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Looping mit Parabelgleichung durch Mittelpunkt
 
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endrage



Anmeldungsdatum: 10.01.2009
Beiträge: 4

Beitrag endrage Verfasst am: 10. Jun 2009 00:36    Titel: Looping mit Parabelgleichung durch Mittelpunkt Antworten mit Zitat

Servus,

ich habe mich die letzten Tage mehrfach auf verschiedenen Wegen an dieser Aufgabe versucht. Leider komme ich irgendwann dann nicht mehr mit dem Auflösen der DGLs klar... Liegt wahrscheinlich an irgendwelchen "falschen" Randwertbedingungen oder so.

Im Anhang ein Scan der Aufgabe...

Jetzt hab ich Gewichtskraft und Zentrifugalkraft über Winkelbeziehung gleichgesetzt. Gleichungen umgestellt, ineinander eingesetzt, integriert usw.
dann komme ich auf ne Formel für die Scheinkraft/Normalkraft .


Jetzt krieg ich auch durch N(phi) = 0 die Beziehung
raus... aber das hilft mir immer noch nicht weiter, weil ich dann zwar nach h auflösen kann, aber ich ja irgendwann auch nach Zeiten integrieren muss. Komme da einfach nicht klar, weil sich wieder Beziehungen mit und ergeben...

HELP!

Wahrscheinlich gehts viel einfacher... und vor allem mit nem richtigen Plan Big Laugh
Für eine schrittweise Erläuterung der Vorgehensweise wäre ich euch echt dankbar.. zumindest die groben Schritte und die verwendeten Randwertbedingungen wären super!



physik-looping.jpg
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 Dateigröße:  27.83 KB
 Angeschaut:  9662 mal

physik-looping.jpg


franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 10. Jun 2009 04:15    Titel: Antworten mit Zitat

GELÖSCHT

Zuletzt bearbeitet von franz am 15. Jun 2009 13:33, insgesamt einmal bearbeitet
endrage



Anmeldungsdatum: 10.01.2009
Beiträge: 4

Beitrag endrage Verfasst am: 10. Jun 2009 13:51    Titel: Antworten mit Zitat

auf die überlegungen bin ich schon selbst gekommen. nur eben das zusammenführen fällt mir schwer, zumal mir auch die aufgabenstellung wesentlich schwieriger scheint.
danke trotzdem,
gruß
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 10. Jun 2009 14:20    Titel: Antworten mit Zitat

GELÖSCHT

Zuletzt bearbeitet von franz am 15. Jun 2009 13:34, insgesamt einmal bearbeitet
Coffeetricker



Anmeldungsdatum: 10.06.2009
Beiträge: 1

Beitrag Coffeetricker Verfasst am: 10. Jun 2009 19:41    Titel: Geschwindigkeit beim Abflug Antworten mit Zitat

Hallo!

Ich habe zwar noch keine Lösung, aber ich bewundere das Problem. Gute Vorraussetztung zum tüfteln also;).

Meine bescheidene Schulphysik, sagt mir, das wir die Geschwindigkeit beim Abflug des Massepunktes vom Looping in Abhängigkeit von der Position des Objektes im Looping wissen.

"Nach aussen wirkende" Radialkraft:



Dagegen wirkt ja quasi die Gravitation, wenn ich das richtig sehe. Den richtigen Anteil davon, organisiere ich mir mal über



In dem Moment, in dem "das Etwas" vom Looping abfällt, müssten den ja die beiden obigen Kräfte im Gleichgewicht sein. Wenn man die Gleichsetzt und nach v umformt, erhät man immerhin die Geschwindigkeit in dem Moment, also



PS: Puh, ob sinnvoller Beitrag oder nicht, immerhin kann ich jetzt ein bisschen Latex.xD
bottom



Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel

Beitrag bottom Verfasst am: 11. Jun 2009 00:11    Titel: Re: Geschwindigkeit beim Abflug Antworten mit Zitat

Coffeetricker hat Folgendes geschrieben:

Ich habe zwar noch keine Lösung, aber ich bewundere das Problem. Gute Vorraussetztung zum tüfteln also;).

