zeitunabhängige Schrödingergleichung

Dr.Blech · Gast

Hallo, ich bereite mich grade auf meine Diplomprüfung in theoretischer Physik vor und habe da eine Frage:

Wenn ich ein zeitabhängiges Problem habe, wieso betachte ich dann die zeitunabhängige Schrödingergleichung?

Ich weiß schon, dass man mit dem Separationsansatz die Zeit und Ortsabhängigkeit trennen kann (wenn H nicht explizit von t abhängt), aber kann man das nicht direkt lösen? Ist das eine Frage der Einfachheit oder gibt es da noch andere Vorteile?

Ich habe mal irgendwo gelesen, dass man mit allen Lösungen der zeitunabhängigen SDG die zeitabhängige durch Superposition der Lösungen darstellen kann, verstehe das aber nicht ganz.

vielen lieben Dank

Dr.Blech

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18025

Du hast die Antwort eigentlich schon selbst gegeben. Sei E ein Eigenwert mit dazugehörigem Eigenvektor, also

Dann gilt doch

Damit lässt sich die Zeitabhängigkeit wie folgt darstellen

Die Zeitableitung in der zeitabhängigen Schrödingergleichung wirkt dann nur auf die E-Funktion:

Damit lässt sich aber jede zeitabhängige Lösung immer als Überlagerung zeitunabhängiger Lösungen sowie der Anwendung des Zeitentwicklungsoperators schreiben

Damit kann also im Falle eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators die Dynamik bzw. Zeitabhängigkeit immer über die zeitunabängige Schrödingergleichung (bzw. deren Lösungen) sowie der Anwendung des Zeitentwicklungsoperators (bzw. der e-Funktion) darstellen.

Dr.Blech · Gast

ah - das ist ja cool - dann brauch ich die Zeitabhängigkeit eines jeden Problems garnicht betrachten sondern multipliziere das zeitunabhängie Ergebnis einer jeden Schrödingergleichung, die mir so unter kommt immer mit demselben Faktor.
Das ist so universell, dass mich die Universalität schon fast wieder stört. Gibt es da Einschränkungen oder gilt das einfach immer??

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18025

Das gilt in der QM immer, wenn dH/dt=0 ist.

Wichtig bei dieser Superposition ist, dass H zwar universell ist, also für das jeweils zu untersuchende System steht, dass aber E jeweils eine bestimmte Lösung kennzeichnet. D.h. man zerlegt eben einen Zustand nach Energieeigenfunktionen. Es können auch andere, der Symmetrie angepasste Eigenfunktionen sein, z.B. ebene Wellen, Kugelflächenfunktionen, ...

Dr.Blech · Gast

im nachhinein seh ich ein, dass ich die Lösung schon fast hatte. Danke, dass dus nochmal für mich geordnet hast. Ich hab den Zusammenhang einfach nicht gesehn. smile

Gruß Dr.Blech

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18025

immer gerne