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Leere Menge
Gast
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 Leere Menge Verfasst am: 29. Aug 2009 11:44 Titel: Fourier transformation |
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Hallo,
folgende Frage habe ich bereits im Matheboard gestellt, ohne dass mir jedoch jemand helfen konnte. Daher versuche ich mein Glück hier, da Physiker vermutlich genauso viel mit Integraltransformationen zu tun haben wie angewandte Mathemaktiker.
Ich hab folgende inverse fourier transformation und suche hilfe zur vereinfachung
d\xi )
falls es das problem deutlich vereinfachen sollte wäre ich auch schon für einen tipp für den fall a=0 dankbar. ich starre nun schon seit einiger zeit darauf, komme aber keinen schritt voran.
gruß, LM |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 29. Aug 2009 18:32 Titel: Re: Fourier transformation |
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Das ist keine einfache Fouriertrafo, da du neben den bekannten Termen auch eine unbekannte Funktion f unter dem Integral hast.
Ich gehe davon aus, dass du die Funktion F(x) rekonstruieren willst. Deine zu transformierende Funktion unter dem Integral ist aber
 )
Ohne weitere Informationen zu f kannst du wenig machen. Du kannst natürlich im Exponenten eine quadratische Ergänzung durchführen, dann handelst du dir aber eine komplizierte Abhängigkeit in f ein.
Um welches Problem handelt es sich denn?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Leere Menge
Anmeldungsdatum: 30.08.2009
Beiträge: 7
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| Leere Menge Verfasst am: 30. Aug 2009 03:36 Titel: |
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Hallo TomS, vielen Dank für deine Antwort.
Mein Problem ist folgendes. Ich habe eine pde folgender Form
=i\xi-\Psi(-\xi))\hat{f}(\xi,t)
<br />
)
bzw
=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}(i\xi-\Psi({-\xi}))\hat{f}(\xi,t)d\xi
<br />
)
welche ich für verschiedene CTRW's lösen möchte. Im einfachen Fall, Gaussche sprünge und exponentielle Wartezeit habe ich folgenden charakteristischen Exponent
=-\lambda t(1-e^{i\mu\xi-\xi^2\frac{\sigma^2}{2}})
<br />
)
und somit komme ich auf den Ausdruck
=\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)+\lambda f(x,t)-\lambda\int_{-\infty}^\infty exp(i\xi( -x-\mu+i\xi\frac{\sigma^2}{2})\hat{f}(\xi,t)d\xi
<br />
)
den ich nun gerne vereinfachen würde. zudem habe ich \geq0) und f(x) streng monoton steigend in x.
Gruß,
LM |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2009 14:15 Titel: |
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Korrektur so richtig?
=(i\xi-\Psi(-\xi))\hat{f}(\xi,t))
=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}(i\xi-\Psi({-\xi}))\hat{f}(\xi,t)d\xi)
=-\lambda t(1-e^{i\mu\xi-\xi^2\frac{\sigma^2}{2}}))
=\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)+\lambda f(x,t)-\lambda\int_{-\infty}^\infty exp(i\xi( -x-\mu+i\xi\frac{\sigma^2}{2})\hat{f}(\xi,t)d\xi)
Was ich nicht verstehe ist, woher die x-Ableitung kommt; deine ersten beiden Gleichungen haben ja keine. Außerdem verstehe ich nicht, wieso du keine Fouriertrf. in t machst, wenn du doch eine DGL in t hast.
Außerdem kenne ich die Abkürzung CTRW nicht
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Leere Menge
Anmeldungsdatum: 30.08.2009
Beiträge: 7
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| Leere Menge Verfasst am: 01. Sep 2009 06:34 Titel: |
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danke, da habe ich eine klammer vergessen. CTRW steht für continuous time random walk, ein random walk mit zufälliger wartezeit zwischen den sprüngen. die ableitung kommt von der inversen fouriertransformation von
) .
zusätzlich zu der fourier transformation habe ich eine laplace transform in t gemacht, allerdings den teil hier ausgeblendet, da er relativ problemfrei ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 01. Sep 2009 09:59 Titel: |
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so, und jetzt möchtest du das Integral vereinfachen - richtig?
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bishop
Moderator
Anmeldungsdatum: 19.07.2004
Beiträge: 1133
Wohnort: Heidelberg
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| bishop Verfasst am: 01. Sep 2009 11:13 Titel: |
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bevor ich meine Idee poste kurz nachgefragt:
in deinem ersten Post heisst es  , weiter unten dann aber  ohne Quadrat im Xi
was ist jetzt richtig?