ich hätte es nicht besser ausdrücken können Big Laugh

geht es nur darum die höhe zu finden, oder sollt ihr auch die bewegungsgleichung aufstellen?

ich werd morgen nochmal näher drüber nachdenken - wirklich eine schöne aufgabe Big Laugh

franz hat Folgendes geschrieben:
meinetwege als Scheitelpunkt?

das geht doch garnicht, oder täusch ich mich? grübelnd
meiner meinung nach kann es nur so wie in der abb sein, nämlich dass der massepunkt den mittelpunkt in seiner abwärtsbewegung durchquert.

gruß bottom

_________________
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 11. Jun 2009 08:53    Titel: Re: Geschwindigkeit beim Abflug Antworten mit Zitat

Coffeetricker hat Folgendes geschrieben:
...kann ich jetzt ein bisschen Latex.xD

Latex ist eine feine Sache, nicht nur in der Malerei. Trotzdem würde ich mir für diese Gleichung mal die Einheiten ansehen.

bottom hat Folgendes geschrieben:
... der massepunkt den mittelpunkt in seiner abwärtsbewegung durchquert.om

Gut möglich; wollte nur sichergehen, daß das nicht als Bedingung(!) in die Frage eingeht.

mfG F.
stereo



Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402

Beitrag stereo Verfasst am: 11. Jun 2009 14:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ich tip mal auf den schrägen Wurf. Der bringt die Lösung.
bottom



Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel

Beitrag bottom Verfasst am: 11. Jun 2009 16:44    Titel: Antworten mit Zitat

ich hab leider noch nicht die zeit gefunden es tatsächlich auszurechnen, aber meine idee wäre folgende:


  • koordinatensystem: ursprung im mittelpunkt des loopings.
  • anfangsgeschwindigkeit (am schnittpunkt neg. y-achse und looping) im looping bestimmen (über energieerhaltung)
  • der aufenthaltsort des massepunkts im looping wird über den winkel phi zwischen neg.y-achse und massepunkt angegeben.
  • im looping wirkende kräfte (gravitation, zentripetalkraft) und geschwindigkeit (in abhängigkeit von phi) vektoriell darstellen
  • kräfte vektoriell aufsummieren, gleich null setzen und nach phi auflösen (massepunkt löst sich vom looping) -> phi(h)
  • geschwindigkeit (vektoriell!) in abhängigkeit von phi bestimmen ( v(phi) ) und hier phi(h) einsetzen -> v(phi(h)) := v(h)
  • jetzt haben wir einen schrägen wurf mit der startgeschwindigkeit v(h). für diesen gilt, dass er durch den mittelpunkt des loopings gehen soll. das interessante ist hier jetzt natürlich, dass für diesen schrägen wurf die anfangsgeschwindigkeit, der "abwurf"winkel (zur x-achse) sowie die "abwurf"koordinaten von einander abhänge größen sind. sollte aber trotzdem kein problem sein das ganze so sozusagen rückwerts zu lösen, also h zu finden, bei dem der schräge wurf mit v(h) und phi(h) direkt durch den mittelpunkt geht.

vll hilft das ja ein bisschen, mal gucken ob ich nachher zeit finde, zu versuchen das ganze tatsächlich zu lösen. ich hoffe das ich keine denkfehler gemacht habe Augenzwinkern

gruß bottom

_________________
endrage



Anmeldungsdatum: 10.01.2009
Beiträge: 4

Beitrag endrage Verfasst am: 11. Jun 2009 19:40    Titel: Antworten mit Zitat

danke für die beiträge!
vor allem der letzte ist doch ganz hilfreich... die umsetzung von der theorie in die rechnung wird wohl trotzdem etwas schwieriger ^^

mal sehen, morgen starte ich noch einmal nen versuch..
TseTe



Anmeldungsdatum: 11.06.2009
Beiträge: 7

Beitrag TseTe Verfasst am: 11. Jun 2009 23:04    Titel: Antworten mit Zitat

Hi!

