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Maeik
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 Maeik Verfasst am: 14. Sep 2011 22:12 Titel: Nullpunktsenergie und Temperatur |
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Meine Frage(n)
Nullpunktsenergie als geringste möglichte Temperatur?
Nullpunktsenergie als geringste möglichte Temperatur, dann ließe sich jede Temperatur auch als Form eines quantenphysikalisch harmonischen Oszillators beschreiben. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 14. Sep 2011 22:23 Titel: |
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Das ist nicht das selbe. Temperatur als klassischer Begriff setzt ein thermodynamisches Gleichgewicht voraus, also viele Freiheitsgrade.
Nullpunktsenergie existiert dagegen je einzelnem Freiheitsgrad; sie ist eine Folge der Quantenmechanik.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 14. Sep 2011 23:04 Titel: |
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dan man ja "immer mehr aufwand betreiben muss um den Nullpunkt zuerreichen" und ihn nie erreichen wird da ab einem bestimmten Punkt nur noch die Energie von E = h/(2*pi)*w/2
übrig bleibt und wenn man nun die nur noch existierenden Energie mit der Boltzmann-Konstante (1,3806488*10^-23 J/K) verrechne T = E/k
so kommt die minimalste existierende Temperatur von
ca. 7,638233*10^-12K heraus die egal was kommt nicht unterschreiten kann.
wenn ich es jetzt allgemein fasse wäre es:
T = h*f /k oder auch
T = h/(2*pi)*w/2*(n+1/2)/k |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 15. Sep 2011 00:49 Titel: |
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Es ist zwar richtig, dass man den absoluten Nullpunkt nicht erreichen kann, aber so wie du das tust, kann man nicht argumentieren. Eine Beweisskizze findest du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Nernst-Theorem
Das Problem an deiner Argumentation ist folgendes:
Zum Einen ist der Begriff "Temperatur" für ein einzelnes Teilchen sinnlos. Temperatur setzt ein thermodynamisches Gleichgewicht, also ein makroskopisches System voraus. Für ein einzelnen Teilchen kannst du zwar eine Energie definieren, aber keine Temperatur, auch nicht mittels formaler Multiplikation mit der Boltzmannkonstanten (genausowenig wie du für ein einzelnes H2O-Molekül den Begriff "Wasseroberfläche" sinnvoll definieren kannst).
Zum Anderen ist deine Wahl der Nullpunktsenergie willkürlich. Du wählst die Nullpunktsenergie eines qm harmonischen Oszillators; warum? Warum soll es sich überhaupt um einen harmonischen Oszillator handeln? Diese Nullpunktsenergie entspricht üblicherweise einer inneren Energie, also einem Schwingungszustand. Wenn du aber ein ideales Gas ohne innere Freiheitsgrade betrachtest, dann zählen nur die Freiheitsgrade für die Translation (Rotation entfällt ebenfalls) und damit hast du keine untere Grenze fürdie Energie eines Gasteilchens. Wenn du dir die Ableitung oben ansiehst, dann wirst du feststellen, dass die exakte Form der Nullpunktsenergie in die Betrachtung überhaupt nicht eingeht.
Die Nichterreichbarkeit des absoluten Nullpunktes der Temperatur (dritter Hauptsatz der Termodynamik) besagt auch weniger, dass der Temperaturnullpunkt nicht existiert, sondern dass er praktisch nicht erreichbar ist.
Noch ein letztes Beispiel, warum die Argumentation mit der Energie problematisch ist: ein entartetes Fermigas nahe des absoluten Temperaturnullpunktes hat aufgrund der Fermi-Dirac-Statistik keinesweges die Energie Null; vielmehr sind alle Energieniveaus bis zur Fermi-Energie besetzt (Fermionen können nicht alle im Grundzustand sitzen). Beispiele für ein entartetes Fermigas mit hoher mittlerer Energie der einzelnen Teilchen sind Elektronen in ultrakalten Metallen, Helium-3, sowie Neutronen in Neutronensternen.
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 15. Sep 2011 01:50 Titel: |
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- ich gehen von x Teilchen aus die alle untereinader verbunden sind einem Feststoff
- die wahl der Nullpunktsenergie ist nicht willkürlich, da der energetisch niedrigsten Zustand nur der E = h/(2*pi)*w/2 sein kann
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Nichterreichbarkeit des absoluten Nullpunktes der Temperatur (dritter Hauptsatz der Termodynamik) besagt auch weniger, dass der Temperaturnullpunkt nicht existiert, sondern dass er praktisch nicht erreichbar ist. |
- > dass der Temperaturnullpunkt nicht existiert
- dem nach muss es eine minimalste existierende Temperatur geben.
