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zeitunabhängige Schrödingergleichung
 
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Dr.Blech
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Beitrag Dr.Blech Verfasst am: 24. Mai 2009 18:59    Titel: zeitunabhängige Schrödingergleichung Antworten mit Zitat

Hallo, ich bereite mich grade auf meine Diplomprüfung in theoretischer Physik vor und habe da eine Frage:

Wenn ich ein zeitabhängiges Problem habe, wieso betachte ich dann die zeitunabhängige Schrödingergleichung?

Ich weiß schon, dass man mit dem Separationsansatz die Zeit und Ortsabhängigkeit trennen kann (wenn H nicht explizit von t abhängt), aber kann man das nicht direkt lösen? Ist das eine Frage der Einfachheit oder gibt es da noch andere Vorteile?

Ich habe mal irgendwo gelesen, dass man mit allen Lösungen der zeitunabhängigen SDG die zeitabhängige durch Superposition der Lösungen darstellen kann, verstehe das aber nicht ganz.

vielen lieben Dank

Dr.Blech
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Mai 2009 23:20    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast die Antwort eigentlich schon selbst gegeben. Sei E ein Eigenwert mit dazugehörigem Eigenvektor, also



Dann gilt doch



Damit lässt sich die Zeitabhängigkeit wie folgt darstellen



Die Zeitableitung in der zeitabhängigen Schrödingergleichung wirkt dann nur auf die E-Funktion:



Damit lässt sich aber jede zeitabhängige Lösung immer als Überlagerung zeitunabhängiger Lösungen sowie der Anwendung des Zeitentwicklungsoperators schreiben



Damit kann also im Falle eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators die Dynamik bzw. Zeitabhängigkeit immer über die zeitunabängige Schrödingergleichung (bzw. deren Lösungen) sowie der Anwendung des Zeitentwicklungsoperators (bzw. der e-Funktion) darstellen.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Dr.Blech
Gast





Beitrag Dr.Blech Verfasst am: 25. Mai 2009 09:35    Titel: Antworten mit Zitat

ah - das ist ja cool - dann brauch ich die Zeitabhängigkeit eines jeden Problems garnicht betrachten sondern multipliziere das zeitunabhängie Ergebnis einer jeden Schrödingergleichung, die mir so unter kommt immer mit demselben Faktor.
Das ist so universell, dass mich die Universalität schon fast wieder stört. Gibt es da Einschränkungen oder gilt das einfach immer??
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2009 14:24    Titel: Antworten mit Zitat

Das gilt in der QM immer, wenn dH/dt=0 ist.

Wichtig bei dieser Superposition ist, dass H zwar universell ist, also für das jeweils zu untersuchende System steht, dass aber E jeweils eine bestimmte Lösung kennzeichnet. D.h. man zerlegt eben einen Zustand nach Energieeigenfunktionen. Es können auch andere, der Symmetrie angepasste Eigenfunktionen sein, z.B. ebene Wellen, Kugelflächenfunktionen, ...

TomS hat Folgendes geschrieben:
Damit lässt sich aber jede zeitabhängige Lösung immer als Überlagerung zeitunabhängiger Lösungen sowie der Anwendung des Zeitentwicklungsoperators schreiben ...

Diesen Satz kann man verallgemeinern: Damit lässt sich jeder zeitabhängige Zustand, der nicht Lösung der S.-Gl. sein muss, immer als Überlagerung zeitunabhängiger Lösungen sowie der Anwendung des Zeitentwicklungsoperators schreiben

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Dr.Blech
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Beitrag Dr.Blech Verfasst am: 26. Mai 2009 11:31    Titel: Antworten mit Zitat

im nachhinein seh ich ein, dass ich die Lösung schon fast hatte. Danke, dass dus nochmal für mich geordnet hast. Ich hab den Zusammenhang einfach nicht gesehn. smile

Gruß Dr.Blech
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2009 13:56    Titel: Antworten mit Zitat

immer gerne
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