Bewegung eines geladenen Teilchens in der ART

Coco · Anmeldungsdatum: 01.02.2010 Beiträge: 3

Hallo zusammen.

Leider bin ich etwas verwirrt über die Art und Weise, wie elektromagnetische Felder im Framework der ART beschrieben werden. Ich lese gerade "General Relativity" von Robert M. Wald. Im Kapitel 4, "Einstein's equations", geht der Autor bei der Motivation der Feldgleichungen und des ART-Frameworks wie folgt vor:
Zuerst beschreibt er, wie man die nichtrelativistische Physik als Mathematik von Tensorfelern auf der trivialen IR^3-Mannigfaltigkeit beschreiben kann. Danach beschreibt er, wie man die spezielle Relativitätstheorie als Mathematik von Tensorfeldern auf der Mannigfaltigkeit IR^4 mit Lorentz-Metrik verstehen kann. Zuletzt erklärt er, wie man das ART-Framework aus der speziellen Relativitätstheorie über das Äquivalenzprinzip, allgemeiner Kovarianz und minimaler Substitution (die wegen der Uneindeutigkeit noch Korrekturen erfordert) motiviert. Ich stosse mich nun an Folgendem:

Im Abschnitt über die SRT beschreibt er, wie man die Bewegung eines ungeladenen Teilchens über die Geodätengleichung u^a d_a u^b = 0 (wobei u^a die 4er-Geschw. des Teilchens und d_a die (triviale) kovariante Ableitung bezüglich der Lorentz-Metrik bezeichnen) beschreibt. Dann erklärt er, dass man für geladene Teilchen in einem elektromagnetischen Feld F_ab die Gleichung u^a d_a u^b = q/m F^b_c u^c verwendet. Aus der Abweichung von der geodätischen Bewegung eines ungeladenen Teilchens kann so das elektromagnetische Feld F_ab bestimmt werden.

Im Abschnitt über die ART werden vor allem zwei Dinge beschrieben: Zum einen wie man über die Einsteinschen Feldgleichungen auf die Mannigfaltigkeit und deren Dynamik kommt, gemäss dem Mach'schen Prinzip, dass die Massenverteilung die Metrik bestimmt. Zum anderen, wie die physikalischen Gesetze auf dieser (bzw. einer) gekrümmten Mannigfaltigkeit aussehen.
Die Einstein'schen Feldgleichungen verknüpfen den Energie-Impuls-Tensor mit dem Ricci-Tensor. Die durch die Gravitation gesteuerte (man verzeihe mir die unpräzise Formulierung) Bewegung eines ungeladenen Teilchens ist dann einfach eine geodätische Bewegung.

Jetzt kommt der Punkt, der mich verwirrt: Im Teil, in dem er die physikalischen Gesetze auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit beschreibt, schreibt er, dass man nach dem Prinzip der minimalen Substitution folgende Gleichung für ein geladenes Teilchen anwendet:
u^a nabla_a u^b = q/m F^b_c u^c (wobei nabla_a diesmal die nichttriviale kovariante Ableitung bezüglich der gekrümmten Metrik bezeichnet). Was ich daran nicht verstehe: Warum fliesst das elektromagnetische Feld nicht schon über den elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor ein (den man aus dem F_ab-Tensor berechnet), sodass sodass die Bewegung eines geladenen Teilchens wieder eine geodätische Bewegung ist? Steht in der Einsteinschen Feldgleichung nur der Energie-Impuls-Tensor der Massenverteilung? Lässt man den Einfluss elektromagnetischer Felder in die Feldgleichungen deshalb nicht zu, weil sie - im Gegensatz zu den Massen - nicht dem Äquivalenzprinzip unterworfen sind? Wären die beiden Herangehensweisen äquivalent?

Ich hoffe dass jemand mir weiterhelfen kann.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18111

Ich kann das ohne Details nicht näher überblicken, aber grundsätzlich sind zwei Dinge zu unterscheiden:
- die Geodätengleichung für die Bewegung eines Massenpunktes auf einer vorgegeben Raumzeit
- die Einsteingleichung für die Dynamik der Raumzeit mit dem Energie-Impuls-Tensor des el.-mag. Feldes als Quelle

In der Geodätengleichung vernachlässigt man die Rückwirkung des Massenpunktes auf die Raumzeit. Man muss allerdings noch in diese Gleichung (oder besser in das zugrundeliegende Wirkungsintegral) das elektromagnetsiche Feld "einbauen", wobei die Lorentz-Kovarianz sowie die Eichinvarianz gewährleistet sein müssen. D.h. dass man das Wirkungsintegral der SRT

eichinvariant erweitert. Dabei muss (wie in der SRT auch) die kovariante Ableitung (bzgl. des Eichfeldes) eingebaut werden.

Coco · Anmeldungsdatum: 01.02.2010 Beiträge: 3

Danke für deinen Beitrag, TomS. Dass es grundsätzlich diese beiden Aspekte zu berücksichtigen gilt, war mir klar. Leider hat mir das mit dem Wirkungsintegral auch nicht geholfen, da ich (noch) keine Lagrange-Formulierung der ART kenne.

Unterdessen habe ich aber, so glaube ich zumindest, verstanden, wie es läuft:

Man baut den elektromagnetischen Energie-Impuls Tensor T_ab auf jeden Fall in die Einstein'sche Feldgleichung mit ein (so wie man das mit jeder Energiedichte tut). Dann bewegen sich (auf der Lösung, also auf der Mannigfaltigkeit) ungeladene Test-Teilchen auf Geodäten, geladene auf den Bahnen, die durch die entsprechende kovariante Maxwell-Bewegungsgleichung für den gekrümmten Raum gegeben sind. In genau dieser Unterscheidung zwischen ungeladenen und geladenen Teilchen widerspiegelt sich dann auch die Tatsache, dass die elektromagnetische Wechselwirkung kein entsprechendes Äquivalenzprinzip kennt.

Gruss,
Coco