- > sondern dass er praktisch nicht erreichbar ist
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
- weil immer ein Rest Energie (die Nullpunktsenergie) übrieg bleibt von E = h/(2*pi)*w/2
Ich habe nirgends geschrieben das die Energie Null ist, nur das sie nicht unter den Wert von E = h/(2*pi)*w/2 fallen kann.
Selbst Neutronensterne und schwaze Löcher habe eine Temperatur, die dann aber gleich oder oberhalb der Temperatur der Hintergrundstahlung liegen muss, sonst würden sie nämlich Energie aus ihre Umgebung in sich aufnehmen um die Temperatur der Hintergrundstahlung zu erreichen.
„Nullter“ Hauptsatz der Thermodynamik:
- Stehen zwei Systeme jeweils mit einem dritten im thermodynamischen Gleichgewicht, so stehen sie auch untereinander im Gleichgewicht |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 15. Sep 2011 07:06 Titel: |
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| Maeik hat Folgendes geschrieben: | - ich gehen von x Teilchen aus die alle untereinader verbunden sind einem Feststoff
- die wahl der Nullpunktsenergie ist nicht willkürlich, da der energetisch niedrigsten Zustand nur der E = h/(2*pi)*w/2 sein kann
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Für diesen Spezialfall vielleicht. Der dritte Hauptsatz ist aber davon unabhängig; siehe den Wikipedia-Link mit Herleitung.
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | - dem nach muss es eine minimalste existierende Temperatur geben. |
Nein. Die niedrigste Temperatur ist Null Kelvin, und sie ist auch für nicht diskrete Energiewerte wie im Falle des idealen Gass nicht ereichbar; man kann sich ihr nur asymptotisch beliebig nahe annähern.
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
- weil immer ein Rest Energie (die Nullpunktsenergie) übrieg bleibt von E = h/(2*pi)*w/2 |
Wo hast du das her?
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe nirgends geschrieben das die Energie Null ist, nur das sie nicht unter den Wert von E = h/(2*pi)*w/2 fallen kann. |
Aber das stimmt i.A. nicht.
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | Selbst Neutronensterne und schwaze Löcher habe eine Temperatur, die dann aber gleich oder oberhalb der Temperatur der Hintergrundstahlung liegen muss, ... |
Das ist aber keine Eigenschaft der Neutronensterne sondern der Hintergrundstrahlun und ist nicht Kern meines Argumentes. Mir geht es darum, dass die Größe der Nullpunktsenergie E° und der Nullpunkt der Temperatur T=0 wenig miteinander zu tun haben. In der Herleitung fällt die Nullpunktsenergie nämlich heraus! Im Falle eines Neutronensternes hast du eine gigantische Nullpunktsenergie aufgrund der Fermi-Verteilung, kommst dem Temperaturnullpunkt jedoch trotzdem beliebig nahe.
Anders ausgedrückt: Sei E° die Nullpunktsenergie gleich der Summe über alle Neutronenenergien
Dann kann der Neutronenstern trotzdem Temperaturen annehmen, für die
gilt. Siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Fermi-Verteilung
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 15. Sep 2011 19:00 Titel: |
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| de.wikipedia.org/wiki/Nullpunktsenergie hat Folgendes geschrieben: | | Die Nullpunktsenergie ist die Energie, die ein quantenmechanisches System in seinem Grundzustand besitzt; dies ist zugleich das niedrigste Energieniveau, welches das System überhaupt annehmen kann. In thermodynamischen Systemen, die Energie mit ihrer Umgebung austauschen, ist die Nullpunktsenergie damit auch gleich der Energie des Systems am absoluten Temperaturnullpunkt. |
0 K gibt es nicht.
weil die Heisenbergsche Unschärferelation existiert
(das Wasserstoffatom "tanz" wegen der Heisenbergsche Unschärferelation "Lamb-Verschiebung")
@TomS
- > sondern dass er praktisch nicht erreichbar ist
stammt von: Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Maeik hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe nirgends geschrieben das die Energie Null ist, nur das sie nicht unter den Wert von E = h/(2*pi)*w/2 fallen kann. |
Aber das stimmt i.A. nicht. |
wo steht bei mir das die Energie Null ist?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | dass die Größe der Nullpunktsenergie E° und der Nullpunkt der Temperatur T=0 wenig miteinander zu tun haben. |
Nullpunktsenergie ist mit der Energie der Nullpunktsfluktuation gleichzusetzen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im Falle eines Neutronensternes hast du eine gigantische Nullpunktsenergie |
ja das x-Fache von E = h/(2*pi)*w/2 aber nicht unter E = h/(2*pi)*w/2
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Dann kann der Neutronenstern trotzdem Temperaturen annehmen, für die
gilt. |
kann er so halt nicht
demnach ist der „Nullter“ Hauptsatz der Thermodynamik
NICHT GÜLTIG !!??
