Umlaufzeit zweier Planeten um einen Stern

Christoph103 · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 116

Hallo, ich sitze grad einer Aufgabe, bei der ich nicht so genau weiter weiß grübelnd

Gegeben sei eine Konstellation wie auf dem beigefügtem Bild.

Zwei Planeten der gleichen Masse m kreisen auf der gleichen Umlaufbahn (gleicher Radius r) um einen Stern der Masse M und sind sich dabei immer genau gegenüber.
Ihre Umlaufbahn soll kreisförmig sein.

Mann soll jetzt einen Ausdruck für die Umlaufzeit finden.

Mein Ansatz wäre jetzt (wenn man nur einen der beiden Planeten hätte), dass die Gravitationskraft genau durch die Zentrifugalkraft kompensiert wird.

Aufgelöst nach v:

Mit:

Folgt:

Mein Problem besteht jetzt aber darin, dass es ja 2 Planeten gibt mit der Masse m und dem Abstand r zum Stern im Zentrum, hab ich damit schon T oder muss da noch irgendwas folgen?

Da sie sich ja immer gegenüberstehen, schließe ich, dass sie die gleiche Geschwindigkeit haben (Masse und Radius sind ja sowieso gleich).

D.h. ja dann T is für die beiden alleine gesehen auch gleich.

Heißt das dann auch T ist hier das Gesamt-T?
Und wie sieht das hier mit den Kräften aus, die die beiden aufeinander wirken, heben die sich auf, weil ja der Stern immer genau dazwischen ist?

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Christoph103 · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 116

Der zweite Planet steht ja immer in einer Linie mit der Sonne, addieren sich dann die beiden Gravitationen (die der Sonne und z.B. die des zweiten Planeten), die auf den ersten Planeten wirken, weil sie aus der gleichen Richtung angreifen?

Dadurch hätte man ja in der Formel eien anderes T bekommen, welches aber wieder genau identisch für beide Planeten wäre.

Wäre das dann so etwas in der Art?

Zepto · Anmeldungsdatum: 03.10.2007 Beiträge: 323

Christoph103 · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 116

Oh

Die Planeten haben natürlich den Abstand 2r voneinander.

Das würde ja dann heißen?

Mit:

Und:

Mir ist folgende Formel mit T² bekannt:

Setzt man für v ein:

Folgt: