potentielle Energie einer Kugelförmigen Raumladung

Hagbard · Anmeldungsdatum: 07.02.2006 Beiträge: 320 Wohnort: Augsburg

Folgende Problemstellung:

Es soll eine homogene Raumladung (mit dem Radius "a") erzeugt werden, in dem aus dem Unendlichen kleinen Ladungen dQ an einen Punkt gebracht werden. Gefragt ist nach der potentiellen Energie, die die Raumladung danach besitzt.
Es sieht also so aus, dass man eine kugelförmige, homogene Raumladung hat, deren Radius "R" von 0 bis a läuft. Außerdem werden kleine Ladungen dQ von r=unendlich bis r=R an die Kugel herangeführt. Die Ladung

, wobei Rho die Raumladungsdichte ist.
Weil mir Latex für diese Problemstellung zu umständlich war, hab ich ein paar Fotos von meinen Rechnungen gemacht.

http://img398.imageshack.us/img398/6229/skizzekr1.th.jpg

http://img484.imageshack.us/img484/3746/wegnu8.th.jpg

http://img264.imageshack.us/img264/1825/lsungln3.th.jpg

Ich glaube eigentlich, es müsste richtig sein und meine Professorin hat sich verrechnet, aber mal schauen, was ihr meint.

Gruß

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hm, mit Fotos ist das irgendwie deutlich unübersichtlicher zu lesen als direkt mit Latex. grübelnd

Vermute ich richtig, dass du in deiner Rechnung nicht berücksichtigt hast, wie sich die Ladung der Kugel dadurch verändert, dass nach und nach immer mehr kleine Ladungen hinzugefügt werden? (Die Ladung dieser Kugel soll man ja nicht als während dieses Vorganges konstant annehmen, da sie durch das Herholen der kleinen Ladungen aus dem Unendlichen eben erst noch erzeugt werden soll.)

Also müsste man beim Aufstellen des Ansatzes berücksichtigen, dass es deutlich weniger Kraft und Energie erfordert, die ersten Ladungsteilchen zu bewegen als die letzten.

Hagbard · Anmeldungsdatum: 07.02.2006 Beiträge: 320 Wohnort: Augsburg

Das habe ich eigentlich schon gemacht... okay, dann in Latex

mit

.
Wenn ich jetzt so integriere:

, dann bringe ich kleine Ladungen dQ von r->Unendlich bis zum momentanen Raumladungsradius R. Wenn ich das Ergebnis nun noch zwischen den Grenzen R=0 und R=a integriere:

, dann habe ich die Raumladung gleichermaßen von R=0 bis R=a gehen lassen und bin am Endzustand, oder?

Gruß

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ah, danke für das Latex und die erklärenden Worte dazu, nun hab ichs gut nachvollziehen können smile

Ich halte deinen Rechenweg für den richtigen und komme wie du auf ein Endergebnis von

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Vermute ich richtig, dass deine Professorin in ihrer Rechnung vielleicht

herausbekommt, also ein Sechstel weniger Arbeit? Dann wäre sie nämlich von der Annahme ausgegangen, dass die Ladung zum Beispiel auf eine Metallkugel mit Radius a aufgebracht wird und sich physikalischerweise nur auf dessen Oberfläche verteilt. Diese Annahme halte ich zwar für physikalisch realistischer, aber nach dem, was ich bisher über die Aufgabenstellung lese, entspricht diese Annahme nicht der Aufgabenstellung, und dein Rechenweg ist der richtige für die Aufgabe.

Magst du im Zweifelsfall nochmal die genaue wörtliche Aufgabenstellung hier aufschreiben?

Hagbard · Anmeldungsdatum: 07.02.2006 Beiträge: 320 Wohnort: Augsburg

Ja sie hat ein Achtel rausbekommen, aber sie hat vorher klar gesagt, dass es bei der Aufgabe um eine Raumladung geht, die nicht physikalisch begrenzt ist. Sprich, es gibt keine Kugeloberfläche. Anfangs hatte ich auch den Fehler gemacht, dass ich immer von r=unendlich bis r=a integriert habe, aber das entspricht nicht der Aufgabenstellung, dann würde die nämlich so lauten "Auf eine ungeladene Hohlkugel soll eine Konstante Ladung aufgebracht werden, die aus dme Unendlchen geholt wird...". Diese Problemstellung wäre auch knifflig, weil man das E-Feld einer Kugeloberfläche beschreiben muss...

Danke fürs Anschauen!

Gruß

[EDIT]
Das war die -knappe- Aufgabenstellung:
Ein kugelförmiges Volumen enthält eine Raumladung konstanter Dichte. Wie groß ist die potentielle Energie der Ladungsverteilung?
[/EDIT]

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Freut mich, dass ich mit meiner Vermutung richtig geraten habe smile

Hagbard · Anmeldungsdatum: 07.02.2006 Beiträge: 320 Wohnort: Augsburg

Stimmt, das habe ich beim schnellen Umdenken auf die andere Aufgabenstellung nicht bedacht.

Gruß