Warum gibt es genau acht Quarks?

Hans-Günther Freibier · Anmeldungsdatum: 10.05.2011 Beiträge: 1

Meine Frage:
Warum gibt es genau acht Quarks?

Meine Ideen:
Das liegt wohl an der SU(3) Symmetrie, aber woraus folgt das genau?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Da hast du wohl etwas missverstanden, es gibt nicht acht Quarks, wobei man da auch noch sagen muss, bzgl. welcher Symmetriegruppe man zählt.

Zunächst gibt es in der QCD zwei wesentliche Symmetrien, ...

... zum einen eine globale, jedoch durch die unterschiedlichen Quarkmassen gebrochene SU(6). Dies entspricht den sechs Quarks (up, down, strange, charme, top, bottom), die man üblicherweise (so wie die anderen Fermionen) in drei Generationen zu je zwei Quarks einteilt, also (up, down), (strange, charme), (top, bottom). Diese globale Symmetrie hat letztlich nichts mit der starken WW zu tun.

... zum anderen eine lokale SU(3) Eichsymmetrie, unter der drei Quarks in der fundamentalen, sowie acht Gluonen in der adjungierten Darstellung transformieren. Man stelle sich dazu die Quarks als Spinorfelder mit drei zusätzliche "Farb"-Indizes i=1,2,3 vor, d.h.

Eine SU(3) Transformation wird geschrieben als

wobei a=1..8 nun ein Index der adjungierten Darstellung ist; die T's sind dabei acht Matrizen der Dimension drei, d.h. mit zwei Farb-Indizes i,k=1..3

die theta's entsprechen den verallgemeinerten Drehwinkeln.

Generell kann man jede SU(N) Transformation so darstellen, wobei immer a=1..N²-1, d.h. die SU(N) ist N²-1 dimensional = mit N²-1 Drehwinkeln und N*N Matrizen. Im Falle der SU(2) kommt dir das evtl. bekannt vor, da handelt es sich um die drei 2*2 Paulimatrizen.

Nun zu den Gluonen: diese leben in der acht-dimensionalen adjungierten Darstellung, d.h. sie entsprechen einer Verallgemeinerung des Vierepotentials der Elektrodynamik

mit a=1..8. Man kann auch eine Matrix-Repräsentation der Form

finden, d.h. man wählt wiederum die T's als Basis mit den acht A's als Komponenten und erhält 3*3 Matrizenfelder, weswegen man die Gluonen betrachten kann als Objekte die eine Kombination aus Farbe und Antifarbe tragen.

In dieser Darstellung ist die Eichtransformation der A's und q's recht übersichtlich.

Zuletzt noch die Frage warum nicht neun sondern acht: man kann durchaus eine neunte Matrix T°, also a=0, hinzunehmen, die dann jedoch der 3*3 Eineitsmatrix entspräche, d.h. man hätte ein neuntes Gluon, das jedoch farbneutral wäre und einem farblosen Photon entspräche - was man in der Natur nicht beobachtet.

Ich hoffe, das hilft als Einstieg.