dann kühl mir mal ein Feststoff im Vakuum des Alls auf unter 2,725K ab, der Feststoff soll aber nur maximal mit einer seiner Fläche mit anderen "Körpern" in kontakt stehen und die restlichen Flächen "stehen in kontakt" mit der Hintergrundstrahlung.
halte dann die erreichte Temperatur von unter 2,725K ohne zutun von "Technischen Sachen"
alles im All kann keine Temperatur unter 2,725K besitzen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 16. Sep 2011 17:28 Titel: |
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| Maeik hat Folgendes geschrieben: | wikipedia.org/wiki/Nullpunktsenergie
Die Nullpunktsenergie ist die Energie, die ein quantenmechanisches System in seinem Grundzustand besitzt; dies ist zugleich das niedrigste Energieniveau, welches das System überhaupt annehmen kann. In thermodynamischen Systemen, die Energie mit ihrer Umgebung austauschen, ist die Nullpunktsenergie damit auch gleich der Energie des Systems am absoluten Temperaturnullpunkt.
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Ich weiß was die Nullpunktsenergie ist.
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | 0K gibt es nicht.
weil die Heisenbergsche Unschärferelation existiert
(das Wasserstoffatom "tanz" wegen der Heisenbergsche Unschärferelation "Lamb-Verschiebung") |
Ein Wasserstoffatom mit exakt Impuls Null hat auch exakt die kinetische Energie Null. Wenn du davon sehr viele hättest, dann hättest du auch die Gesamtenergie Null und Temperatur Null. Das ist übrigens mit der Heisenbergschen Unschärfenrelation verträglich. Diese besagt nämlich NICHT, dass der Impuls Null nicht zulässig wäre, sondern dass WENN der Impuls exakt einen bestimmten Wert (z.B. Null) hat, dass dann der Ort beliebig unbestimmt wird. Die Lambshift hat NICHTS mit der Unschärfenrelation zu tun sondern ist ein Korrekturterm aus der Quantenfeldtheorie, geht also über die Quantenmechanik hinaus. Die INNERE Energie des Wasserstoffatoms (und nur dazu trägt die Lambshift bei) hat wiederum NICHTS mit Temperatur zu tun.
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | dann kühl mir mal ein Feststoff im Vakuum des Alls auf unter 2,725K ab, der Feststoff soll aber nur maximal mit einer seiner Fläche mit anderen "Körpern" in kontakt stehen und die restlichen Flächen "stehen in kontakt" mit der Hintergrundstrahlung. |
Es geht NICHT um den nullten Hauptsatz, sondern um den dritten. Stell dir das All in vielen Milliarden Jahren vor. Dann ist die Hintergrundstrahlung beliebig kalt, insbs. kann sie der Temperatur T=0 beliebig nahe kommen.
Generell: Du verstehst die gesamte Argumentation nicht. Du verwechselst innere Energie mit Temperatur. Du argumentierst ständig mit einer minimalen Energie, die aus Nullpunktsfluktuationen stammt, und schließt darauf auf eine minimale Temperatur. Das stimmt nicht.
Nochmal zusammengefasst: Die Grundzustandsenergie eines harmonischen Oszillators gilt nur für diesen; in anderen Systemen gilt das nicht. Insbs. ist die Grundzustandsenergie (kinetische Energie) für ein Gas wechselwirkungsfreier Teilchen EXAKT NULL! Dieser Energienullpunkt existiert, er wird keineswegs durch eine Nullpunktsenergie oder die Unschärfenrelation verboten. Er ist tatsächlich gemäß des dritten Hauptsatzes der Thermodynamik nicht exakt erreichbar. Das liegt jedoch NICHT in der Quantenmechanik alleine begründet. Ein System kann durchaus eine sehr hohe Energie und trotzdem die Temperatur Null haben. Bsp.: Ein Neutronenstern kann beliebig kalt werden (nicht kälter als die kosmische Hintergrundstrahlung, aber über eine beliebig lange Abkühlzeit derselben beliebig kalt). Trotzdem haben die Neutronen in ihm eine extrem hohe Grundzustandsenergie aufgrund der Fermiverteilung. D.h. die einfache Annahme, irgendeine Energie E zu nehmen und daraus irgendeine Temperatur T gemäß E = kT abzuleiten, ist nicht immer erlaubt! Schau dir bitte nochmal den Wikipedia-Link für die Fermiverteilung an und versuche das zu verstehen. Die Fermionen haben im Grundzustand für T=0 eine sehr hohe Energie.
