Starke Kernkraft

Telperion · Anmeldungsdatum: 03.04.2011 Beiträge: 8

Hallo zusammen.

Ich lerne für mein Physikabitur (LK) und eine Frage beschäftigt mich schon seit längerem:
Wieso wirkt die starke Kernkraft nur in einem Radius von ca.

Metern?
Ich meine ein elektrisches Feld nimmt nach außen hin ja auch ab und "verschwindet" nicht einfach.

Die einize Idee die ich dazu habe ist, dass die Photonen ja keine elektrische Ladung tragen, also selbst nicht an der Wechselwirkung teilnehmen.
Könnte es vielleicht sein, dass die Teilchen, die für die starke Kernkraft verantwortlich sind, selbst eine Art Ladung haben, durch die sie dann an der starken Kernkraft teilnehmen und sich so irgendwie nach außen hin abschirmen oder Ähnliches?

Danke schonmal für alle Antworten. Thumbs up!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Das ist ziemlich kompliziert zu erklären.

Für die Kernkraft zwischen Protonen und Neutronen (gebundene drei-Quark-Zustände) kann man in einer gewissen Näherung Pionen (gebundene Quark-Antiquark-Zustände) verantwortlich machen. Man kann außerdem recht allgemein ein Potential für derartige Austauschteilchen herleiten, dieses lautet (ebenfalls in einer gewissen Näherung)

wobei m für die Masse des AUstauschteilchesn steht. Im Falle der elektromagnetischen Kraft handelt es sich dabei um das Photon, m=0, und das Potential reduziert sich auf das bekannte Coulompotential. Für Pionen ergibt sich aus dem exponentiellen Abfall jedoch eine geringere Reichweite, die eben ca. dem Durchmesser eines Atomkerns entspricht.

Mit der Ladung hat das indirekt ebenfalls etwas zu tun. Die Quarks sowie die sie bindenen Gluonen tragen eine komplizierte Ladung, die sogenannte Farbladung, die für die starke Bindung, d.h. für die Stabilität der Protonen, Neutronen, Pionen usw. verantwortlich ist. Die Pionen-Wechselwirkung erscheint als eine Art Überbleibsel dieser fundamentalen Farb-Kraft.

Telperion · Anmeldungsdatum: 03.04.2011 Beiträge: 8

Hallo TomS. Ich danke dir erstmal für die sehr ausführliche Erklärung! smile

Es scheint also wirklich viel komplizierter zu sein als ich eigentlich dachte. Mir fehlt wohl auch das nötige Wissen um diese Erklärung vollständig zu verstehen, dennoch habe ich einen Eindruck dazu gewonnen.
Danke nochmals dafür. Augenzwinkern

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Verstehst du die Formel für das Potential sowie den Unterschied zwischen 1/r und dem exponentiellen Abfall?

Telperion · Anmeldungsdatum: 03.04.2011 Beiträge: 8

Ich verstehe, warum sich das Potential bei m=0 auf

reduziert, allerdings habe ich keine Ahnung wie man darauf kommt. Nun ist die Frage ob die Herleitung für einen Physik LK Schüler nachvollziehen lässt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Für das 1/r Potential bzw. die 1/r² Abhängigkeit der Kraft gibt es das Bild der Feldlinien, die eine Kugelschale mit Radius r durchdringen; da die Fläche mit r² skaliert, skaliert die "Feldliniendichte" mit 1/r². Ein analogens Bild kenne ich für den exponentiellen Abfall nicht.

Die Herleitung des exakten Potentials folgt aus der Invertierung einer Differentialgleichung (Wellengleichung). Diese resultiert aus der Anwendung des Differentialoperators

Ich denke, du kennst diese Differentialgleichungen (zumindest offiziell gemäß LK-Stoff) nicht, oder?

In einer Dimension lautet die Gleichung für m=0

Du kannst dich davon überzeugen, dass eine beliebige Funktion f(t+x) oder f(t-x) diese DGL löst. Insbs. kannst du als Lösung eine Schwingung, also Cosinus oder Sinus mit dem entsprechenden Argument einsetzen. Diese Schwingung entspräche einer elektromagnetischen Welle (eigtl. müsste man hier mit den Maxwell-Gleichungen argumentieren, aber ich will es nicht zu kompliziert machen). Wenn du das verstanden hast, kannst du dir klarmachen, dass der Term m² im wesentlichen einer Dämpfung dieser Schwingung entspricht.

Das ist noch nicht das exakte Vorgehen bei der Ableitung des Potentials, aber es gibt ein paar Hinweise, wie an dabei vorgeht.

Telperion · Anmeldungsdatum: 03.04.2011 Beiträge: 8

Also ich kenne diese Gleichung nicht, habe mich nur mal mit der Mathematik der partiellen Ableitungen beschäftigt.
Das der Term m² eine Dämpfung der Schwingung ist habe ich nun verstanden.
Was nun die Invertierung der Differentialgleichung betrifft stehe ich wohl auf dem Schlauch, was aber wohl normal ist.
Es ist also viel komplizierter als ich dachte und die Wellengleichung verstehe ich nicht so wirklich (obwohl ich es gerne würde). Wie die Wellengleichung sich dann auf eine Dimension reduziert glaube ich verstanden zu haben.

Danke schonmal für deine Mühe einem Schüler sowas schweres zu erklären!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Wenn du die Wellengleichung in einer Dimension einigermaßen verstanden hast, dann verstehst du das Prinzip auch in drei Dimensionen - die Verallgemeinerung ist technisch etwas kompliziert, nicht jedoch konzeptionell.

Zur Invertierung der DGL müsstest du den Begriff der Fouriertransformation verstehen; wie sieht's damit aus?

