Zahnstange beschleunigt Zahnrad

WuessteGern · Gast

Meine Frage:
Man stelle sich eine Zahnstange in senkrechter Position an einem Zahnrad anliegend vor. Die Zahnstange hat eine Masse m1, das Zahnrad die Masse m2 und den Radius r. Auf die Zahnstange wirkt die Schwerkraft, das Zahnrad ist in seiner Achse drehbar gelagert. Reibung sei zu vernachlässigen. Durch die Abwärtsbewegung der Zahnstange wird das Zahnrad gedreht. Die Frage lautet, welche Beschleunigung sich als resultierende an der Zahnstange bzw. als Tangentialbeschleunigung an dem Zahnrad ergibt.

Meine Ideen:
Ich habe die beiden Fälle zunächst einzeln betrachtet: Die Schwerkraft der Zahnstange ist

Im freien Fall ergäbe sich also die Erdbeschleunigung

für die Zahnstange.
An dem Zahnrad wirkt die Schwerkraft G der Zahnstange an dem Radius r. Daraus ergibt sich das Drehmoment M. Das Equivalent zur Masse bei der geradlinigen Bewegung ist das Trägheitsmoment J bei der Rotation des Zahnrades. Idealisiert wird das Zahnrad als Vollzylinder betrachtet und hat damit ein Trägheitsmoment von

Aus der Formel

ergibt sich dann die Winkelbeschleunigung

und letzten Endes die Tangentialbeschleunigung am Zahnrad mit

.

Jetzt habe ich also

und

, ich finde aber irgendwie keinen Weg das System und damit die Trägheit beider Massen als Gesamtheit zu betrachten und somit

zu erhalten. Ich denke, dass irgendwo eine resultierende Masse oder sowas verwendet werden muß, komme aber nicht drauf, wie das geht.

Könnt Ihr mir bitte auf die Sprünge helfen?

Danke, Andreas

ravektor · Anmeldungsdatum: 14.08.2011 Beiträge: 13 Wohnort: Saarbrücken

ich glaub, dein trägheitsmoment ist falsch. das sollte eigentlich
0,5 m r^2 lauten. oder war das nur ein tippfehler?

gruß,
ravektor

WuessteGern · Gast

Stimmt, bei dem Trägheitsmoment hab ich das Quadrat des Radius vergessen.

CD · Gast

Das Zahnrad wird durch ein Drehmoment beschleunigt.
Das läßt sich als Gegenkraft deuten F=M/R
ma=mg-M/R
M hast du ja schon hingeschrieben und den Zusammenhang zwischen a und alpha auch schon

WuessteGern · Gast

Danke, ich glaube ich habe es verstanden. Zum Abschluß versuche ich das Endergebnis nochmal zusammenzufassen:
Die Schwerkraft der Zahnstange ist

Die resultierende Kraft auf die Zahnstange in Verbindung mit dem Zahnrad ist G abzüglich der Kraft aus dem Drehmoment

Die Formel lautet dann

wobei das Drehmoment sich wie folgt ergibt

J ist das Trägheitsmoment

Eingesetzt und nach a umgestellt liefert die gesuchte Beschleunigung

Beispielhaft wäre, wenn m1=m2=1kg also die resultierende Beschleunigung a=6,54m/s².

Wenn Ihr mir damit zustimmt, möchte ich mich für die Unterstützung bedanken, sollte ich falsch liegen bitte ich um Korrektur.

Danke, Andreas

gast 7 · Gast

Ja das stimmt

Man hat hier 2 Körper also auch 2 Bewegungsgleichungen

Stange

Rad

Man kann es auch im Sinne der Newton Mechanik hinschreiben

(m1+m2/2)*a=G

In der Klammer steht die Gesamtträgheit des Systems
Rechts die auf das System wirkende resultierende Kraft (ein Vektor)