Ich weiß nicht, wo und wie du dir dein Wissen aneignest, aber ich habe den Eindruck, dass du zwar die Einzelthemen teilweise verstehst, aber oft falsche Zusammenhänge konstruierst.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 16. Sep 2011 19:01 Titel: |
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Mal eine generelle Frage: glaubst du mir meine Argumentation, wenn ich sie dir explizit an einem einfachen Beispiel vorrechne? Oder soll ich mir die Mühe sparen? Theoretische Physik kann man letztlich nur in Formeln exakt ausdrücken, Worte können die Formeln erklären, aber nicht ersetzen.
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 16. Sep 2011 22:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Du argumentierst ständig mit einer minimalen Energie, die aus Nullpunktsfluktuationen stammt, und schließt darauf auf eine minimale Temperatur. Das stimmt nicht. |
Die Nullpunktsfluktuationen erzeugen die minimalste Energie die ein "Stoff" immer hat. Es ist aber meistens ein Vielfaches dessen, weil ein "Stoff" nicht nur aus einem Teilchen besteht.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Du verwechselst innere Energie mit Temperatur. |
So ist das nicht, ohne einen "Stoff" der mit Energie "in berührung kommt" gibt es auch keine Temperatur, da die Temperatur eine Stoffeigenschaft ist.
| de.wikipedia.org/wiki/Fermi-Verteilung hat Folgendes geschrieben: | [Die Fermi-Verteilung] gibt unter dieser Zusatzvoraussetzung an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fermion eine Energie E zu gegebener Temperatur T hat.
[...]
Die Temperatur, bei der die thermische Energie kBT der Fermi-Energie entspräche, wird als Fermi-Temperatur Tf bezeichnet. Diese Begriffsbildung dient nur dem Charakterisieren einer Temperaturskala (s. u.) und hat nichts mit der realen Temperatur der Fermionen zu tun. Für Metalle liegt Tf über 10000 K. |
mit welcher Wahrscheinlichkeit....
und nicht das die Fermion genau diese Energie zu gegebener Temperatur haben
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Fermi-Temperatur ist nicht die physikalische Temperatur eines "Stoffes" |
ich rede hir nicht von der "Fermi-Temperatur"
sondern von der physikalische Temperatur die ein "Stoff" hat und die physikalische Temperatur wird durch die Bewegung der Teilchen aus dem der "Stoff" besteht verursacht.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich weiß nicht, wo und wie du dir dein Wissen aneignest |
nach deiner ersten Antwort und ein "hauch" Vorwissen davor.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | glaubst du mir meine Argumentation, wenn ich sie dir explizit an einem einfachen Beispiel vorrechne? |
dann lass mal hören, oder vieleicht ist es so nicht nötig?
[Ich habe die Zitate, die in deinen Beiträgen durch @TomS gekennzeichnet waren soweit möglich verbessert. Bitte nutze die Möglichkeit des Forums, auf diese gezeigte Weise zu zitieren. Der zitierte Teil ist so wesentlich klarer von deinem eigenen Beitrag zu unterscheiden. Konsequente Satzzeichen, Recht-, sowie Groß- und Kleinschreibung könnten die Lesbarkeit noch weiter steigern. para.] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 17. Sep 2011 08:13 Titel: |
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| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Du argumentierst ständig mit einer minimalen Energie, die aus Nullpunktsfluktuationen stammt, und schließt darauf auf eine minimale Temperatur. Das stimmt nicht. |
Die Nullpunktsfluktuationen erzeugen die minimalste Energie die ein "Stoff" immer hat. Es ist aber meistens ein Vielfaches dessen, weil ein "Stoff" nicht nur aus einem Teilchen besteht.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Du verwechselst innere Energie mit Temperatur. |
So ist das nicht, ohne einen "Stoff" der mit Energie "in berührung kommt" gibt es auch keine Temperatur, da die Temperatur eine Stoffeigenschaft ist.
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Das ist wirklich der Kern des Problems: nicht jede Energie, die in einem bestimmten Stoff "vorhanden ist" trägt auch zu dessen Temperatur bei. Insbs. die Nullpunktsenergie (die systemabhängig ist) muss davon ausgenommen werden. D.h. dass, wie ich oben schon argumentiert habe, ein Körper durchaus eine niedrigere Temperatur T haben kann, du unter dem Wert E°/k liegt. Ich rechne dir das an einem einfachen Beispielen vor - heute abend, jetzt ist erst mal Wochenende ...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 19. Sep 2011 23:03 Titel: |
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Wir betrachten zunächst mal ein einfaches System, nämlich einen fermionischen, eindimensionalen harmonischen Oszillator mit insgs. 2N wechselwirkungsfreien Teilchen.