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Ein Physiker ist jemand, der über die ersten drei Terme einer divergenten Reihe mittelt |
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Leere Menge
Anmeldungsdatum: 30.08.2009
Beiträge: 7
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| Leere Menge Verfasst am: 01. Sep 2009 13:05 Titel: |
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Danke, dass ihr euch Gedanken macht. Wenn ich mich nicht vertan habe, müsste es bis auf das Vorzeichen vor a/mu identisch sein.
d\xi=\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi x -i\xi\mu-\xi^2\sigma^2/2}\hat{f}(\xi)d\xi=\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi (x +mu-i\xi\sigma^2/2)}\hat{f}(\xi)d\xi
<br />
)
Nun versuche ich, das ganze zu vereinfachen/ bzw so umzustellen, dass ich die inverse FT durchführen kann. |
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bishop
Moderator
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| bishop Verfasst am: 01. Sep 2009 15:46 Titel: |
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lol ach so natürlich, ich habe das ausgeklammerte xi vergessen, tut mir leid -.-
Jedenfalls, was ich mir überlegt habe ohne Anspruch auf irgendwelche Richtigkeit^^
Den Integranden kannst du ja erstmal so schreiben:
}_{=\omega})\hat{f}(\xi)}^{=g'}\underbrace{exp(-\frac{(\xi \sigma)^2}{2})}_{=f})
Im Integral kannst du die Variablentransformation ins omega ohne Konsequenzen machen, da das a eine Konstante ist, dein Integral ändert sich nicht.
Und dann kannst du wie das g' und f suggeriert partiell Integrieren und bekommst dann
^2}{2})]^{\infty}_{-\infty}~~\mathcal F(\omega)+\mathcal F(\omega){\int} _{\mathbb{R}}\xi {\sigma}^2 exp(-\frac{(\xi\sigma)^2}{2})d\xi)
Ich bezeichne mit  die Fouriertransformierte
und wenn du jetzt hinschaust siehst du, dass der zweite Term genau der erste ist, die Lösung ist also ^2}{2})]^{\infty}_{-\infty}~~\mathcal F(\omega))
obwohl das sehr schön aussieht ist das Problem jedoch, dass der Term null wird, da die Gaußfunktion natürlich an den Grenzen null ist. Ausserdem bin ich mir nicht ganz sicher ob die partielle Integration so stimmt, da entgegen dem beispiel in der Wiki bei uns die Integrationsvariable im g' verschwindet
Vielleicht bist du auch den weg schon gegangen und hast ihn als falsch erkannt, dann wäre ich über eine Belehrung deinerseits froh, vielleicht findest du auch einen Ansatz hier drin, der dir weiterhilft 
gruß bishop
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Leere Menge
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| Leere Menge Verfasst am: 01. Sep 2009 16:23 Titel: |
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Bishop, vielen Dank für den Ansatz. Hat ein bisschen gedauert, bis ich sah was du meintest. Habe nicht gesehen, dass g(x) ja die schon die inverse transformierte ist (ich scheine andere definition bezüglich der Fourier transformation zu nutzen als du, da ich umgekehrte Vorzeichen habe).
Ist mir aber jetzt eingeleuchtet und scheint Sinn zu machen. Auch wenn mich das Ergebnis verwundert. Werd es mir wohl noch ne Zeit ansehen müssen.
Vielen Dank nochmal.
LM
Zuletzt bearbeitet von Leere Menge am 01. Sep 2009 16:45, insgesamt einmal bearbeitet |
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bishop
Moderator
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| bishop Verfasst am: 01. Sep 2009 16:44 Titel: |
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hm tja, ich fürchte, dass du schon recht hast und ich es mir zu leicht gemacht habe. Bei der Partiellen Integration wollen die explizit die Stammfunktion meines g', während ich stattdessen das bestimmte Integral über die Reellen zahlen genommen habe, was ja gerade die Fouriertransformierte gäbe...
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Leere Menge
Anmeldungsdatum: 30.08.2009
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| Leere Menge Verfasst am: 01. Sep 2009 16:49 Titel: |
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Hah, jetzt habe ich gerade mein posting editiert, da ich dachte ich verstände deine antwort und wollte vermeiden, dass sich jemand die mühe macht darauf zu antworten. ok, wäre schlauer gewesen, einfach ein neues zu schreiben. |
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bishop
Moderator
Anmeldungsdatum: 19.07.2004
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| bishop Verfasst am: 01. Sep 2009 16:59 Titel: |
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 habs gerade gesehen, na macht nichts
Jedenfalls fällt mir auch nichts besseres ein, ich fürchte du wirst dich mit der Hoffnung begnügen müssen das  irgendwie so festmachen zu können, dass du das integral auswerten kannst, es scheint für den allgemeinen Fall nicht zu gehen, zumindest fällt mir nichts mehr sinnvolles ein
gruß bishop
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Leere Menge
Anmeldungsdatum: 30.08.2009
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| Leere Menge Verfasst am: 02. Sep 2009 02:32 Titel: |
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Ich schätze mal du hast recht. Scheint nichts zu machen zu sein. Wäre schön gewesen eine pde zu bekommen, aber es bleibt mir wohl nur die numerische Keule. Nicht schön, aber immerhin ein Resultat.
Vielen Dank nochmal und schönen Gruß,
LM |
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