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WhiteMirror
Anmeldungsdatum: 01.03.2010
Beiträge: 7
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 WhiteMirror Verfasst am: 01. März 2010 17:54 Titel: Zerfallsgesetz: Halbwertszeitberechnung |
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Hallo zusammen,
ich muss wegen meiner Facharbeit in der 12 erklären, wie man die Halbwertszeit errechnet. Dabei wollte ich vom Zerfallsgesetz ausgehen und dieses dann für die Halbwertszeiterrechnung umstellen. Und da liegt mein Problem. Viele Quellen geben beide Gleichungen zusammen an, doch ich weiß nicht wie man von der einen zur Anderen kommt. Kann mir evt. jemand erklären, wie ich von = N_0 \cdot e^{-\lambda t} zu T_{1/2} = \frac {\ln 2}{\lambda} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0,693 \cdot \tau ) komme?
Vielen Dank schonmal |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
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| para Verfasst am: 01. März 2010 18:06 Titel: |
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Wie du schon sagtest:Zusammen mit der Definition der Halbwertszeit:bekommst du den angegebenen Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und der Zerfallskonstante Lambda.
Die Lebensdauer Tau ist definiert als Kehrwert der Zerfallskonstante:Wo genau liegt deine Schwierigkeit?
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WhiteMirror
Anmeldungsdatum: 01.03.2010
Beiträge: 7
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| WhiteMirror Verfasst am: 01. März 2010 18:17 Titel: |
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1. Was genau ist die Zerfallskonstante? Wenn sich ein Stoff immer halbiert ist diese 1/2 oder sehe ich das falsch?
2. Wie komme ich denn nun durch Umformen von = N_0 \cdot e^{-\lambda t} ) auf die Halbwertszeitgleichung  ?
3. Und wofür steht das (1/2) nach dem T? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 01. März 2010 18:22 Titel: |
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| WhiteMirror hat Folgendes geschrieben: | | 1. Was genau ist die Zerfallskonstante? Wenn sich ein Stoff immer halbiert ist diese 1/2 oder sehe ich das falsch? |
Qualitativ gibt die Zerfallskonstante an, wie schnell ein Stoff zerfällt. Je größer Lambda ist, desto schneller fällt die angegebene e-Funktion mit der Zeit ab, also desto schneller zerfällt der Stoff. Nach der Lebensdauer Tau (= 1 / Lambda) ist nur noch 1/e von der Ausgangsmenge des Stoffes übrig - also rund 37%.
| WhiteMirror hat Folgendes geschrieben: | | 2. Wie komme ich denn nun durch Umformen von auf die Halbwertszeitgleichung ? |
Den Ansatz habe ich dir ja oben hingeschrieben:Worauf kommst du, wenn du das nach der Halbwertszeit umstellst?
| WhiteMirror hat Folgendes geschrieben: | | 3. Und wofür steht das (1/2) nach dem T? |
Das soll nur verdeutlichen, dass es sich um die Halbwertszeit handelt, also die Zeit in der sich die Ausgangsteilchenzahl gerade halbiert hat.
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WhiteMirror
Anmeldungsdatum: 01.03.2010
Beiträge: 7
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| WhiteMirror Verfasst am: 01. März 2010 18:32 Titel: |
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| Zitat: | | Den Ansatz habe ich dir ja oben hingeschrieben:Worauf kommst du, wenn du das nach der Halbwertszeit umstellst? |
Ähhm, blöde Frage, aber ich verstehe noch nicht einmal diesen Schritt wie kommst du denn von  auf  ? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 01. März 2010 19:08 Titel: |
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| WhiteMirror hat Folgendes geschrieben: | | wie kommst du denn von auf ? |
Das ist die Kombination der beiden Gleichungen die ich weiter oben schon angegeben hatte:
| para hat Folgendes geschrieben: | | Wie du schon sagtest:Zusammen mit der Definition der Halbwertszeit:bekommst du den angegebenen Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und der Zerfallskonstante Lambda. |
Wenn du nach der Halbwertszeit fragst, suchst du ja die Zeit nach der genau die Hälfte der Teilchen zerfallen ist. Also setzt du das gesuchte T_(1/2) in das Zerfallsgesetz ein, und forderst dass von anfänglich N0 nur noch N0/2 vorhanden sein sollen.
Ist das nachvollziehbar? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 01. März 2010 19:11 Titel: |
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@para: Vielleicht solltest du in dieser Gleichung T1/2 statt t schreiben. |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 01. März 2010 19:12 Titel: |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: | | @para: Vielleicht solltest du in dieser Gleichung T1/2 statt t schreiben. |
Stimmt, danke - hab' ich glatt übersehen.
Also @WhiteMirror: meine obige Zeile sollte besser heißen: denn man setzt t = T_(1/2).
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WhiteMirror
Anmeldungsdatum: 01.03.2010
Beiträge: 7
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| WhiteMirror Verfasst am: 01. März 2010 19:43 Titel: |
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Also ich habe jetzt soviel verstanden:
Ich suche die Zeit, nach der genau die Hälfte der Teilchen zerfallen ist.
Also setze ich in mein Zerfallsgesetz für t nun T1/2 ein. Und da von N0 am Ende nur noch die Hälfte vorhanden ist setze ich dafür N0/2 ein, womit ich dann auf folgende Gleichung komme:
 = \frac{N_0}{2}\cdot e^{-\lambda \cdot T_{1/2}}) |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 01. März 2010 19:49 Titel: |
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Nein, N0 bleibt N0 !
Also kommst du erst mal auf:
 = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot T_{1/2}})
Da du kannst nun aber die Anzahl N zum Zeitpunkt T1/2 als Hälfte des Ausgangswertes ausdrücken, also
 = \frac{N_0}{2})
Beides zusammen ergibt dir dann die Gleichung mit du der die Halbwertzeit berechnen kannst.
Zuletzt bearbeitet von pressure am 01. März 2010 20:39, insgesamt einmal bearbeitet |
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WhiteMirror
Anmeldungsdatum: 01.03.2010
Beiträge: 7
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| WhiteMirror Verfasst am: 01. März 2010 20:09 Titel: |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: | Nein, N0 bleibt N0 !
Also kommst du erst mal auf:
Da du kannst nun aber die Anzahl N zum Zeitpunkt T1/2 als Hälfte des Ausgangswertes ausdrücken, also
Beides zusammen ergibt dir dann die Gleichung mit du die Halbwertzeit berechnen kannst. |
Etwa die Gleichung, die ich schon am Anfang genannt habe? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 01. März 2010 20:45 Titel: |
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Ja, wenn du Gleichung die du bekommst nach T1/2 auflöst, dann kommst du auf genau die Gleichung, die am Anfang für die Halbwertzeit angeben hast. Aber du wolltest doch wissen, wie du auf eben diese kommst, und das ist damit beantwortet. |
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WhiteMirror
Anmeldungsdatum: 01.03.2010
Beiträge: 7
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| WhiteMirror Verfasst am: 02. März 2010 11:03 Titel: |
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Also:
und das ergibt umgeformt:
Ist das so richtig? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 02. März 2010 11:23 Titel: |
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Ja, das ist richtig. |
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WhiteMirror
Anmeldungsdatum: 01.03.2010
Beiträge: 7
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| WhiteMirror Verfasst am: 02. März 2010 12:57 Titel: |
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Vielen Dank für eure Hilfe, jetzt habe ich das endlich verstanden.
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