Der Grundzustand (bei T=0) lautet
Jedes Energieniveau n=0,1,2,…,N wird von jeweils zwei Fermionen, jeweils einem mit s=+½ bzw. s=-½ besetzt. Neue Fermionen besetzen jeweils höhere Energieniveaus, da aufgrund des Pauli-Prinzips nie zwei Fermionen denselben Zustand besetzen können. Die Energieniveaus n=N,N+1,… bleiben im Grundzustand unbesetzt.
Die Energienivaus für n=0,1,2,… sind gegeben durch
)
Die Grundzustandsenergie beträgt
Der erste angeregte Zustand lautet
Dabei wurde ein Fermion aus dem (N-1)-ten Niveau in das N-te Niveau angehoben. Die dazu notwendige Anregungsenergie beträgt
Betrachten wir im Vergleich dazu das selbe Potential, jedoch jetzt gefüllt mit 2N Bosonen. Hier sitzen nun alle Bosonen im niedrigsten Energieniveau, d.h. der Grundzustand lautet
Die Grundzustandsenergie beträgt
Der erste angeregte Zustand lautet
Die dazu notwendige Anregungsenergie beträgt wie im fermionischen Fall
Wichtig ist zunächst, dass die Grundzustandsenergie bei T=0 exakt berechenbar und größer Null ist. Zudem ist die Grundzustandsenergie abhängig davon, aus welchen Teilchen (Bosonen oder Fermionen) das System besteht. Im Falle von Fermionen wächst die Grundzustandsenergie quadratisch mit der Zahl der Teilchen.
Diese Grundzustandsenergie existiert unabhängig von einer Temperatur T>0; koppelt man das jeweilige System an ein Wärmebad, z.B. an die kosmische Hintergrundstrahlung, so werden mit zunehmender Temperatur T mehr Teilchen in höhere Zustände angeregt. Damit wächst die mittlere Energie des Systems als Funktion der Temperatur.
Wichtig: aufgrund der Wechselwirkungen mit den thermischen Fluktuationen des Wärmebads werden die Teilchen natürlich nie exakt und konstant in einem bestimmten Zustand bleiben. So wird sich bei extrem tiefen Temperaturen das System tatsächlich teilweise im Grundzustand befinden, teilweise aber auch in angeregten Zuständen. D.h. die Temperatur des Systems ist nicht exakt bekannt, jedoch kann man den Erwartungswert berechnen.
Für Fermionen ist die Wahrscheinlichkeit der Besetzung eines Energieniveaus E bei Temperatur T gegeben durch die Fermi-Dirac-Verteilung
 = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon -\epsilon _F)}+1}; \quad \beta = \frac{1}{kT})
Diese Funktion (siehe Wikipedia) ist fürT=0 exakt eine Stufenfunktion. Unterhalb der sog. Fermienergie sind alle Zustände mit einer Wahrscheinlichkeit 1 besetzt, oberhalb sind sie leer. Für T>0 weicht diese Stufenfunktion auf, was letztlich der Fluktuation der Fermionen zwischen verschiedenen Energieniveaus nahe der Fermienergie entspricht. Mit wachsender Energie werden diese Fluktuationen stärker, d.h. es werden mit wachsender Wahrscheinlichkeit auch höhere Energieniveaus besetzt.
Betrachten wir nun ein wechselwirkungsfreies Fermigas in drei Dimensionen. Die Energie eines Fermions ist gegeben durch seinen Impuls p
Die innere Energie des Gases ist dann gegeben durch
 \sim\,\beta\,\int_0^\infty dp\,p^6\,\frac{ e^{\beta(\epsilon_p -\epsilon _F)}}{ e^{\beta(\epsilon_p -\epsilon _F)} +1})
Der Integrand entspricht einer Deltafunktion lokalisiert beim Fermiimpuls.
Das Integral kann nicht exakt berechnet werden, jedoch erhält man für extrem niedrige Temperaturen T (und nach Bestimmung der Fermienergie) eine asymptotische Entwicklung
^2 + \ldots\right])
Der erste Term entspricht der Grundzustandsenergie bei T=0, der zweite Term einer quadratischen Korrektur proportional zu kT, wobei für die Temperatur sowie die Fermienergie die Beziehung
gelten muss. D.h. die obige asymptotische Entwicklung ist gültig für Temperaturen deutlich unterhalb der durch die Fermienergie definierte Temperatur. Anders gesagt gilt diese Abschätzung für Temperaturen, deren thermische Fluktuationen wesentlich kleiner sind als die Grundzustandsenergie! Das ist wichtig für meine Argumentation aus den vorherigen Beiträgen: Die Grundzustandsenergie des wechselwirkungsfreien Fermigases (mit N Fermionen) beträgt
Für die Energie der thermischen Fluktuationen, d.h. für den zweiten Term ~(kT)² bei niedrigen Temperaturen, gilt also
Nun zur Gültigkeit des dritten Hauptsatzes: Für die spezifische Wärme (je Teilchen) bei konstantem Volumen, wiederum bei bei niedrigen Temperaturen, gilt
_V \sim\frac{kT}{\epsilon_F})
Die spezifische Wärme verschwindet linear für T gegen 0; damit ist der dritte Hauptsatz in diesem Fall gültig (der dritte Hauptsatz wurde noch nicht allgemein bewiesen, jedoch für eine große Klasse von Quantensystemen).