Ich bin ähnlich wie bottom vorgegangen; habe erst den genannten Winkel berechnet:



und gelange dann schließlich auf

.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 12. Jun 2009 11:15    Titel: Antworten mit Zitat

GELÖSCHT

Zuletzt bearbeitet von franz am 15. Jun 2009 13:34, insgesamt 2-mal bearbeitet
bottom



Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel

Beitrag bottom Verfasst am: 12. Jun 2009 11:47    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:
ab Minimalhöhe H = 2R immer(!) die Mitte getroffen wird.


die überlegung versteh ich glaub ich nicht... ab einer bestimmten höhe würd der massepunkt aber doch den looping komplett "durchqueren"
grübelnd

_________________
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 15. Jun 2009 13:35    Titel: Antworten mit Zitat

http://www.physikerboard.de/topic,13975,-looping%3A-wo-absturz%3F.html#89399
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 14. Jul 2009 21:28    Titel: Antworten mit Zitat

Nachdem hier soviele Leute mit der Angabe Probleme haben, und ich die Aufgabe nicht so schwer fand, will ich mal meinen Lösungweg zeigen wie man ohne irgendwas zu differenzieren und intergrieren, also ohne komplizierte Mathematik auf ein richtiges Ergebnis kommt.

Hier mal die Skizze:

http://members.chello.at/thorsten.artner/Looping.jpg

Wir wissen um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten brauchen wir eine Zentripetalkraft. Wer übernimmt die Zentripetalkraft?
Natürlich die LoopingBahn, im Bild als Bodenkraft F_Boden eingezeichnet.

Wenn wir aber in die obere Hälfte des Kreises kommen, können wir die wirkende Gewichtskraft in einer radiale Komponente F_GR und in eine bahnbremsende Komponente F_GB zerlegen.
Die radiale Komponente wird umso größer je weiter wir zum obersten Punkt des Kreises marschieren und erreicht ihr Maximum am obersten Punkt mit F_G.

Was bedeutet das nun?
Wie man oben sehr schön sieht muß die Loopingbahn immer weniger Zentripetalkraft aufbringen (F_Boden), weil einen Teil die Radialkomponente der Gewichtskraft übernimmt und anderseits weil die Geschwindigkeit langsamer wird und somit weniger Zentripetalkraft erforderlich ist.

Es gibt einen Punkt auf dem Kreis (Punkt 3) bei dem die Radialkomponente der Gewichtskraft vollständig die Zentripetalkraft aufbringt. Das ist der Punkt an dem keine Bodenkraft der Loopingbahn mehr notwendig ist und somit einwirkt.
Bei allen Punkten unter diesen wirkt eine Bodenkraft, somit kann man hier nicht von freien Fall sprechen.

Über diesen Punkt wirkt nur noch die Gewichtskraft, wir können vom freien Fall sprechen, weil erstens die Radialkomponente der Gewichtskraft noch größer wird, das bedeutet wir können die Kugel nicht auf der Loopingbahn halten, sie entfernt sich zum Mittelpunkt und zweitens durch die Bahnkomponente der Gewichtskraft die Bahngeschwindigkeit bremst, das verstärkt den Effekt noch. Wir wissen also die Kugel kommt garantiert nicht mehr mit der Bahn in Kontakt. Es muß also freier Fall sein.

Nennen wir diesen Punkt Eintrittspunkt in den freien Fall

Jeder Punkt im oberen Quartal kann zu so einen Eintrittspunkt werden.
Die Voraussetzung ist, daß die Bahngeschwindigkeit klein genug ist. Ist sie zu groß bleibt die Kugel in der Bahn und wird gegen die Loopingbahn gedrückt.
Diese erforderliche Bahngeschwindigkeit die zum Übergang in den freien fall führt, kann man leicht berechnen.

Das Gesetz für den Eintrittspunkt lautet, wie aus der Skizze ersichtlich:









Die erste wichtige Formel lautet also:

Formel I:

Hat der Körper genau diese Bahngeschwindigkeit am Punkt des Kreises der im Winkel zum Mittelpunkt liegt, dann herrscht im nächsten Moment freier Fall.

