als II.3. Also gemäß der Definition von der genannten Seite ist dies keine Fehlstelle.

Dann weiter:
Wir vergleichen I.1 mit I.3:
Wieder ist I.1 < I.3, diesmal aber ist II.1 > II.3(II.1 ist gleich 2 und II.3 ist gleich 1), also ist dies eine Fehlstelle gemäß der Definition.

Jetzt weiter:

Wir vergleichen I.2 mit I.3, wobei 2 natürlich kleiner ist als 3.
Und es ist II.2 > II.3, also ist dies auch eine Fehlstelle.
Nun sind wir fertig und haben zwei Fehlstellen gefunden ->
gerade Anzahl von Fehlstellen -> gerade Permutation -> der Epsilontensor hätte den Wert +1, wenn er diese Indizes aufweisen würde.

Das ganze kann man auch einfacher erklären:
Wenn du durch eine gerade Anzahl von Vertauschungen von 1,2,3 zu einer vorliegenden kommst, dann handelt es sich um eine gerade Permutation. Wenn die Anzahl der Vertauschungen ungerade ist, handelt es sich um eine ungerade Permutation.

Also z.B. weißt der Tensor die Indizes 1,3,2 auf kommt man von 1,2,3 dahin, in dem man die 2 und die 3 vertauscht. Daher braucht man nur EINE Vertauschung, also eine ungerade Anzahl, d.h. es handelt sich um eine ungerade Permutation.
Epsilon1,3,2 ist also -1.

Hoffe ich konnte dir helfen

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Hallo und vielen Dank für deine Mühe!! Habe die beiden Symbole glaube ich langsam verstanden... obwohl ichs immer noch seehr gewöhnungsbedürftig finde... Werde jetzt noch ein paar Aufgaben dazu rechnen...

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Jopp, lernt man nur (richtig) wenn man es auch anwendet smile

Ist aber ganz einfach^^

Kleiner Hinweis: Mindestens für eine wichtige Herleitung braucht man auch die Tatsache das Epsilon_i,j,k = -Epsilon_j,i,k(und entsprechend für andere ungerade permutationen) ist. Also damit meine ich die Vertauschung im allgemeinen Fall ohne konkrete Zahlen einzusetzen. Aber naja Big Laugh

Vielleicht macht ihr das ja nicht in einer Übung(da kam das bei uns mal vor bzw. war gebraucht)

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Hallo nochmal, bin da doch noch auf so ein kleines Problemchen gestoßen: Ich soll die Rotation vom Vektorfeld

bestimmen. Gut, also der Ansatz ist mir klar. Ich schreibe

, schreibe die Kreuzprodukte in Epsilontensorensummen um und wende den Entwicklungssatz an. Aber eine Umformung in meiner Lösung ist mir unverständlich: warum ist

??? (sorry für die unübersichtlichkeit... hab nicht rausgekriegt wie man indizes schreibt... also immer das 1. symbol soll groß sein, der rest indizes...)

Quant · Anmeldungsdatum: 18.05.2011 Beiträge: 92

Hi
Indices kannst du mit Unterstrich (z.B.: _{ijk} ) machen =)

Also der Nabla wirkt nur auf

.
Dann:

Jetz musst du dir nur noch die Ableitung von x_j nach x_l anschaun. Welche Werte kann die denn für welche Indices annehmen? smile

Schöne Grüße

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Schau dir mal zwei einfache Fälle an, nämlich das Kronecker-Delta sowie den Epsilon-Tensor in zwei Dimensionen

Die Delta-Funktion entspricht der 2*2 Einheitsmatrix

Der Epsilon-Tensor entspricht der 2*2 Matrix

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Danke für die Tipps, habs mitlerweile raus smile