Nochmal zum Kern meiner Argumentation: nicht jede Energie, die in einem bestimmten Stoff "vorhanden ist" trägt auch zu dessen Temperatur bei. Insbs. die Nullpunktsenergie (die systemabhängig ist) muss davon ausgenommen werden. D.h. dass ein Körper durchaus eine beliebig niedrige Temperatur T~0 haben kann, auch wenn seine Gesamtenergie E deutlich größer als 0 ist. Im Falle des (entarteten) Fermigases liegt aufgrund des Pauliprinzips für tiefe Temperaturen T~0 eine extrem hohe Nullpunktsenergie vor. Die thermischen Fluktuationen der Energie zusäzlich zur Nullpunktsenergie skalieren hier nicht mit (kT) sondern mit (kT)². Trotzdem ist der dritte Hauptsatz nachweislich erfüllt.
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 22. Sep 2011 00:04 Titel: |
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alles was du bis jetzt geschrieben hast brut auf der Annahme, dass ich Elementarteilchen meine, dies ist aber nicht so
ich meine ganze "Stoffe" so wie zum Beispiel makroskopisch große Kristalle wie Kristalle aus Kohlenff,Silizium, Eisen, Schwefel,.....
und nicht Elementarteilchen wie Protonen. Neutronen, Elektronen,.... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 22. Sep 2011 01:32 Titel: |
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| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | alles was du bis jetzt geschrieben hast brut auf der Annahme, dass ich Elementarteilchen meine, dies ist aber nicht so ... |
Das stimmt nicht.
Was ich hier diskutiert habe funktioniert immer, u.a. exakt so im Falle des Elektronengases in einem Festkörper wie in einem Metall. Wenn du ein reales Metall als ganzes betrachten möchtest, dann kommen theoretisch noch die Beiträge der Atomrümpfe hinzu, die sind aber vergleichsweise klein (da die Beweglichkeit der Elektronen viel größer ist als die der Kerne - einfach aufgrund der kleineren Masse). Aber auch dafür benötigst du genau diesen Formalismus.
Der Stärke des Ansatzes der Quantenstatistik liegt ja gerade darin begründet, dass er universell ist. Z.B. ist es für die Argumentation ziemlich egal, ob ich ein freies Elektronengas in drei Dimensionen oder den eindimensionaen fermionischen Oszillator betrachte. Natürlich ergeben sich Änderungen im Detail, aber die grundsätzliche Argumentation ist immer identisch.
Nochmal meine Zusammenfassung, d.h. der Kern der Argumentation:
Nicht jede Energie, die in einem bestimmten Stoff "vorhanden ist" trägt auch zu dessen Temperatur bei. Insbs. die Nullpunktsenergie (die systemabhängig ist) muss davon ausgenommen werden. D.h. dass ein (makroskopischer) Körper durchaus eine beliebig niedrige Temperatur T~0 haben kann, auch wenn seine Gesamtenergie E deutlich größer als 0 ist. Im Falle des (entarteten) Fermigases (z.B. in einem ultrakalten Metall, He³ oder einem Neutronenstern) liegt aufgrund des Pauliprinzips für tiefe Temperaturen T~0 eine extrem hohe Nullpunktsenergie vor. Die thermischen Fluktuationen der Energie zusäzlich zur Nullpunktsenergie skalieren hier nicht mit (kT) sondern mit (kT)². Trotzdem ist der dritte Hauptsatz nachweislich erfüllt.
Was genau meinst du denn, was an meiner Argumentation nicht klappt?
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 23. Sep 2011 19:38 Titel: |
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Ich versuche es mal an einem Beispiel (real vermutlich technisch nicht so zu lösen)
Ich habe eine Kammer ( die Kammer schirmt alles von außen ab, alles, von der Kammerwand geht auch keine Strahlung in das innere) die innen absolut Teilchen frei ist ( keine Elementarteilchen in dieser Kammer)
in dieser Kammer ist nun ein Stoff ( der einfachhalt halber ein makroskopisch großer Kohlenstoffkristall) der die Wende der Kammer nicht berührt, welche Temperatur hat der Stoff, wenn so auch nur die Nullpunktsenergie als "Energiequelle" in der Kammer ist, weil sie sich nicht abschrimen lässt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 23. Sep 2011 20:50 Titel: |
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| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | Ich versuche es mal an einem Beispiel (real vermutlich technisch nicht so zu lösen) |
Macht nichts; dein Beispiel ist gut.