Nun betrachten wir was passiert wenn die Kugel in den freien Fall übergeht. Wir wissen welche Bahngeschwindigkeit dazu bei jeden Winkel alpha nötig ist und wir wissen in welche Richtung sie wirkt nämlich in Tangentenrichtung sonst wärs ja keine Bahngeschwindigkeit.
Wie in der Skizze ersichtlich ist, wirkt sie unter Winkel beta der 90 - alpha entspricht.
Wir können sie nun in x,y Komponenten zerlegen.
Es gilt:




Die Weggesetze im freien Fall lauten:




Die Kugel soll ja durch den Mittelpunkt fallen, also muß sie zum selben Zeitpunkt folgendes erledigen.
Sie muß in x Richtung den Abstand zwischen Mittelpunkt und Eintrittspunkt in den freien Fall zurückgelegt haben. Abstand x (Skizze)

Sie muß in y Richtung den Abstand zwischen Mittelpunkt und Eintrittspunkt in den freien Fall zurückgelegt haben. Abstand y (Skizze)

wir können schreiben:




Achtung: wieso - y, weil der Bezugspunkt der Formel der Eintrittspunkt in den freien Fall ist, und wir rechnen ja mit der dort herrschenden Geschwindigkeit, und der Mittelpunkt liegt gegen die Geschwindigkeitsrichtung also im negativen Bereich vom Startpunkt.

Was wir nun mit den beiden Formeln errechnen können, bei welchen vx und vy Zusammenspiel ist es möglich das die Kugel genau durch den Mittelpunkt fällt, dazu bedarf es schon bei einem bestimmten vx ein bestimmtes vy also einer bestimmten konstellation.

bzw im zweiten Schritt welches vB benötige ich unter den Winkel beta (90-alpha) im Abstand x und y vom Mittelpunkt

Wir formen um:







mit : (siehe Skizze)









Die Formel bedeutet unter den Winkel alpha am Radius gibt es zu jeden vx ein bestimmtes vy das uns durch den Mittelpunkt bringt.
Die Frage gibt es nun ein vy das genau im Winkel beta (90-alpha) auf vx steht und uns durch den Mittelpunkt bringt und ins gesamt ein VB bildet das dann tangential am Start wirkt.
Dazu setzen wir unsere schon oben hergeleiteten Formeln ein:









beide Seiten * (sin alpha)^2









Nun erhalten wir die 2 wichtige Formel:

Formel II:

Die Formel sagt aus. Es gibt zu einem bestimmten Winkel alpha nur eine mögliche Geschwindigkeit die tangential am Radius wirkt und durch den Mittelpunkt führt.

Die Kernaussage der ersten Formel war.

Formel I:

Es gibt nur eine mögliche Geschwindigkeit unter einem bestimmten Winkel alpha die zum freien Fall führt. und somit in die Formel 2 übertragen werden kann.

Für unseren Fall gilt: Wir suchen den Winkel alpha der eine Start Geschwindigkeit in der Formel II liefert die auch gleichzeitig den Eintritt in den freien Fall gewährleistet. Also muß beim richtigen Winkel bei beiden das Gleiche rauskommen.

also wir setzen gleich:











Resultat:

Den Winkel den wir brauchen kennen wir jetzt. Diesen entweder in Formel I oder Formel II eingesetzt führt uns zur Bahngeschwindigkeit.

ich nehme Formel I da gehts einfacher:





Nun benötigen wir den Energieerhaltungsatz:
Wir wissen das wir uns aus der potentiellen Energie die kinetische Energie ausrechnen können. Wie man diesen hier anwendet und wieso man hier die Bahngeschwindigkeit aus diesem errechnen kann, ist diesem Forum schon so oft behandelt, daß schneid ich hier nicht mehr an. wir stellen auf:









Ergebnis:
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 14. Jul 2009 21:42    Titel: Antworten mit Zitat

Ergebnis stimmt; siehe auch (letzte Formel):
http://www.physikerboard.de/htopic,13975,looping.html

F.
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