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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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 Romeo Verfasst am: 19. Mai 2008 19:00 Titel: Normierung der Schrödingergleichung des HO |
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Hi,
sitz jetzt schon echt lange an der Aufgabe, hab schon langsam einen Ansatz oder mehr Ideen, aber ich komm damit einfach nicht zurecht. Es geht um die Schrödingergleichung. Ich würde diese gerne normieren, weiß aber nicht genau wie ich es am geschicktestens machen soll.
Erstmal die Aufgabenstellung:
 http://img504.imageshack.us/img504/1277/phetnr4gesamtjf5.jpg
Mein Ansatz war es, die erste Funktion über die Dirac-Distribution zu normieren, indem ich zu erst ausdrücke, dass...
 \cdot \delta(x-x_0) = \phi(x_0) = (\pi)^{-\frac{1}{4}} \cdot (x_0)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}})
und das Ergebnis wollte ich durch das Betagsquadrat der Ausgangsfunktion teilen, nur bekomm ich jetzt Schwierigkeiten, das Integral dieser Funktion zu lösen, hab da mal im Internet ein bisschen rumgeschaut und festgestellt, dass es sich um eine sogenannte Glockenkurve handelt.
|\phi(x)>| = \int^{+\infty}_{-\infty} \frac{1}{(\pi)^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{x_0}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot (\frac{x}{x_0})^2} \cdot \frac{1}{(\pi)^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{x_0}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot (\frac{x}{x_0})^2} = \int^{+\infty}_{-\infty} \frac{1}{(\pi)^{\frac{1}{2}} \cdot x_0} \cdot e^{-(\frac{x}{x_0})^2} = ???)
Irgendwie lässt sich das Integral nicht lösen, hab es auch schon mit Derive versucht, liefert aber auch nur irgendwas komisches, im Internet bin ich dann auf folgendes gestoßen:
Normalverteilung
Fehlerintegral
Was mir aber nicht wirklich weiterhilft, gibt es da vielleicht einen einfacherern Weg oder einen Trick? Mich interessiert aber auch wohl die Lösung des Integrales!
Ich würde mich wirklich sehr über Hilfe freuen!
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Grüße Romeo |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 172
Wohnort: Lausanne
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| Passepartout Verfasst am: 19. Mai 2008 20:40 Titel: hm |
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Hi,
das ist ein Standardintegral, mach mal ne Substitution
und schaue ob Du das Integral
in der Formelsammlung findest.
Liebe Grüße,
Passepartout
_________________
 , oder nicht  |
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 19. Mai 2008 20:58 Titel: |
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Leider nein, das ist eben mein Problem...
Hab es natürlich schon im Internet oder in meinem Papula nachgeschlagen. Im Papula ist es nicht drin und im Internet heißt es Fehlerintegral.
Klar hab ich es auch schon über Substitution versucht, der Harken ist halt:
Einsetzen:
Ganz allgemein, aber es zeigt, dass ein x nach der Substitution erhalten bleibt!
_________________
Grüße Romeo |
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Passepartout
Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 172
Wohnort: Lausanne
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| Passepartout Verfasst am: 19. Mai 2008 22:55 Titel: |
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Hallo,
ist ja schwach, dass Derive kein
 berechnen kann.
Nun denn...
| Zitat: |
Einsetzen:
Ganz allgemein, aber es zeigt, dass ein x nach der Substitution erhalten bleibt! |
Ja, das stimmt schon. wenn Du aber das bestimmte(!) Integral per Hand lösen willst, musst Du dessen Quadrat berechnen und anschließend am Ende die Wurzel ziehen.
Ich kann mir aber beim besten Willen nicht vorstellen, dass
oder vergleichbares nicht im Papula zu finden ist....
Hoffe, konnte helfen,
P.
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, oder nicht |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 20. Mai 2008 12:48 Titel: |
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Hier mal eine Herleitung des Integrals, vieleicht hilft das beim Verständnis.
Erstmal bezeichne ich mit W den gesuchten Wert aber noch unbekannten Wert:
Es gilt auch
da der Name der Integrationvariablen egal ist.
Multipliziert man die Integrale erhaelt man
Das ist nun aber ein zweidimensionales Integral ueber die Gesamte x-y Ebene. Versuchen wir das in Polarkoordinaten aufzuschreiben:
also
mit der Subtitution 
Also ist
(Die negative Wurzel kann als Loesung des Urspruenglichen integrals ausgeschlossen werden, da der Integrand immer >0 ist)
edit: Wenn man dieses Integral in einem mathematischen Nachschlagewerk nicht findet, wurde ich das entsprechende Buch wegwerfen.
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 21. Mai 2008 11:56 Titel: |
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Ich habe mir gerade deinen ersten Post nochmal durchgelesen. Was hantierst du da eigentlich mit der Delta Distribution rum ? Im ersten Teil soll doch nur gezeigt werden dass
gilt.
Das Integral ueber das Betragsquadrat der Wellenfunktion also eins ist und damit
die Wahrscheinlichkeit das Objekt, welches durch die WF beschrieben wird, irgendwo zu messen auch eins ist.
Auch muss nicht die Schroedingergleichung normiert werden, sondern deren Loesungen.
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