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Dirac-Gl. mit m=0
 
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pendulum



Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68

Beitrag pendulum Verfasst am: 16. März 2008 11:45    Titel: Dirac-Gl. mit m=0 Antworten mit Zitat

Hi,

ich hab folgendes Problem:

Die Ruhemasse eines Teilchens sei 0. Jetzt heißt es, dass man die Dirac-Gl. auf einen zweikomp. Spinor reduzieren kann.

Als "Ansatz" wurde vorgegeben:




Diese Gleichungen kann man addieren bzw. subtrahieren und erhält dann:




Jetzt kann man folgende Definitionen vornehmen:




Ok, aber was mache ich nun damit? Ich hab immer noch einen 4 komp. Spinor.

Weiter heißt es in der Aufgabe, dass man die dazugeh. 2x2 Matrizen berechnen soll.

Und als Bemerkung heißt es, dass man eine sogenannte Weyl-Gl. erhält.
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 19. März 2008 00:24    Titel: Antworten mit Zitat

Mit dieser Methode "zerteilst" du den vierdimensionalen Spinor in zwei zweidimensionale Spinoren und , so dass du den ursprünglichen vierdimensionalen Spinor in Abhängigkeit von diesen beiden Zweier-Spinoren schreiben kannst und damit eine zweidimensionale Beschreibung bekommst.

Du zerteilst das Problem quasi, indem du erstmal je zwei Dimensionen zusammenfasst.

Auf Fachchinesisch bedeutet das, man findet eine Darstellung, in der sich die Vierer-Spinoren als Bispinoren von Zweier-Spinoren schreiben lassen. Diese nette Formulierung und einige Details dazu findest du zum Beispiel in

http://de.wikipedia.org/wiki/Weyl-Gleichung

und vielleicht auch in

http://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Matrizen#Weyl-Darstellung

Hilft dir das schon etwas weiter?
pendulum



Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68

Beitrag pendulum Verfasst am: 19. März 2008 16:46    Titel: Antworten mit Zitat

Wie funktioniert das mit dem "Zerteilen"?

Wenn du meine Definition oben von anschaust, dann müsste man doch wieder einen 4-komponentigen Vektor erhalten, denn man hat ja eine 4x4-Einheitsmatrix und Gamma-5 ist ja auch eine 4x4-Matrix und das ganze auf einen vierdim. Spinor angewandt?

Wie komme ich eigentlich auf die Matrizen in der Weyl-Darstellung? Gamma 5 ist z.B. diagonal, aber wie erhalte ich das?
pendulum



Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68

Beitrag pendulum Verfasst am: 20. März 2008 16:48    Titel: Antworten mit Zitat

ok, meine Frage hat sich erledigt.

Hab aber eine neue:

Ich hab nun nach etwas Rechnerei die Weyl-Gleichungen erhalten wie sie auf Wikipedia stehen:




Allerdings erhalte ich in der Dirac-Darstellung, folgenden Spinor:

Auf Wiki steht das ein bisschen anders (Vorzeichen): http://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Matrizen#Weyl-Darstellung

Ich hab auch nicht die gleichen Gamma-Matrizen in Weyl-Darstellung, aber das ist auch in der Literatur unterschiedlich.

Ich muss jetzt nur wissen, ob das von physikalischer Relevanz ist, an welcher Stelle welches Vorzeichen ist?

Zweite Frage:

Ich soll angeben was die zu den Weyl-Gleichungen gehörenden 2x2 Matrizen sind.

Das sind doch einfach die Pauli-Matrizen, oder nicht?

Danke schonmal.
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 20. März 2008 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

In dem Wikipedia-Link, den du zitierst, finde ich direkt schon die Aussage, dass die Matrizen in der Weyl-Darstellung nicht die gleichen sind wie in der Pauli-Dirac-Darstellung. Da sind nämlich die "Nullte" und "Fünfte" vertauscht.

Klärt das vielleicht schon deine ganzen Vorzeichen-Fragen?
pendulum



Anmeldungsdatum: 03.11.2006
Beiträge: 68

Beitrag pendulum Verfasst am: 20. März 2008 18:38    Titel: Antworten mit Zitat

Das sich das von der Pauli-Dirac-Darstellung unterscheidet ist klar.

Ich hab eigentlich gemeint, dass selbst die Matrizen in Weyl-Darstellung so wie sie auf Wikipedia stehen, in der Literatur oftmals anders dargestellt werden, und trotzdem wird das Weyl-Darstellung genannt.

z.B. findet man im Schwabl für die Darstellung von Gamma 0 das negative des Gamma 0 von Wikipedia. Eigentlich sollte das am Schluss keine Auswirkungen haben, wenn man konsequent mit den gleichen Matrizen arbeitet.

Ich glaub die Frage könnte man auch beantworten, wenn man wüsste wie man auf diese Darstellung die man auf Wikipedia findet kommt.
Leider kann ich das so nicht nachvollziehen.
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 20. März 2008 22:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin zwar momentan noch nicht ganz in dem Thema drin, aber ich glaube, der Link

http://de.wikipedia.org/wiki/Spinor#Weyl-Spinoren

bestätigt deine Überlegungen:

Da finde ich die Aussage, dass die Matrizen bei der Weyl-Darstellung die Pauli-Matrizen sind, und die Aussage, dass es zwei zueinander komplex konjugierte Weyl-Darstellungen gibt.
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