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seeb
Gast
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 seeb Verfasst am: 27. Apr 2005 12:10 Titel: Flussüberquerung und zurücklaufen |
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Der Fluss strömt schneller als man schwimmt (w > v).
Mann soll in möglichst kurzer zeit ans gegenüberliegende Ufer schwimmen dort Stromaufwärts mit u laufen und dann wieder zurück schwimmen.
Berechnen von t(w,u,v) in Abhängigkeit der Geschwindigkeiten
also ableiten um dass Minimum zu finden, aber wie lasse ich w > v damit einfliessen?
Danke schon mal für die Hilfe. |
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devzero
Anmeldungsdatum: 04.08.2004
Beiträge: 68
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| devzero Verfasst am: 27. Apr 2005 13:40 Titel: |
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Leider schreibst du nicht, nach welchem Parameter man optimieren soll. Natuerlich dauert das Schwimmen/Laufen umso kuerzer, je groesser v und u sind und je kleiner w, also die Stroemungsgeschwindigkeit, ist. Das duerfte klar sein, aber dann ist die Angabe w>v natuerlich nicht eingebaut.  |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 27. Apr 2005 13:44 Titel: |
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Es gibt keine parameter. Kann man die formel nicht allgemein so formulieren das man t erhält und w > v mitdrin hat? |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 27. Apr 2005 16:14 Titel: |
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Also die Schwimmgeschwindigkeit ist festgelegt, man muss quasi noch die beiden Winkel bestimmen unter dem man losschwimmen muss, versteh ich das richtig?
Das ist ja garnichtmal so einfach. Wie sieht denn bisher deine Rechnung aus? Spätestens wenn du das allgemeine Ergebnis hast müsste man sehen was w>v für Einschränkungen ergibt. Naja man weiß schon von vornerein, das er Flussabwerts ankommt, aber das vereinfacht die Sache ja auch irgendwie nicht, oder?
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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devzero
Anmeldungsdatum: 04.08.2004
Beiträge: 68
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| devzero Verfasst am: 28. Apr 2005 16:32 Titel: |
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Wenn, wie navajo vermutet, der Winkel, in dem man durch den Fluss schwimmt der freie Optimierungsparameter ist, dann wird daraus eine sinnvolle Aufgabe, in der sogar das  verwendet werden kann! Ich bezeichne den Winkel als  und bei  schimmt der Schwimmer genau senkrecht vom Ufer los, bei  genau in Stroemungsrichtung. Der Fluss habe eine Breite  . Zum einmaligen Ueberqueren dauert es dann  und in dieser Zeit wird der Schwimmer um eine Strecke  + w )) abgetrieben. Diese Strecke muss er zuruecklaufen, so dass er wieder auf der gleichen Hoehe wie sein Startpunkt ist. Das dauert  . Danach schliesst sich die zweite Ueberquerung und das Laufen an, was aber genauso lang wie die erste Ueberquerung dauert. Also dauert die ganze Aktion = 2 \left( t_{schwimm} + t_{lauf} \right)) .
Diesen Ausdruck kann man nun bezueglich optimieren, also } {\partial \alpha} =0 ) loesen. Das ergibt einen optimalen "Schwimmwinkel" von =\frac {-v}{u+w}) . Das Minuszeichen bedeutet, dass der Schwimmer gegen die Stroemung schwimmen muss. Ist , so ist der Sinus stets definiert (Ist er das nicht, so gibt meine Gleichung keine Loesung und die Trivialloesung  ist das Optimum). Um die Gesamtzeit auszurechnen, setzt man den optimalen Winkel ein und erhaelt das von seeb wohl gewuenschte Ergebnis =\frac{2 L}{u v} \sqrt{(u-v+w)(u+v+w)}) .
Zuletzt bearbeitet von devzero am 12. Mai 2005 22:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 28. Apr 2005 16:47 Titel: |
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| Zitat: | | Diese Strecke muss er zuruecklaufen, so dass er wieder auf der gleichen Hoehe wie sein Startpunkt ist. |
Huhu, meiner Meinung nach muss er noch weiter laufen, denn er wird beim schwimmen ja wieder abgetrieben so. Wenn er gegenüber vom Startpunkt losschwimmt, kommt er ja weiter Stromabwärts an.
Ich denke man muss auch noch den Winkel optimieren, unter dem er zurückschwimmt bzw die Strecke die er zurück läuft. Die beiden hängen ja voneinander ab.
Man kanns ja vll aufteilen:
1) er schwimmt rüber und läuft bis zum Punkt gegenüber vom Startpunkt.
2) von dort läuft er flussaufwärts und schwimmt dann wieder rüber, so dass er am Startpunkt ankommt.
Wenn ich mir das richtig überlegt hab, dann sollten diese beiden Zeiten unabhängig voneinander sein. Man müsste sie also einzeln minimieren können. Beim 2ten mal muss man halt nur beachten, dass man nicht mehr v+w hat, sondern v-w. Sonst isses ja dasselbe.
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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devzero
Anmeldungsdatum: 04.08.2004
Beiträge: 68
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| devzero Verfasst am: 29. Apr 2005 09:44 Titel: |
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@navajo: Ich habe die Punkte, die du ansprichst schon bedacht. Egal auf welcher Seite des Flusses der Schwimmer steht, die Situation ist die gleiche, mit anderen Worten kann man auch gleich nur eine einzelne Flussueberquerung betrachten, wobei natuerlich dann fuer die Gesamtzeit der Aktion noch ein Faktor 2 benoetigt wird. Ausserdem macht es keinen Unterschied, wann er laeuft - vor dem Schlimmen, nach dem Schwimmern oder verteilt. |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 29. Apr 2005 11:28 Titel: |
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Stimmt, du hast Recht. Das ganze ist ja doch symmetrisch, irgendwie hab ich gestern komisch gedacht. 
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 30. Apr 2005 13:15 Titel: |
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Danke Leute! Hatte mir auch selbst mittlerweile ein paar Gedanken gemacht (u.a dass es ja symmetrisch ist und die Breite eine Rolle spielt, wie du auch sagst). Sieht auf jedenfall sehr vernünftig aus.
Werd mich mal wieder in dieses Forum begeben:-)
Mfg
Seeb |
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seeb
Gast
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| seeb Verfasst am: 30. Apr 2005 15:43 Titel: |
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Ich muß sagen dass ich Schwierigkeiten habe bei der Ableitung auf dein Ergebnis zu kommen, Devzero.
Vermutlich verpeil ich irgendwas mit sin und cos.
Könntest du mir vielleicht nochn tip geben? Ansonsten probiers ichs nochma.
Seeb |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 30. Apr 2005 16:38 Titel: |
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devzero's Rechenweg und Lösung ist korrekt, hab das gerade mal nachgespielt
Für die Ableitung dt(u,v,w,a)/da = 0 ergibt sich
/da = {\frac {2*L\left (\sin(a)u+v+\sin(a)w\right )}{v\left (\cos(a)\right )^{2}u}}=0)
was dann zu der entsprechenden Lösung führt |
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