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe eine Kammer ... |
Also zunächst mal absolutes Vakuum in einer ideal abschirmenden Kammer.
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | in dieser Kammer ist nun ein Stoff ... |
OK
| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | welche Temperatur hat der Stoff, wenn so auch nur die Nullpunktsenergie ... in der Kammer ist, weil sie sich nicht abschrimen lässt? |
Meinst du die Nullpunktsenergie des Vakuums, also Vakuumfluktuationen z.B. des elektromagnetischen Feldes und weiterer Felder? Oder meinst du die Nullpunktsenergie der Teilchen, aus denen der Körper (Kohlenstoff) besteht?
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 23. Sep 2011 23:51 Titel: |
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Macht nichts; dein Beispiel ist gut.
absolutes Vakuum in einer ideal abschirmenden Kammer
JA.
ideal abschirmenden Kammer, wird technisch nicht möglich sein da ja Hohlraumstrahlung im inneren auftritt.
Nullpunktsenergie des Vakuums.
die jenige die wie ich es beschreiben würde, das Wasserstoffatom "3-D mäßig tanzen lasst". |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 24. Sep 2011 01:08 Titel: |
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| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | Nullpunktsenergie des Vakuums. |
Im Rahmen der Quantenmechanik würdest du nur den makroskopischen Körper aus mikroskopischen Freiheitsgraden (Atomrümpfen, Elektronen) aufbauen; deren Nullpunktsenergie trägt - wie ich oben gezeigt habe - nicht zur Temperatur bei, d.h. die Temperatur des Körpers kann beliebig klein werden = beliebig nahe bei T=0K liegen.
Erst im Rahmen der Quantenfeldtheorie (also z.B. der Quantenelektrodynamik) würdest du auch Vakuumfluktuationen mit berücksichtigen. Ich kenne mich zwar mit der QED sehr gut aus, allerdings nicht mit der QED bei endlicher Temperatur T>0K. Meine Vermutung ist, dass auch hier wieder T=0K prinzipiell erreichbar ist (allerdings nicht praktisch und z.B. nur für unendliche Abkühlzeit).
Ist aber eine gute Frage, ich hör' mich da mal um.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Sep 2011 08:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 24. Sep 2011 21:02 Titel: |
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Ist aber eine gute Frage, ich hör' mich da mal um.
Ich warte auf deine Antwort 
solange TomS auf der suche nach der passen Antwort ist, kann sich ja jeder der eine passende Antwort weiß oder vieleicht weiß hir mit ein klinken, mal sehen was so zusammen kommt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2011 08:14 Titel: |
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Tja, ich finde keine wirklich gute Erklärung.
Ich fasse das mal so zusammen: Gegeben sei ein Quantensystem mit exakt bekannten Eigenzuständen sowie Quantenvakuum mit Vakuumfluktuationen. Ist es möglich, diesen Fluktuationen eine Temperatur zuzuordnen bzw. ist es möglich, dass der Begriff "Temperatur des Vakuums" aus diesen Vakuumfluktuationen abgeleitet werden kann?
Ist das die Fragestellung?
Ich kenne keine Möglichkeit, den Begriff Temperatur sozusagene abzuleiten. Statt dessen wird Temperatur m.W.n. immer "von Hand" eingeführt aufgrund unserer (teilweisen) Unkenntnis über Quantenzustände. Dies gilt nicht nur für Vakuumfluktuationen sondern generell.
Mathematisch gesprochen: ich kenne keine Möglichkeit, aus einem reinen Quantenzustand einen gemischten Zustand abzuleiten, so dass der statistische Operator und die darin auftretenden Temperatur als abgeleitete Größen aus dem reinen Zustand erscheinen.
Damit können Vakuumfluktuationen prinzipiell nicht als Temperatur uminterpretiert werden.