Telperion · Anmeldungsdatum: 03.04.2011 Beiträge: 8

Puh, also mit der Fouriertransformation habe ich mich noch nicht auseinander gesetzt. Wenn ich das tun sollte könnte ich mich wohl mal in dem Wikipediaartikel einlesen?

Das Prinzip habe ich wohl in einer Dimension verstanden. Augenzwinkern

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Vielleicht zum einfacheren Überblick eine Zwischen-Erklärung auf allgemeinerer Ebene:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Die Differentialgleichung beschreibt ja die Ausbreitung einer Welle. Transformiert man den obige Differentialoperator mittels der (zweidimensionalen) Fouriertransformation

in den Impulsraum, so erhält man

Die Invertierung findet hier enfach algebraisch statt, was auf den sogenannten Propagator führt

De Frequenz sowie die Wellenzahl hängen (über die deBroglie-Beziehungen) mit Energie und Impuls zusammen; man kann stattdessen also auch schreiben

Der Nenner kommt dir evtl. bekannt vor; es handelt sich um den "relativistischen Pythagoras" für ein Teilchen der Ruhemasse m.

Dieser Propagator hat eine spezielle Bedeutung; er beschreibt (im Impulsraum) wie sich eine "Welle" ausbreitet, die zum Teilchen mit Masse m gehört. Der Hauptbeitrag kommt dabei von der Nullstelle des Nenners bei m².

In drei Dimensionen lautet der Propagator

Die Rücktransformation führt wieder auf eine Funktion im Ortsraum. Die Berechnung ist etwas verwickelt, man erhält letztlich soetwas wie

wobei D die Anzahl der Dimensionen des Impuls-Vektor, also des Orstraumes ist, in unserem Fall also D=3.

Achtung: Die Formel gilt nur für D=3 und höher!

Was bedeutet das? Das bedeutet, dass das Potential im Ortsraum im wesentlichen aus der "Ausbreitung" eines Teilchens der Masse m herstammt. Dieses Teilchen "propagiert" und überträgt dabei eine Kraft. In der Quantenfeldtheorie nennt man dieses Teilchen auch Austauschteilchen.

Kennst du das Huygensche Prinzip? Diesem zufolge entspricht jeder Punkt einer Wellenfront dem Ursprung einer neuen Kugelwelle; die neue Wellenfront erhält man durch Summation über alle diese Kugelwellen. Wenn du dich schon mal gefragt haben solltest, wie man das mathematsich exakt formuliert - im Impulsraum funktioniert genau mittels eines Propgataors.

Die obige Invertierung benutzt man nun, um eine Speziallösung zu berechnen, nämlich wie sich das Feld ausgehend von einer punktförmigen Ladung ausbreitet. Für allgemeine Ladungsverteilungen muss man wieder über alle Punkte (an denne eine Ladung sitzt) summieren. Die Ausbreitung des Feldes einer punktförmigen Ladung entspricht aber im wesentlichen dem Potential, das diese Ladung erzeugt. D.h. das Potential einer Punktladung sowie die Ausbreitung einer Wellenfront gemäß des Huygenschen Prinzips hängen eng miteinander zusammen. Das mathematische Bindeglied ist eben der sogenannte Propagator. Man erhält aus dem Ausbreitungsgesetz das Potential einer Punktladung.

http://en.wikipedia.org/wiki/Propagator#Relativistic_propagators

Telperion · Anmeldungsdatum: 03.04.2011 Beiträge: 8

Wow, erstmal Danke für eure ausführlichen Antworten, dermarkus und TomS. Thumbs up!

@dermarkus:
Dann bin ich ja froh, dass meine unmathematische Idee einigermaßen korrekt war.

@TomS:
Das Huygensche Prinzip kenne ich, damit haben wir die Interferenz von Licht erklärt.
Das die Invertierung einfach algebraisch funktioniert ist nun auch klar.
Den Nenner des Propagators kenne ich tatsächlich und auch die Umformung mithilfe der deBroglie-Beziehung ist klar.

Das Einzige, was mit unklar ist ist die Fouriertransformation, daran sollte ich mich wohl aber nicht stören.

Das Grundprinzip habe ich nun verstanden, vielen lieben Dank dafür und auch vielen Dank für die Mühe, die du dir gemacht hast; allzu einfach ist es ja nun wirklich nicht (für einen Schüler). smile

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Lies mal in dem letzten von mir genannten Wikipedia-Artikel nach, da wird das ganze ebenfalls erklärt. Die Fourier-Trf. ist nicht zwingend notwendig, allerdings ist ihre Verwendung an der Stelle Standard. Auch in der QFT könnte man die Rechnungen prinzipiell im Ortsraum durchführen, aber das ist nochmals um ein Vielfaches komplizierter.

Letztlich ist das Coulomb-Potential soetwas wie eine "elektromagnetische Kugelwelle zur Wellenzahl k=0"; für Teilchen mit Masse m>0 erhält man eine exponentiellen Dämpfungsterm, der die Reichweite entscheident dominiert.

Ich denke, damit sollte man es auf LK-Niveau belassen; bei Interesse gerne auch mehr ...

Telperion · Anmeldungsdatum: 03.04.2011 Beiträge: 8

Also mich interessiert das sehr. Ich schreibe am Donnerstag die Abiklausur. Könnten wir vielleicht danach, da ich ja jetzt auch noch die anderen Themenbereiche ein wenig wiederholen muss, noch ein bisschen weitermachen? Dann könnte ich mir den von dir geposteten Artikel nochmal genau durchlesen und mir auch mal die Transformation anschauen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Gerne - viel Erfolg!

Telperion · Anmeldungsdatum: 03.04.2011 Beiträge: 8

Dankeschön, ich melde mich dann nach der Klausur. smile