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Noch etwas: man kann trefflich über die "Realität von Vakuumfluktuationen" spekulieren. Üblicherweise werden diese gewissermaßen aus der Theorie eliminiert (Normalordnung des Hamiltonoperators bzw. Renormierung). Nun wird üblicherweise der Casimireffekt als "Beweis" für die "Realität der Vakuumfluktuationen" angeführt. Jaffe argumentiert jedoch, dass dem im wesentlichen eine Näherung (!) zugrundeliegt, die in bestimmten Fällen (ideal leitende Platten) exakt wird. In einer exakten Ableitung erscheint der Casimireffekt jedoch als "gewöhnlicher" störunsgtheoretischer Effekt erster Ordnung, sozusagen als eine Art van-der-Waals-Kraft. Insbs. werden bei dieser exakten Herleitung keine Vakuumfluktuationen (Feynmandiagramme ohne äußeren Linien) betrachtet, sondern ausschließlich Feynmandiagramme mit äußeren Linien zwischen Ladungen.
http://cua.mit.edu/8.422_s07/jaffe2005_casimir.pdf
Damit entfällt evtl. auch etwas die Motivation, Vakuumfluktuationen als Temperatur umzuinterpretieren.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 29. Sep 2011 18:53 Titel: |
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nur ist so leider immer noch nicht geklärt welche Temperatur nun der Stoff (Kohlenstoffkristall, zum Beispiel 1000 mm^3) in der ideal abgeschirmten Kammer hatt?
man müsst für diese Frage mal soweit es technisch möglich Versuche durch füren, oder an einer Uni mal solch eine versuch starten.
sonst währe es ja klar, da ja Hohlraumstrahlung im inneren auftritt (wenn der Stoff keinen kontakt zu mindestes einer Kammerwand hatt) erhöht dies die Bewegungesenergie der Teilchen im Stoff und so auch dessen Themperatur bis zu einem bestimmten Wert. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 29. Sep 2011 19:05 Titel: |
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| Maeik hat Folgendes geschrieben: | | nur ist so leider immer noch nicht geklärt welche Temperatur nun der Stoff ... in der ideal abgeschirmten Kammer hatt? |
Ganz einfach.
Ich sehe zwei Fälle:
A) Die Kammer reflektiere von außen einfallende Strahlung ideal, lasse jedoch die Strahlung des Körpers ungehindert nach außen passieren; das entspräche dem Fall, dass der Körper sich in einem unendlich ausgedehnten Raum mit T=0 befindet
→ Der Körper kühlt ab (durch Abgabe von Strahlung) und wird beliebig kalt, d.h. seine Temperatur T nähert sich asymptotisch beliebig nahe T=0 an.
B) Die Kammer reflektiere sowohl von außen einfallende Strahlung als auch die des Körpers im Inneren ideal; damit befindet sich der Körper im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung
→ Der Körper behält die Temperatur, mit der man ihn ursprünglich in die Kammer eingebracht hat.
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Maeik
Gast
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| Maeik Verfasst am: 29. Sep 2011 21:37 Titel: |
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bei b)
ist mir es klar, wenn nichts raus kann bleibt alles "beim alten"
bei a)
aber bin ich immer noch überzeugt das der Stoff T=0 nie erreichen wird, das die Bewegung der "Stoffteichen" nur bis zu einem bestimmten Wert sinken kann, nur dann stellt sich die Frage wie hoch ist dieser Wert ist.
quantum-history.mpiwg-berlin.mpg.de/eLibrary/sources/annalen/Einst_Einig_de_1913/getFullTextXML
dieter-heidorn.de/Physik/SS/K11_Quanten/K3_Quantenmechanik/K31_Unbestimmtheit/K31_Unbestimmtheit.html
-> 2. Nullpunktsenergie
wikipedia.org/wiki/Temperatur#Temperatur.2C_thermische_Energie_und_der_Nullte_Hauptsatz_der_Thermodynamik
-> Temperatur, thermische Energie und der Nullte Hauptsatz der Thermodynamik |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18052
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| TomS Verfasst am: 30. Sep 2011 00:15 Titel: |
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Also jetzt nochmal ganz langsam ...
A) Der Körper kühlt ab und wird beliebig kalt, d.h. seine Temperatur T nähert sich asymptotisch beliebig nahe T=0 an.
So formuliert man das exakt. Beliebig nahe bedeutet, so nahe du möchtest, aber sozusagen nicht exakt Null. Und asymptotisch bedeutet, dass es entsprechend unendlich lang dauern würde, bis T=0 exakt erreicht ist. Ein gutes Beispiel für eine Abkühlungskurve ist eine e-Funktion.
Und ich habe bereits mehrfach erklärt - und auch vorgerechnet - dass Nullpunktsenergie und Temperatur wenig miteinander zu tun haben. Die Grundzustandsenergie kann extrem hoch sein, trotzdem ist die Temperatur beliebig nahe bei T=0. Insbs. gilt für die Nullpunktsenergie E und die Temperatur T i.A. nicht E = kT. Z.B. hast du in meinem Beispiel einen Zusammenhang der Form
 = E_0 + a\,(kT)^2)
d.h. beim Abkühlen des Stoffes auf (asymptotisch) T=0 bleibt eine nichtverschwindende Nullpunktsenergie, die nicht zur Temperatur beiträgt.
... Ich wüsste jetzt nicht, welche Frage noch unbeantwortet ist.
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